next up previous
Next: Bibliography

   

Статья опубликована в сборнике:
Труды международной школы С.Б.Стечкина по теории функций (Россия, г.Миасс Челябинской обл., 24 июля - 3 авг. 1998 г.). Екатеринбург: УрO РАН, 1999. С. 38-63. Библиогр.: 33 назв.

ТОЧНОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЖЕКСОНА-СТЕЧКИНА
ДЛЯ L2-ПРИБЛИЖЕНИЙ НА
ПОЛУПРЯМОЙ С ВЕСОМ ЛАГЕРРА % latex2html id marker 2594
\setcounter{footnote}{1}\fnsymbol{footnote}

А.Г. Бабенко
(Екатеринбург, Институт математики и механики УрО РАН)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 96-01-00121, 96-01-00122).

Данная работа посвящена изучению точной константы в неравенстве Джексона-Стечкина между наилучшим среднеквадратичным приближением произвольной комплексной функции на полупрямой с весом Лагерра tae-t,I>a > - 1/2, алгебраическими многочленами заданной степени с одной стороны и ее модулем непрерывности вещественного порядка r > 0, порожденного обобщенным сдвигом (см. [1]), построенном на основе ряда Фурье-Лагерра функции с другой стороны. Интегральное представление указанного сдвига может быть получено с помощью формулы умножения для многочленов Лагерра, которую установили Харди (при a = 0) и Ватсон (при a > - 1/2) [2]. Соответствующие прямые и обратные теоремы теории приближения исследовались в работах [3]-[7], а в статье [8] указанные теоремы установлены в терминах модуля непрерывности, построенного на основе нового оператора обобщенного сдвига.

В этой заметке найдено наименьшее значение точной константы в неравенстве Джексона-Стечкина с (обобщенным) модулем непрерывности порядка r$ \ge$1 и локализована точка, начиная с которой указанная константа (как функция аргумента модуля непрерывности) выходит на свой минимум, равный единице. Содержащиеся здесь результаты, частично, анонсированы автором в [9].

Первые точные результаты в прямых теоремах теории приближения функций одной и нескольких переменных получили Н.П.Корнейчук [10], [11], Н.И.Черных [12]-[14], В.А.Юдин [15]. Более подробная история этого вопроса и информация о дальнейшем развитии темы о точных неравенствах Джексона-Стечкина на некоторых классических многообразиях содержится в [16]. Среди последних работ в этом направлении отметим [17]-[24].

Введение. Рассмотрим пространство L2 = L2a = L2($ \mathbb {R}$+, tae-t), a > - 1, комплексных функций, измеримых по Лебегу на полуоси $ \mathbb {R}$+ = [0, + $ \infty$), квадрат модуля которых суммируем с весом tae-t на $ \mathbb {R}$+. Это пространство наделено скалярным произведением и нормой

(f, g) = $\displaystyle \int_{0}^{\infty}$f (t)$\displaystyle \bar{g}$(t)tae-t dt,    | f| = $\displaystyle \sqrt{(f,f)}$. (1.1)

Обозначим через Pn множество всех многочленов p(t) = c0 + c1t +...+ cntn степени не выше n $ \in$ $ \mathbb { Z}$+ = {0, 1, 2,...} с комплексными коэффициентами. Наилучшим приближением функции f из L2 множеством Pn называют величину

En(f )= min{| f - p| :  p $\displaystyle \in$ Pn}.

Величину наилучшего приближения функции f $ \in$ L2 можно выразить через ее коэффициенты Фурье по системе многочленов Лагерра. Подробнее, рассмотрим сначала стандартизованные многочлены Лагерра

Ln(a)(t) = $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}$$\displaystyle {\frac{1}{k!}}$n+a$\displaystyle \choosen-$k(- t)k,    n $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb { Z}$+ . (1.2)

Эти многочлены являются ортогональными в смысле скалярного произведения (1.1) (см. [25, формулы (5.1.1), (5.1.6)])

(Ln(a), Lm(a)) = $\displaystyle \Gamma$(a + 1)n+a$\displaystyle \choosen$$\displaystyle \delta^{n}_{m}$ = $\displaystyle \Gamma$(a + 1)Ln(a)(0)$\displaystyle \delta^{n}_{m}$,

где $ \delta^{n}_{m}$ есть символ Кронекера

$\displaystyle \delta^{n}_{m}$ = $\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}1,\quad
\mbox{если} \ n=m\\  0,\quad \mbox{если} \ n\ne
m\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}1,\quad
\mbox{если} \ n=m\\  0,\quad \mbox{если} \ n\ne
m\end{array}$    n, m $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb { Z}$+ .

