Статья опубликована в журнале: Труды Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. 1997. Т. 219: Теория приближений. Гармонический анализ. С. 44-73;
English translation: Proc. of the Steclov Inst. of Math. 219 (1997), pp. 36-65.

АННОТАЦИЯ
В.В.Арестов, А.Г.Бабенко.
О схеме Дельсарта оценки контактных чисел.

В работе изучается экстремальная задача для непрерывных на отрезке функций, представимых рядами по ортогональным многочленам, с ограничениями на значения функций и коэффициенты разложений, возникшая в исследованиях Ф.Дельсарта границ упаковок в некоторых метрических пространствах. Идея Ф.Дельсарта была развита и успешно применена в работах Г.А.Кабатянского и В.И.Левенштейна, Э.Одлыжко и Н.Слоэна, В.М.Сидельникова, в частности, для исследования контактных чисел $\tau_m$ евклидовых пространств ${\bf R}^m$, равных максимальному числу шаров единичного радиуса с непересекающимися внутренностями, касающихся единичного шара пространства. Изложение этих результатов и богатая библиография по этой тематике имеется в монографии Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Т.1,2. М.: Мир, 1990. В настоящее время точное значение $\tau_m$ известно лишь при $m=2,3,8,24,$ а именно, $\tau_2=6,\ \tau_3=12, \ \tau_8=240,\ \tau_{24}=196560.$ Для произвольных значений $m$ известны оценки снизу и сверху константы $\tau_m$; так в четырехмерном случае $24\le \tau_4\le 25.$

Пусть $\alpha=\frac{m-3}{2}\ и \ R_k=R_k^{\alpha,\alpha}, \ k\ge 0,$ есть система ультрасферических многочленов, ортогональных на отрезке $[-1,1]$ с весом $(1-t^2)^\alpha,$ нормированных условием $R_k(1)=1, \ k\ge 0.$ Обозначим через ${\cal F}_m$ множество непрерывных на отрезке $[-1,1]$ функций $f,$ представимых в виде ряда $f(t)=\sum_{k\ge 0} f_k R_k(t)$ с неотрицательными коэффициентами $\{f_k\}^\infty _{k=1}$ и $f_0>0,$ неположительных на отрезке $[-1,\frac{1}{2}].$ На этом множестве функций рассматривается величина

$$w_m=\inf\left\{\frac{f(1)}{f_0}: \ f\in{\cal F}_m\right\}.\eqno (*)$$

В работах Г.А.Кабатянского, В.И.Левенштейна, Э.Одлыжко, Н.Слоэна доказано, что любая функция $f\in{\cal F}_m$ дает оценку $\tau_m\le \frac{f(1)}{f_0},$ и, значит, справедливо неравенство $\tau_m\le w_m;$ на этом пути за счет выбора конкретных функций $f\in{\cal F}_m$ они получили хорошие оценки сверху контактных чисел $\tau_m,$ и, в частности, вычислили $\tau_m$ при $m=8,24.$

В данной работе сделано следующее. Выписана двойственная задача и приведена соответствующая теорема двойственности для несколько более общей задачи, чем $(*).$ Дано точное решение задачи $(*)$ при $m=4.$ При этом оказалось, что $w_4=25.558429097\ldots,$ и решением является многочлен, близкий к выписанному ранее Э.Одлыжко и Н.Слоэном (Odlyzko A.M., Sloane N.J.A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in $n$ dimensions // J. of Combinatorial Theory, Series A 26, 1979. P.210-214). Наш результат, в частности, означает, что неравенство $\tau_4\le w_4$ не может дать для числа $\tau_4$ оценку сверху, лучшую, чем оценка $\tau_4\le 25$, полученная Э.Одлыжко и Н.Слоэном.

Библиогр. 21 назв.