1983-1984. Рассмотрим произвольное пространство
порожденное
-периодической системой Чебышева
инвариантное относительно оператора сдвига с шагом
Пусть
Важным примером является пространство
тригонометрических полиномов степени не выше
Соответствующая этому случаю задача была поставлена
Л.В.Тайковым вначале 60-х годов XX века.
1985. Пусть есть бесконечномерное линейное нормированное
пространство и
- его единичный шар.
Доказано что для каждого фиксированного числа
существует непрерывное отображение
шара
в себя, такое что
для всех
1986-1988. Пусть
есть наилучшее
-приближение
-периодической функции
тригонометрическими полиномами степени
и пусть
есть модуль непрерывности функции
в
Найдена наименьшая константа
в
неравенстве Джексона
Аналогичные результаты получены для среднеквадратичных приближений периодических функций тригонометрическими полиномами на равномерной сетке.
1996-1998. Доказано точное неравенство Джексона-Стечкина
Пусть
есть пространство
вещетвеннозначных функций суммируеммых с квадратом на
отрезке
с весом Якоби
или
Доказано следующее точное неравенство Джексона-Стечкина
Аналогичные точные неравенства получены для среднеквадратичных приближений функций нескольких переменных на евклидовых и проективных пространствах. Эти результаты дополняют известные точные результаты Н.И.Черных, В.А.Юдина, В.В.Арестова и В.Ю.Попова.
2000-2001. Рассматривалось неравенство
Джексона-Стечкина между наилучшим среднеквадратичным
приближением произвольной -периодической функции
конечномерным подпространством
и модулем непрерывности (гладкости) функции
порожденным конечно-разностным оператором с
коэффициентами (весами) непрерывно зависящими от шага
оператора. Получена универсальная (независящая от
)
оценка снизу для точной константы в указанном
неравенстве. Эта оценка оказалась неулучшаемой в ряде
случаев.
Точные результаты в этом направлении в случае первого
классического модуля непрерывности в пространствах и
были установлены Н.П.Корнейчуком (1962-1984),
Н.И.Черных (1967-1992), В.И.Бердышевым (1967-1985) и
другими математиками.
Упомянутые выше конечно-разностный оператор и соответствующий модуль непрерывности связаны с конечной и разделенной разностью, обобщенным модулем непрерывности (гладкости), которые исследовали и применяли Попович (1959), Боман и Шапиро (1971), Мюльбах (1973), Шарма и Цимбаларио (1977), Мичелли (1979), Шевалдин (1981), Бэррэр и Лоэб (1984), Вронич (1984), Г.Тодэр и С.Тодэр (1985) и другие математики.
Ниже приводятся результаты, полученные совместно с В.В.Арестовым.
1997-2000. Пусть
есть
равномерно ограниченная последовательность вещественнозначных
функций непрерывных на компактном множестве
, а
означает множество всех
неотрицательных суммируемых последовательностей
таких что
Если
, то рассмотрим
задачу минимизации функционала
на
. Метод
Дельсарта верхних оценок упаковок некоторых метрических
пространств приводит к указанной выше задаче для специальных
функциональных систем. Нами выписана задача дойственная указанной
задаче и доказана соответствующая теорема двойственности, включая
существование решений обеих задач. Кроме того, были указаны
дополнительные свойства решений в случае когда
и
есть система
полиномов Якоби при
. Для
, найдено точное
решение отмеченных задач, которые связаны с проблемой
контактного числа пространства
.
Показаны возможности схемы Дельсарта в оценках сверху
минимальных расстояний во множествах из и
точек
на единичной сфере четырехмерного евклидова пространства
. В качестве следствия получено утверждение,
что среди любых
точек на единичной сфере
пространства
всегда найдутся две точки,
угловое расстояние между которыми строго меньше
.
2001-2002. Обозначим через
наименьшую константу в неравенстве Джексона