Введем многочлены Rn = R(a)n, положив

Rn(t) = Ln(a)(t)/Ln(a)(0),    n $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb { Z}$+ ; (1.3)

такое определение корректно, поскольку

Ln(a)(0) = n+a$\displaystyle \choosen$ > 0,    n $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb { Z}$+ . (1.4)

Очевидно, выполняются следующие соотношения

Rn(0) = 1;    (Rn, Rm) = $\displaystyle {\frac{\Gamma (a+1)}{L_n^{(a)}(0)}}$$\displaystyle \delta^{n}_{m}$ = $\displaystyle {\frac{\Gamma (a+1)}{{n+a\choose n}}}$$\displaystyle \delta^{n}_{m}$ (1.5)

для целых неотрицательных чисел n и m. Функции f $ \in$ L2 соответствует ряд Фурье по системе многочленов (1.3)

f (t) = $\displaystyle \sum_{k\ge
0}^{}$ckRk(t),    ck = ck(f )= k+a$\displaystyle \choosek$$\displaystyle {\frac{(f,R_k)}{\Gamma (a+1)}}$ . (1.6)

Наилучшее приближение функции (1.6) множеством Pn - 1 вычисляется с помощью известной формулы

En - 12(f )= $\displaystyle \Gamma$(a + 1)$\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle {\frac{c_k^2}{{k+a\choose k}}}$,    n $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {
N}$ = {1, 2, 3,... }. (1.7)

С настоящего момента мы будем рассматривать лишь случай a$ \ge$ - 1/2. Как обычно, через C[$ \delta$,$ \tau$] будем обозначать пространство вещественных функций, непрерывных на отрезке [$ \delta$,$ \tau$] с равномерной нормой

| f|C[$\scriptstyle \delta$,$\scriptstyle \tau$] = max{ | f (x)| : $\displaystyle \delta$$\displaystyle \le$x$\displaystyle \le$$\displaystyle \tau$ }.

В силу известных асимптотических свойств стандартизованных многочленов Лагерра L(a)k (см. [25, §7.6, §8.22]) имеет место следующее утверждение.
Предложение 1.1. Пусть a$ \ge$ - 1/2, $ \tau$ > 0. Тогда многочлены Rk(t) = L(a)k(t)/L(a)k(0), k = 0, 1, 2,... равномерно ограничены на отрезке [0,$ \tau$], т.е.

sup{| Rk|C[0,$\scriptstyle \tau$] : k $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb { Z}$+ } < $\displaystyle \infty$.

Кроме того, если a > - 1/2, и $ \delta$ - произвольное число из открытого интервала (0,$ \tau$), то последовательность многочленов Rk, k = 0, 1, 2,... равномерно сходятся к нулю на отрезке [$ \delta$,$ \tau$] при k$ \to$$ \infty$ со скоростью k- (a + 1/2)/2, и ,в частности, имеет место соотношение

$\displaystyle \lim_{k\to\infty}^{}$| Rk|C[$\scriptstyle \delta$,$\scriptstyle \tau$] = 0,    a > - 1/2,    0 < $\displaystyle \delta$ < $\displaystyle \tau$ < $\displaystyle \infty$.

На основе разложения (1.6) функции f $ \in$ L2 в ряд Фурье-Лагерра определим ее (обобщенный) модуль непрерывности порядка r > 0 (не обязательно целого) в точке $ \tau$$ \ge$ 0, положив

$\displaystyle \omega_{r}^{}$(f,$\displaystyle \tau$) = $\displaystyle \sqrt{\sup\limits_{0\le h\le\tau} \Gamma(a+1)\sum_{k\ge
1}\frac{c_k^2}{{{k+a}\choose {k}}} \vert 1-R_k(h)\vert^r\,. }$ (1.8)

Сейчас мы покажем, что при a > - 1/2 такое определение модуля непрерывности является естественным обобщением общепринятого.

Оператором обобщенного сдвига с шагом h > 0 называют оператор Th, действующий в пространстве L2 по правилу [1]

Thf (t) = $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}$ckRk(h)Rk(t),    f (t) = $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}$ckRk(t) $\displaystyle \in$ L2. (1.9)

Видно, что оператор Th является линейным, кроме того, из предложения 1.1, следует его ограниченность как оператора из L2a в L2a, a$ \ge$ - 1/2 (см., например, [7]). В случае a > - 1/2 этот оператор имеет важное интегральное представление (1.13), которое использует следующее определение и обозначения.

Функцией Бесселя первого рода индекса q (см. [26, § 3.1, формула (8)], [25, формула (1.71.1)]) называется функция

Jq(u) = $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{(-1)^k}{k!\Gamma (k+q+1)}}$$\displaystyle \Big($$\displaystyle {\frac{u}{2}}$$\displaystyle \Big)^{q+2k}_{}$. (1.10)

Положим

$\displaystyle \bf\Lambda_{q}^{}$(u) = $\displaystyle \Gamma$(q + 1)$\displaystyle \Big($$\displaystyle {\frac{2}{u}}$$\displaystyle \Big)^{q}_{}$Jq(u),    $\displaystyle \mu$(a) = 1$\displaystyle \Big/$$\displaystyle \int_{0}^{\pi}$(sin$\displaystyle \varphi$)2ad$\displaystyle \varphi$, (1.11)

V(t, h,$\displaystyle \varphi$) = exp$\displaystyle \left(\vphantom{-\sqrt{th}\cos\varphi }\right.$ - $\displaystyle \sqrt{th}$cos$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \left.\vphantom{-\sqrt{th}\cos\varphi }\right)$$\displaystyle \bf\Lambda_{a-1/2}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{th}\sin\varphi }\right.$$\displaystyle \sqrt{th}$sin$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{th}\sin\varphi }\right)$(sin$\displaystyle \varphi$)2a.

