Основные результаты (1983-2001).

1983-1984. Рассмотрим произвольное пространство $P_n,$ порожденное $2\pi$-периодической системой Чебышева $\{1,\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{2n}\},$ инвариантное относительно оператора сдвига с шагом $2\pi/(n+1).$ Пусть

$$m(P_n):=\inf\{\,{\rm mes}\,(\,x\in[0,2\pi]:\;f(x)\ge0\,):\; f\in{P^0_n}\,\},$$

где $P^0_n$ есть множество полиномов $f\in{P_n}$ с нулевым средним значением на периоде. Доказано, что $m(P_n)=2\pi/(n+1).$

Важным примером $P_n$ является пространство тригонометрических полиномов степени не выше $n.$ Соответствующая этому случаю задача была поставлена Л.В.Тайковым вначале 60-х годов XX века.

1985. Пусть $X$ есть бесконечномерное линейное нормированное пространство и $B:=\{x\in X:\; \Vert x\Vert\leq1\}$ - его единичный шар. Доказано что для каждого фиксированного числа $\delta\in(0,1)$ существует непрерывное отображение $T$ шара $B$ в себя, такое что $\Vert x-Tx\Vert\geq\delta$ для всех $x\in{B}.$

1986-1988. Пусть $E_{n-1}(f)$ есть наилучшее $L^2$-приближение $2\pi$-периодической функции $f\in L^2$ тригонометрическими полиномами степени $n-1$ и пусть $\omega(f,\delta)$ есть модуль непрерывности функции $f$ в $L^2.$ Найдена наименьшая константа $K=K_n(\tau)$ в неравенстве Джексона

$$E_{n-1}(f)\leq K\omega\left(f,\frac{\tau}{n}\right),\quad f\in L^2,$$

при

$$\tau=\frac{\pi}{m},\quad m\in{\bf N},\quad m\geq1+\frac{3n}{2},\quad n\geq1,$$

и при

$$\tau=\frac{\pi}{m},\quad m\in{\bf N},\quad m\geq\frac{3n}{4},\quad n\geq10.$$

В частности, доказано, что

$$K_n(\tau)= \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\cos(\tau/2)-1/2}{\tau\sin(\ta... ...d \tau=\frac{\pi}{m},\quad m\in{\bf N},\quad m\geq1+\frac{3n}{2},\quad n\geq1.$$

Аналогичные результаты получены для среднеквадратичных приближений периодических функций тригонометрическими полиномами на равномерной сетке.

1996-1998. Доказано точное неравенство Джексона-Стечкина

$$E_{n-1}(f) \leq \omega_r (f,2 \tau _{n,\lambda}), \quad f\in L^2({\bf S}^{m-1}),$$

для произвольных фиксированных $n\geq1,\;m\geq5,\;r\geq1.$ Здесь $E_{n-1}(f)$ есть наилучшее $L^2$-приближение функции $f\in L^2({\bf S}^{m-1})$ сферическими полиномами степени не выше $n-1,$ $\omega _r(f,\tau)$ есть $r$-ый модуль непрерывности $f$ основанный на обобщенном сдвиге

$$s_t f(x):=\frac{1}{\vert{\bf S}^{m-2}\vert}\int_{{\bf S}^{m-2}} f(x\cos t+\xi\sin t)d\xi ,$$

$$t\in{\bf R},\quad x\in{\bf S}^{m-1},\quad {\bf S}^{m-2}={\bf S}^{m-2}_x= \{\xi\in{\bf S}^{m-1}:\; x\cdot\xi=0\},$$

$\vert{\bf S}^{m-2}\vert$ есть мера единичной евклидовой сферы ${\bf S}^{m-2},$ $\lambda=(m-2)/2,\ \ \tau_{n,\lambda}\$ есть первый положительный ноль косинус-полинома Гегенбауэра $C^{\lambda}_n (\cos t)$.

Пусть $L^2_{\alpha,\beta}$ есть пространство вещетвеннозначных функций суммируеммых с квадратом на отрезке $[0,\pi]$ с весом Якоби $(\sin(x/2))^{2\alpha +1}(\cos(x/2))^{2\beta +1},$ $\;\alpha>\beta\ge-1/2\;$ или $\;\alpha=\beta>-1/2.$ Доказано следующее точное неравенство Джексона-Стечкина

$$E_{n-1} (f) \le \omega_r (f,2x_{n}^{\alpha,\beta}), \quad f\in L^2_{\alpha,\beta},\quad r\ge 1,$$

$n\geq1\;$ для $\;\alpha>\beta=-\displaystyle\frac{1}{2}\;$ или $\;\alpha=\beta>-\displaystyle\frac{1}{2}\;$ и $\;n\ge\max\left\{2,1+\displaystyle{\frac{\alpha-\beta}{2}}\right\}\;$ для $\alpha>\beta>-\displaystyle\frac{1}{2}.$ Здесь $E_{n-1}(f)$ есть наилучшее приближение функции $f$ косинус-полиномами степени не выше $n-1$ в $L^2_{\alpha,\beta}$-метрике и $\omega _r(f,\tau)$ есть $r$-ый модуль непрерывности основанный на операторе обобщенного сдвига в $L^2_{\alpha,\beta};$ $x_{n}^{\alpha,\beta}$ есть первый положительный ноль косинус-полинома Якоби $P_{n}^{(\alpha,\beta)}(\cos x).$

Аналогичные точные неравенства получены для среднеквадратичных приближений функций нескольких переменных на евклидовых и проективных пространствах. Эти результаты дополняют известные точные результаты Н.И.Черных, В.А.Юдина, В.В.Арестова и В.Ю.Попова.

