Статья опубликована в журнале: Известия РАН. Серия математическая. 1998. Т. 68, N 6. С. 27-52;
English translation: Russian Acad. Sci. Math. Izv., 68 (1998), no. 6.

А Н Н О Т А Ц И Я

УДК 517.518.837

Б а б е н к о А. Г.
Точное неравенство Джексона - Стечкина для $L^2$ - приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах

Пусть $L^2_{\alpha,\beta}$ есть гильбертово пространство действительных функций на отрезке $[0,\pi]$ со скалярным произведением

$$(F,G)=\int_{0}^{\pi}F(x)G(x) \left(\sin \displaystyle{\frac{x... ...aystyle{\frac{x}{2}}\right)^{2\beta +1}dx, \ \alpha>-1,\beta>-1$$

$\mbox{и нормой}\ \Vert F\Vert=(F,F)^{1/2}$. В работе доказано, что в случае $\alpha>\beta \ge -1/2$ справедливо точное неравенство Джексона - Стечкина

$$E_{n-1} (F) \le \omega_r (F,2x_{n}^{\alpha,\beta}), \ F\in L^2_{\alpha,\beta}\, ,$$

$$n \ge \max\left\{2,1+\displaystyle{\frac{\alpha-\beta}{2}}\right\}\ \mbox{при}\ \beta>-1/2, \ n\ge 1\ \mbox{при}\ \beta=-1/2,$$

между наилучшим приближением функции $F$ косинус-полиномами порядка $n-1$ и ее обобщенным модулем непрерывности (вещественного) порядка $r\ge 1.$ Здесь $x_{n}^{\alpha,\beta}$ - первый положительный ноль косинус-полинома Якоби $P_{n}^{(\alpha,\beta)}(\cos x).$

Приведена многомерная интерпретация этого результата на примере $L^2$-приближений функций, заданных на проективных пространствах.

Библиогр. 49 назв.