Благодаря формуле умножения для многочленов Лагерра [2]
    Rk(h)Rk(t) =  
    = $\displaystyle \mu$(a)$\displaystyle \int_{0}^{\pi}$Rk$\displaystyle \left(\vphantom{t+h+2\sqrt{th}\cos\varphi }\right.$t + h + 2$\displaystyle \sqrt{th}$cos$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \left.\vphantom{t+h+2\sqrt{th}\cos\varphi }\right)$V(t, h,$\displaystyle \varphi$)d$\displaystyle \varphi$, (1.12)

установленной Харди при a = 0 и Ватсоном при a > - 1/2, оператор обобщенного сдвига можно записать в следующей интегральной форме (см. [5], [7])

Thf (t) = $\displaystyle \mu$(a)$\displaystyle \int_{0}^{\pi}$f$\displaystyle \left(\vphantom{t+h+2\sqrt{th}\cos\varphi }\right.$t + h + 2$\displaystyle \sqrt{th}$cos$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \left.\vphantom{t+h+2\sqrt{th}\cos\varphi }\right)$V(t, h,$\displaystyle \varphi$)d$\displaystyle \varphi$. (1.13)

Отметим, что оператор обобщенного сдвига с шагом h = 0 является тождественным оператором; это следует как из формулы (1.13), так и из определения (1.9) с учетом первого равенства в (1.5).

Пусть 1$ \le$p$ \le$$ \infty$a > - 1/2, обозначим через Lpa пространство комплексных функций, измеримых по Лебегу на полуоси $ \mathbb {R}$+ с конечной нормой

| f|p = $\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{ll}
\Big(\displaystyle\int_0^\inf...
...athrm ess}\sup \vert f(t)t^{a/2}e^{-t/2}\vert, & p=\infty.
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll}
\Big(\displaystyle\int_0^\infty
\vert f(t)t^{...
...\
{\mathrm ess}\sup \vert f(t)t^{a/2}e^{-t/2}\vert, & p=\infty.
\end{array}$ (1.14)

Известно [5], что при a$ \ge$0, 1$ \le$p$ \le$$ \infty$ оператор сдвига Th = Th, a является линейным ограниченным оператором из пространства Lpa в себя.

При a$ \ge$ - 1/2 обозначим через $ \xi$(a) наибольшее неотрицательное число, удовлетворяющее условию

| Rk(h)|$\displaystyle \le$1    для всех    h $\displaystyle \in$ [0,$\displaystyle \xi$(a)]    и    k $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {
N}$. (1.15)

Из известных свойств многочленов Лагерра (см. ниже (2.2)) следует, что

$\displaystyle \xi$(- $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$) = 0,    a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \le$$\displaystyle \xi$(a)$\displaystyle \le$2a + 2 приI>a > - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.

Поэтому при a > - 1/2 является корректной и содержательной схема Грюнвальда-Летникова [27], [28] (см. также [29, §20], [30]) построения разностного оператора $ \Delta^{r}_{h}$ вещественного (не обязательно целого) порядка r > 0 с шагом h $ \in$ [0,$ \xi$(a)]

$\displaystyle \Delta^{r}_{h}$ = (I - Th)r/2 = $\displaystyle \sum_{k\ge
0}^{}$$\displaystyle {\frac{1}{k!}}$$\displaystyle \psi_{r}^{(k)}$(0)Thk ,

где $ \psi_{r}^{}$(u) = (1 - u)r/2,    I - тождественный оператор, Th0 = I и Thk есть k-ая итерация оператора Th. Стандартным образом (см.[7], [30]) приходим к соотношению

|$\displaystyle \Delta_{h}^{r}$f|2 = $\displaystyle \Gamma$(a + 1)$\displaystyle \sum_{k\ge 1}^{}$$\displaystyle {\frac{c_k^2}{{{k+a}\choose
{k}}}}${1 - Rk(h)}r,    0$\displaystyle \le$h$\displaystyle \le$$\displaystyle \xi$(a),    r > 0,

которое выполняется для любой функции f (x) = $\displaystyle \sum_{k\ge
0}^{}$ckRk(x) из пространства L2. Отсюда и (1.15) видно, что модуль непрерывности, определенный формулой (1.8), удовлетворяет равенству

$\displaystyle \omega_{r}^{}$(f,$\displaystyle \tau$) = sup{|$\displaystyle \Delta^{r}_{h}$f| :  0$\displaystyle \le$h$\displaystyle \le$$\displaystyle \tau$}    при    0$\displaystyle \le$$\displaystyle \tau$$\displaystyle \le$$\displaystyle \xi$(a).

Для фиксированных $ \tau$ > 0,    n $ \in$ $ \mathbb { N}$,    r > 0,    a$ \ge$ - 1/2 рассмотрим задачу о точной константе K = K($ \tau$, n, r, a) в неравенстве Джексона-Стечкина

En - 1(f )$\displaystyle \le$K$\displaystyle \omega_{r}^{}$(f,$\displaystyle \tau$),    f $\displaystyle \in$ L2a, (1.16)

т.е. задачу о вычислении величины

K($\displaystyle \tau$, n, r, a) = sup$\displaystyle \left\{\vphantom{\frac{E_{n-1}(f)} {\omega _r(f,\tau)}:\quad
f\in L^2_a }\right.$$\displaystyle {\frac{E_{n-1}(f)}{\omega _r(f,\tau)}}$ :     f $\displaystyle \in$ L2a$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{E_{n-1}(f)} {\omega _r(f,\tau)}:\quad
f\in L^2_a }\right\}$. (1.17)

Здесь и в аналогичных ситуациях ниже мы считаем, что

$\displaystyle {\frac{\lambda}{0}}$ = + $\displaystyle \infty$    при    $\displaystyle \lambda$ > 0,        и    $\displaystyle {\textstyle\frac{0}{0}}$ = 0. (1.18)

В работах [3]-[7] оператор сдвига Th применялся, в частности, для построения модуля непрерывности и доказательства соответствующих прямых и обратных теорем теории приближения. Известно [3]-[7], что величина K(n-1, n, 2, a) ограничена по n при каждом фиксированном a > - 1/2.