2000-2001. Рассматривалось неравенство Джексона-Стечкина между наилучшим среднеквадратичным приближением произвольной $2\pi$-периодической функции $f\in L^2$ конечномерным подпространством $X\subset L^2$ и модулем непрерывности (гладкости) функции $f,$ порожденным конечно-разностным оператором с коэффициентами (весами) непрерывно зависящими от шага оператора. Получена универсальная (независящая от $X$) оценка снизу для точной константы в указанном неравенстве. Эта оценка оказалась неулучшаемой в ряде случаев.

Точные результаты в этом направлении в случае первого классического модуля непрерывности в пространствах $C$ и $L^p$ были установлены Н.П.Корнейчуком (1962-1984), Н.И.Черных (1967-1992), В.И.Бердышевым (1967-1985) и другими математиками.

Упомянутые выше конечно-разностный оператор и соответствующий модуль непрерывности связаны с конечной и разделенной разностью, обобщенным модулем непрерывности (гладкости), которые исследовали и применяли Попович (1959), Боман и Шапиро (1971), Мюльбах (1973), Шарма и Цимбаларио (1977), Мичелли (1979), Шевалдин (1981), Бэррэр и Лоэб (1984), Вронич (1984), Г.Тодэр и С.Тодэр (1985) и другие математики.

Ниже приводятся результаты, полученные совместно с В.В.Арестовым.

1997-2000. Пусть ${\cal R}=\{R_k\}_{k=1}^{\infty}$ есть равномерно ограниченная последовательность вещественнозначных функций непрерывных на компактном множестве $Q\subset(-\infty,\infty)$, а $G$ означает множество всех неотрицательных суммируемых последовательностей $x=\{x_k\}_{k=1}^{\infty},$ таких что $1+x_1 R_1(t)+x_2 R_2(t)+\ldots\le 0, \ t\in Q.$ Если $G\ne\emptyset$, то рассмотрим задачу минимизации функционала $U(x)=x_1+x_2+\ldots$ на $G$. Метод Дельсарта верхних оценок упаковок некоторых метрических пространств приводит к указанной выше задаче для специальных функциональных систем. Нами выписана задача дойственная указанной задаче и доказана соответствующая теорема двойственности, включая существование решений обеих задач. Кроме того, были указаны дополнительные свойства решений в случае когда $Q\subset[-1,1)$ и ${\cal R}$ есть система ${\cal R}^{(\alpha,\beta)}=\{R_k^{(\alpha,\beta)}\}^\infty_{k=1}, \ R_k^{(\alpha,\beta)}(1)=1$ полиномов Якоби при $\alpha\ge\beta\ge-1/2$. Для ${\cal R}={\cal R}^{(1/2,1/2)}, \ Q=[-1,1/2]$, найдено точное решение отмеченных задач, которые связаны с проблемой контактного числа пространства ${\bf R}^4$.

Показаны возможности схемы Дельсарта в оценках сверху минимальных расстояний во множествах из $24$ и $25$ точек на единичной сфере четырехмерного евклидова пространства ${\bf {R}}^4$. В качестве следствия получено утверждение, что среди любых $25 \ (24)$ точек на единичной сфере пространства ${\bf R}^4$ всегда найдутся две точки, угловое расстояние между которыми строго меньше $60.5^{\circ} \ (61.41^{\circ})$.

2001-2002. Обозначим через ${\cal K}_{r}(\delta,\sigma),\;r>0,\;\delta>0,\;\sigma>0,$ наименьшую константу в неравенстве Джексона

$$E_{\sigma}(f)\le {\cal K}_r(\delta,\sigma)\ \omega_r(\delta,f), \quad f \in L^2({\bf {R}}),$$

между наилучшим приближением $E_{\sigma}(f)=\inf\{\,\Vert f-g\Vert _{2}:\ g\in W(\sigma)\,\}$ произвольной функции $f\in L^2({\bf {R}})$ пространством $W(\sigma)$ целых функций экспоненциального типа $\sigma$, с одной стороны, и ее $r$-м модулем непрерывности $\omega_r(\delta,f)$ с другой стороны. Доказано, что ${\cal K}_{r}(\delta,\sigma)$ непрерывна по $\delta.$