next up previous
Next: 1 Постановка задачи. История

ТОЧНОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЖЕКСОНА - СТЕЧКИНА В ПРОСТРАНСТВЕ tex2html_wrap_inline1368

А. Г. Бабенко

Аннотация:

Получено точное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве tex2html_wrap_inline1368 между наилучшим приближением функции целыми функциями заданного экспоненциального сферического типа и сферическим модулем непрерывности функции вещественного порядка tex2html_wrap_inline1372; установлены оценки сверху и снизу (отличающиеся друг от друга в два раза) для наименьшего значения аргумента модуля непрерывности, начиная с которого точная константа в неравенстве Джексона - Стечкина выходит на свой минимум.

Введение.

Хорошо известно неравенство Джексона [1]
displaymath1374
в пространстве tex2html_wrap_inline1376 вещественных непрерывных tex2html_wrap_inline1378-периодических функций или, тоже самое, в пространстве tex2html_wrap_inline1380 непрерывных вещественных функций на одномерном торе tex2html_wrap_inline1382 между равномерным приближением функции tex2html_wrap_inline1384 тригонометрическими полиномами степени n и ее равномерным модулем непрерывности первого порядка с конечной константой tex2html_wrap_inline1388 не зависящей ни от f, ни от n. Этот результат был перенесен на случай старших модулей непрерывности порядка tex2html_wrap_inline1394 (Н.И.Ахиезер [2, стр. 217, 190,] - случай r=2, С.Б.Стечкин [3] - общий случай) и на случай функций многих переменных (см. [4], [5]). Первый точный результат в неравенстве Джексона установил Н.П.Корнейчук [6] в пространстве tex2html_wrap_inline1380 (с первым модулем непрерывности). Н.И.Черных [7], [8] нашел точную константу в неравенстве Джексона - Стечкина в пространстве tex2html_wrap_inline1400 (с модулем непрерывности порядка tex2html_wrap_inline1402

В настоящее время имеется ряд точных результатов в этом направлении, как для пространств функций одной переменной, так и для пространств функций нескольких переменных. Более подробно история этого вопроса изложена в работе автора [9]. Исторические сведения, относящиеся непосредственно к теме исследования данной работы, будут приведены ниже. Упомянем сейчас лишь работу В.А.Юдина [10], в которой доказано точное неравенство Джексона между наилучшим среднеквадратичным приближением функции на многомерном торе tex2html_wrap_inline1404 тригонометрическими полиномами заданного сферического порядка и ее классическим модулем непрерывности первого порядка определяемого с помощью выпуклого, замкнутого, центрально симметричного тела. При доказательстве этого неравенства он, фактически, получил родственный результат в пространстве tex2html_wrap_inline1368.

В данной работе на основе методов Н.И.Черныха, В.А.Юдина, с использованием схемы работы автора [9], найдена наименьшая константа в неравенстве Джексона - Стечкина для наилучших сферических среднеквадратичных приближений функций, заданных на вещественном евклидовом пространстве tex2html_wrap_inline1408 целыми функциями заданного экспоненциального сферического типа в терминах сферического модуля непрерывности вещественного порядка tex2html_wrap_inline1372.