Для $ \tau$ > 0,    n $ \in$ $ \mathbb { N}$,    r > 0,    a$ \ge$ - 1/2, наряду с задачей (1.17), рассмотрим задачу о точной константе æ = æ($ \tau$, n, r, a) в неравенстве

$\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$$\displaystyle \le$æ$\displaystyle \sup_{0\le h\le\tau}^{}$$\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$| 1 - Rk(h)|r,    {$\displaystyle \rho_{k}^{}$}k = n$\scriptstyle \infty$ $\displaystyle \in$ ln+, (1.19)

где ln+ - класс всех неотрицательных и суммируемых последовательностей {$ \rho_{k}^{}$}k = n$\scriptstyle \infty$, т.е.

ln+ = $\displaystyle \left\{\vphantom{
\{\rho_k\}_{k=n}^\infty\,:\quad
\sum_{k\ge n}\rho_k<\infty,\quad\mbox{все} \ \rho_k\ge 0 \ }\right.${$\displaystyle \rho_{k}^{}$}k = n$\scriptstyle \infty$  :     $\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$ < $\displaystyle \infty$,    все $\displaystyle \rho_{k}^{}$$\displaystyle \ge$$\displaystyle \left.\vphantom{
\{\rho_k\}_{k=n}^\infty\,:\quad
\sum_{k\ge n}\rho_k<\infty,\quad\mbox{все} \ \rho_k\ge 0 \ }\right\}$.

Очевидно, что

æ($\displaystyle \tau$, n, r, a) =

= sup$\displaystyle \left\{\vphantom{
\displaystyle\frac{\sum\limits_{k\ge n}\rho_k}...
...}\rho_k\vert 1-R_k(h)\vert^r} :
\quad \{\rho_k\}_{k=n}^\infty\in l^n_+}\right.$$\displaystyle {\frac{\sum\limits_{k\ge n}\rho_k}{\sup\limits_{0\le h\le\tau}\sum\limits_{k\ge n}\rho_k\vert 1-R_k(h)\vert^r}}$ :     {$\displaystyle \rho_{k}^{}$}k = n$\scriptstyle \infty$ $\displaystyle \in$ ln+$\displaystyle \left.\vphantom{
\displaystyle\frac{\sum\limits_{k\ge n}\rho_k}
...
...\rho_k\vert 1-R_k(h)\vert^r} :
\quad \{\rho_k\}_{k=n}^\infty\in l^n_+}\right\}$. (1.20)

Здесь, также как и в (1.17), действует соглашение (1.18). Из (1.7), (1.8) вытекает равенство

K2($\displaystyle \tau$, n, r, a) = æ($\displaystyle \tau$, n, r, a) (1.21)

при     $ \tau$ > 0,    n $ \in$ $ \mathbb { N}$,    r > 0,    a$ \ge$ - 1/2.

В.В.Арестов получил довольно общий результат [31, лемма 3] , [16, лемма 4.2] (см. ниже лемму 2.2), из которого следует оценка снизу

K($\displaystyle \tau$, n, r, a)$\displaystyle \ge$1     (1.22)

при $ \tau$ > 0,    n $ \in$ $ \mathbb { N}$,    r > 0,    a > - 1/2.

В данной заметке указана некоторая область изменения параметров $ \tau$, n, r, a, при которых неравенство (1.22) обращается в равенство. Для точной формулировки результата нам необходимы следующие обозначения:

jq - первый положительный нуль функции Бесселя Jq первого рода индекса q > - 1, определение которой дано выше (см. (1.10));
$ \tau_{n,a}^{}$ - минимальный нуль многочлена Лагерра L(a)n, a > - 1, n $ \in$ $ \mathbb { N}$ (см. (1.2)).

Относительно jq известны следующие утверждения (см. [26, §15.2, §15.6]):

j-1/2 = $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$$\displaystyle \le$jq$\displaystyle \le$$\displaystyle \pi$ = j1/2    при     - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \le$q$\displaystyle \le$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$;

$\displaystyle \sqrt{q(q+2)}$ < jq    при    q$\displaystyle \ge$1;

jq при q > 0 возрастает с ростом q. Кроме того, в работе [32] получена оценка сверху

jq < $\displaystyle \sqrt{q+1}$$\displaystyle \left\{\vphantom{\sqrt{q+2}+1}\right.$$\displaystyle \sqrt{q+2}$ + 1$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{q+2}+1}\right\}$    при    q > - 1.

Для $ \tau_{n,a}^{}$ выполняются неравенства (см. [25, формула (6.31.12)])

$\displaystyle {\frac{j_a^2}{2(2n+a+1)}}$ < $\displaystyle \tau_{n,a}^{}$$\displaystyle \le$$\displaystyle {\frac{(a+1)(a+3)}{2n+a+1}}$ (1.23)

при     n $ \in$ $ \mathbb { N}$,    a > - 1.

Напомним, что из общих свойств ортогональных многочленов (см. [25, теорема 3.3.2]) и верхней оценки в (1.23) следует, что $ \tau_{n,a}^{}$, строго убывая, стремится к нулю при возрастании n к бесконечности. Поэтому для каждого числа a > - 1/2 существует минимальное натуральное число n = n(a), начиная с которого выполняется неравенство: 2$ \tau_{n,a}^{}$$ \le$ja - 1/2, т.е.

n(a) = min{n $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {
N}$ : $\displaystyle \tau_{n,a}^{}$$\displaystyle \le$ja - 1/2}. (1.24)

Аналогично, определим число

N(a) = min$\displaystyle \left\{\vphantom{n\in\mathbb{ N}: \ 2\tau_{n,a}\le
\min\left\{\frac{\xi(a)}{2},\, j_{a-1/2}\right\}
}\right.$n $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {
N}$ :  2$\displaystyle \tau_{n,a}^{}$$\displaystyle \le$min$\displaystyle \left\{\vphantom{\frac{\xi(a)}{2},\, j_{a-1/2}}\right.$$\displaystyle {\frac{\xi(a)}{2}}$ja - 1/2$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\xi(a)}{2},\, j_{a-1/2}}\right\}$$\displaystyle \left.\vphantom{n\in\mathbb{ N}: \ 2\tau_{n,a}\le
\min\left\{\frac{\xi(a)}{2},\, j_{a-1/2}\right\}
}\right\}$.

При a > - 1/2 с помощью (1.23) получаем оценки

n(a)$\displaystyle \le$(a + 1)$\displaystyle \left\{\vphantom{\frac{a+3}{j_{a-1/2}}-\frac{1}{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{a+3}{j_{a-1/2}}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+3}{j_{a-1/2}}-\frac{1}{2}}\right\}$ + 1,

N(a)$\displaystyle \le$(a + 1)$\displaystyle \left\{\vphantom{\frac{a+3}{\min\{\xi(a)/2,
j_{a-1/2}\}}- \frac{1}{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{a+3}{\min\{\xi(a)/2,
j_{a-1/2}\}}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+3}{\min\{\xi(a)/2,
j_{a-1/2}\}}- \frac{1}{2}}\right\}$ + 1.

Основным результатом данной работы являются оценки сверху величины (1.17), которые выполняются при a > - 1/2

K($\displaystyle \tau$, n, r, a)$\displaystyle \le$1,    r$\displaystyle \ge$1,    n$\displaystyle \ge$n(a),    $\displaystyle \tau$$\displaystyle \ge$4$\displaystyle \tau_{n,a}^{}$;

K($\displaystyle \tau$, n, r, a)$\displaystyle \le$2(1 - r)/2,    0 < r < 1,    n$\displaystyle \ge$N(a),

4$\displaystyle \tau_{n,a}^{}$$\displaystyle \le$$\displaystyle \tau$$\displaystyle \le$$\displaystyle \xi$(a).

Более точная формулировка полученного здесь результата содержится в следующем утверждении.

Теорема 1.1. Пусть a > - 1/2. Тогда на множестве функций f $ \in$ L2a, отличных от постоянной, справедливы неравенства

En - 1(f ) < 1 . $\displaystyle \omega_{r}^{}$(f,$\displaystyle \tau$) (1.25)

при  r$ \ge$1,    n$ \ge$n(a),    $ \tau$$ \ge$4$ \tau_{n,a}^{}$;

En - 1(f ) < 2(1 - r)/2 . $\displaystyle \omega_{r}^{}$(f,$\displaystyle \tau$) (1.26)

при  0 < r < 1,    n$ \ge$N(a),    4$ \tau_{n,a}^{}$$ \le$$ \tau$$ \le$$ \xi$(a).

Причем, в случае r$ \ge$1 множитель 1, стоящий перед модулем непрерывности в неравенстве (1.25), нельзя заменить на меньший.

Для доказательства неравенств (1.25), (1.26) используются идеи, содержащиеся в работах Н.И.Черных [12], [13] и В.А.Юдина [15], а также схема работы автора [16]. Последнее утверждение теоремы 1.1 следует из неравенства (1.22).

В пункте 4 приводится доказательство теоремы 1.1, которое основано на утверждениях предыдущих пунктов. Пункт 5 посвящен неравенству Джексона-Стечкина со смешанным обобщенным модулем непрерывности. В заключении данного пункта, отметим, что в случае a = - 1/2 задача (1.17) остается открытой.

2. Оценка снизу. Вначале приведем несколько утверждений, которые являются следствиями известных свойств многочленов Лагерра.

Из явного выражения (1.2) и неравенства (1.4) для стандартизованных многочлена Лагерра следует, что многочлены (1.3), наряду со свойством: Rk(0) = 1, k $ \in$ $ \mathbb { Z}$+ , обладают свойством: Rk'(0) < 0,    k $ \in$ $ \mathbb { N}$,    a$ \ge$ - 1/2. Поэтому при a$ \ge$ - 1/2 числа

$\displaystyle \xi_{k}^{}$(a) = sup {t$\displaystyle \ge$0 : | Rk(x)|$\displaystyle \le$1 при 0$\displaystyle \le$x$\displaystyle \le$t},    k = 1, 2,...,

являются строго положительными. Очевидно, что

    $\displaystyle \xi_{1}^{}$(a) = 2a + 2,    a$\displaystyle \ge$ - 1/2. (2.1)

Положим

$\displaystyle \xi$(a) = inf{$\displaystyle \xi_{k}^{}$(a) : k $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {
N}$},    a$\displaystyle \ge$ - 1/2.

Для оценки снизу $ \xi$(a) используем известное утверждение [25, теорема 7.6.1].

Теорема 2.1. Пусть a - произвольное вещественное число и n - произвольное натуральное число. Последовательность, образованная относительными максимумами функции | Ln(a)(x)| и значением этой функции в точке x = 0, является убывающей при x < a + 1/2 и возрастающей при x > a + 1/2.

Из этой теоремы, предложения 1.1 и равенства (2.1) вытекают следующие утверждения для величины $ \xi$(a)

$\displaystyle \xi$$\displaystyle \left(\vphantom{-\frac{1}{2}}\right.$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{-\frac{1}{2}}\right)$ = 0;    a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \le$$\displaystyle \xi$(a)$\displaystyle \le$2a + 2,    a > - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$; (2.2)

если a$ \ge$ - 1/2, , то величина

Ma($\displaystyle \tau$) = sup{| Rk|C[0,$\scriptstyle \tau$] :  k $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {
N}$}

удовлетворяет соотношениям

Ma($\displaystyle \tau$) = 1    при    0$\displaystyle \le$$\displaystyle \tau$$\displaystyle \le$$\displaystyle \xi$(a),    Ma($\displaystyle \tau$) < $\displaystyle \infty$    при    $\displaystyle \tau$ > $\displaystyle \xi$(a).

Отсюда следует такое утверждение

Лемма 2.1. Пусть a$ \ge$ - 1/2,    r > 0,    $ \tau$ > 0,    n $ \in$ $ \mathbb { N}$. Тогда функции

Pk(t) = | 1 - Rn + k(t)|r,    k $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb { Z}$+ ,

обладают следующими свойствами:     Pk $ \in$ C[0,$ \tau$],     Pk(0) = 0,      sup{| Pk|C[0,$\scriptstyle \tau$] :  k $ \in$ $ \mathbb { Z}$+}$ \le${1 + Ma($ \tau$)}r < $ \infty$.

Кроме того, если a > - 1/2, то при любом $ \delta$ $ \in$ (0,$ \tau$] выполняется соотношение: $ \lim_{k\to\infty}^{}$| Pk|C[$\scriptstyle \delta$,$\scriptstyle \tau$] = 1.

Для более общих систем функций В.В.Арестов [16, лемма 4.2] доказал следующее утверждение (двойственный аналог которого доказан им ранее в [31, лемма 3]).

Лемма 2.2. Пусть на отрезке [0,$ \tau$], $ \tau$ > 0, задана система непрерывных вещественных функций Fk,     k = 0, 1, 2,..., удовлетворяющая условиям: Fk(0) = 0,     k $ \in$ $ \mathbb { Z}$+ ; существует абсолютная константа 1$ \le$M < $ \infty$ такая, что | Fk(t)|$ \le$M    при    0$ \le$t$ \le$$ \tau$,    k $ \in$ $ \mathbb { Z}$+ ; для любого числа $ \delta$ $ \in$ (0,$ \tau$] выполняется соотношение

$\displaystyle \liminf_{k\to\infty}^{}$(max{Fk(t) : $\displaystyle \delta$$\displaystyle \le$t$\displaystyle \le$$\displaystyle \tau$})$\displaystyle \le$1.

Тогда для любого $ \varepsilon$ $ \in$ (0, 1) найдется функция

F(t) = $\displaystyle \sum_{k\ge
0}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$Fk(t),    $\displaystyle \sum_{k\ge
0}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$ = 1,

с неотрицательными коэффициентами $ \rho_{k}^{}$$ \ge$0,    k$ \ge$0, такая, что

F(t)$\displaystyle \le$1 + $\displaystyle \varepsilon$    при всех    t $\displaystyle \in$ [0,$\displaystyle \tau$].

Следствие 2.1. Если a > - 1/2,    r > 0,    $ \tau$ > 0,    n $ \in$ $ \mathbb { N}$, то существует последовательность функций fll = 1, 2, 3,..., из L2a такая, что

$\displaystyle \lim_{l\to\infty}^{}$$\displaystyle {\frac{E_{n-1}(f_l)}{\omega _r(f_l,\tau)}}$$\displaystyle \ge$1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим систему функций

Pk(t) = | 1 - Rn + k(t)|r,    k = 0, 1, 2,...,    t $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {
R}$+ .

Как следует из леммы 2.1, эта система функций удовлетворяет условиям леммы 2.2, поэтому для любого $ \varepsilon$ $ \in$ (0, 1) существует функция F$\scriptstyle \varepsilon$ вида

F$\scriptstyle \varepsilon$(t) = $\displaystyle \sum_{k\ge
0}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$| 1 - Rn + k(t)|r,    $\displaystyle \sum_{k\ge
0}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$ = 1

с неотрицательными коэффициентами $ \rho_{k}^{}$$ \ge$0, k = 0, 1, 2,..., такая, что при всех t $ \in$ [0,$ \tau$] выполняется неравенство:     F$\scriptstyle \varepsilon$(t)$ \le$1 + $ \varepsilon$.    В силу (1.7), (1.8) для функции

f$\scriptstyle \varepsilon$(t) = $\displaystyle \sum_{k\ge
0}^{}$$\displaystyle \sqrt{{{n+k+a}\choose {n+k}}\rho_k}$Rn + k(t) $\displaystyle \in$ L2a

выполняется неравенство

$\displaystyle {\frac{E_n^2(f_\varepsilon )}{\omega _r^2(f_\varepsilon ,\tau)}}$$\displaystyle \ge$$\displaystyle {\frac{1}{(1+\varepsilon )}}$.

Устремляя $ \varepsilon$ к нулю, приходим к требуемому утверждению.

Следствие 2.1 влечет оценку (1.22) для величины (1.17).

3. Вспомогательные утверждения.

Лемма 3.1. Пусть a > - 1/2,    0 < 2$ \tau$$ \le$ja - 1/2, функция F неотрицательна и непрерывна на $ \mathbb {R}$+, кроме того, ее носитель сосредоточен на полуинтервале [0,$ \tau$), т.е. F(t) = 0 при t$ \ge$$ \tau$. Тогда функция F$\scriptstyle \tau$(t) = T$\scriptstyle \tau$F(t) является неотрицательной и непрерывной на $ \mathbb {R}$+ с носителем на [0, 4$ \tau$), т.е. F$\scriptstyle \tau$(t) = 0 при t$ \ge$4$ \tau$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. вытекает из определения (1.13) сдвига и следующих двух легко проверяемых неравенств

$\displaystyle \tau$$\displaystyle \le$t + $\displaystyle \tau$ + 2$\displaystyle \sqrt{t\tau}$cos$\displaystyle \varphi$ при t$\displaystyle \ge$4$\displaystyle \tau$,    0$\displaystyle \le$$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \le$$\displaystyle \pi$;  
0$\displaystyle \le$$\displaystyle \sqrt{\tau t}$sin$\displaystyle \varphi$ < ja - 1/2 при 0 < $\displaystyle \tau$$\displaystyle \le$ja - 1/2/2,  
    0$\displaystyle \le$t < 4$\displaystyle \tau$,    0$\displaystyle \le$$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \le$$\displaystyle \pi$;  
$\displaystyle \bf\Lambda_{a-1/2}^{}$(u) > 0 при 0$\displaystyle \le$u < ja - 1/2,    a > - 1/2;  

последнее из них следует из определения (1.11) функции $ \bf\Lambda_{q}^{}$.

Как уже отмечалось в первом пункте статьи, следствием результата (1.12) Харди и Ватсона является интегральное представление (1.13) для оператора сдвига Th. Кроме того, из определения (1.9) вытекает свойство самосопряженности оператора сдвига Th (см. [6]).

Лемма 3.2. Пусть a$ \ge$ - 1/2, h$ \ge$0. Тогда для любых двух функций fg из L2a выполняется равенство

(Thf, g) = (f, Thg).

Рассмотрим следующее множество Gn = Gn, a,    n $ \in$ $ \mathbb { N}$, a$ \ge$ - 1/2 функций, заданных на $ \mathbb {R}$+

Gn = $\displaystyle \left\{\vphantom{f(x)=\sum_{k\ge n}\rho_k R_k(x):\ \sum_{k\ge n}
\rho_k=1,\ \rho_k\ge 0,\ k\ge n}\right.$f (x) = $\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$Rk(x) :  $\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$ = 1, $\displaystyle \rho_{k}^{}$$\displaystyle \ge$0, k$\displaystyle \ge$n$\displaystyle \left.\vphantom{f(x)=\sum_{k\ge n}\rho_k R_k(x):\ \sum_{k\ge n}
\rho_k=1,\ \rho_k\ge 0,\ k\ge n}\right\}$. (3.1)

Это множество является выпуклым, замкнутым подмножеством пространства C[0,$ \tau$] при любом 0 < $ \tau$ < $ \infty$.

Важной характеристикой системы многочленов Лагерра является точка Черных множества Gn, которая определяется следующим образом

Определение 3.1. Положительное число $ \sigma$ = $ \sigma$(Gn) называется точкой Черных для множества Gn, если одновременно выполняются следующие два условия

(а) для любой функции f из Gn найдется точка x* = x*(f ) из открытого интервала (0,$ \sigma$), в которой f (x*) < 0;

(b) для любого числа $ \delta$ $ \in$ (0,$ \sigma$) существует функция f$\scriptstyle \delta$ $ \in$ Gn и число $ \varepsilon$ > 0 такие, что f$\scriptstyle \delta$(x)$ \ge$$ \varepsilon$ при всех x $ \in$ [0,$ \delta$].

Первые результаты, связанные с такой же характеристикой системы косинусов, принадлежат Н.И.Черных. Он доказал [12], [14] утверждения , которые эквивалентны равенству

$\displaystyle \sigma$(Cn) = $\displaystyle {\frac{\pi}{n}}$,    n $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {
N}$,

где

Cn = $\displaystyle \left\{\vphantom{f(x)=\sum_{k\ge n}\rho_k \cos kx:\quad \sum_{k\ge n}
\rho_k=1,\ \mbox{ все }\ \rho_k\ge 0}\right.$f (x) = $\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$cos kx :     $\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$ = 1,  все  $\displaystyle \rho_{k}^{}$$\displaystyle \ge$ 0$\displaystyle \left.\vphantom{f(x)=\sum_{k\ge n}\rho_k \cos kx:\quad \sum_{k\ge n}
\rho_k=1,\ \mbox{ все }\ \rho_k\ge 0}\right\}$.

Напомним (см. (1.24)), что для a > - 1/2 через n(a) мы обозначили минимальное натуральное число n, начиная с которого выполняется неравенство: Основным результатом этого пункта является

Лемма 3.3. Пусть a > - 1/2. Тогда для точки Черных множества Gn справедливы оценки

$\displaystyle \tau_{n,a}^{}$$\displaystyle \le$$\displaystyle \sigma$(Gn)    при    n$\displaystyle \ge$1, (3.2)

$\displaystyle \sigma$(Gn)$\displaystyle \le$4$\displaystyle \tau_{n,a}^{}$    при    n$\displaystyle \ge$n(a). (3.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Оценка снизу (3.2) вытекает из того, что функция Rn принадлежит Gn и удовлетворяет неравенству

Rn(x)$\displaystyle \ge$Rn($\displaystyle \delta$) > 0    при    x $\displaystyle \in$ [0,$\displaystyle \delta$],    $\displaystyle \delta$ $\displaystyle \in$ (0,$\displaystyle \tau_{n,a}^{}$).

Здесь мы воспользовались тем, что нули производной R'n перемежаются с нулями Rn, а также равенством Rn(0) = 1 и неравенством R'n(0) < 0.

Доказательство оценки сверху (3.3) будем проводить по схеме Н.И.Черных [12] . Именно, построим вес - неотрицательную, ненулевую и интегрируемую на отрезке [0, 4$ \tau_{n,a}^{}$] функцию v(x) = vn, a(x), удовлетворяющую условиям

$\displaystyle \int_{0}^{4\tau_{n,a}}$Rk(x)v(x)dx$\displaystyle \le$0,    k$\displaystyle \ge$n. (3.4)

Эти условия и повлекут справедливость оценки (3.3), т.к. тогда для каждой функции

f (x) = $\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$Rk(x),    f (0) = $\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$ = 1,    $\displaystyle \rho_{k}^{}$$\displaystyle \ge$0,    k$\displaystyle \ge$n

из Gn будут выполнятся соотношения

$\displaystyle \int_{0}^{4\tau_{n,a}}$f (x)v(x)dx = $\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$$\displaystyle \int_{0}^{4\tau_{n,a}}$Rk(x)v(x)dx$\displaystyle \le$0,

из которых, ввиду нетривиальности и неотрицательности v, будет следовать существование точки x* из открытого интервала (0, 4$ \tau_{n,a}^{}$), такой что f (x*) < 0.

Идея построения искомого веса v близка к той, которая применялась В.А.Юдиным в работе [15]. Положим

V(x) = $\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}R_n(x)&,&\quad x\in [0,\tau_{n,a})\\
0&,&\quad x\ge\tau_{n,a}.\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}R_n(x)&,&\quad x\in [0,\tau_{n,a})\\
0&,&\quad x\ge\tau_{n,a}.\end{array}$

Искомый вес v определим по формуле

v(x) = xae-xT$\scriptstyle \tau_{n,a}$V(x).

Для n$ \ge$n(a) имеем 0 < 2$ \tau_{n,a}^{}$$ \le$ja - 1/2. Поэтому, в силу неотрицательности и непрерывности функции V на $ \mathbb {R}$+ с носителем на [0,$ \tau_{n,a}^{}$), с помощью леммы 3.1 получаем, что функция v непрерывна и неотрицательна на $ \mathbb {R}$+, причем v(x) = 0 для x$ \ge$4$ \tau_{n,a}^{}$. Применяя лемму 3.2, получаем, что величина

ak = $\displaystyle \int_{0}^{4\tau_{n,a}}$v(x)Rk(x)dx,    k $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {
N}$

удовлетворяет равенствам
ak = $\displaystyle \int_{0}^{\infty}$v(x)Rk(x)dx = $\displaystyle \int_{0}^{\infty}$xae-x{T$\scriptstyle \tau_{n,a}$V(x)}Rk(x)dx =  
  = (T$\scriptstyle \tau_{n,a}$V, Rk) = (V, T$\scriptstyle \tau_{n,a}$Rk). (3.5)

Учитывая формулу умножения (1.12) для многочленов Лагерра, получаем
ak = Rk($\displaystyle \tau_{n,a}^{}$)(V, Rk) = Rk($\displaystyle \tau_{n,a}^{}$)$\displaystyle \int_{0}^{\tau_{n,a}}$xae-xRn(x)Rk(x)dx =  
  = Rk($\displaystyle \tau_{n,a}^{}$)$\displaystyle \int_{0}^{\tau_{n,a}}$$\displaystyle {\frac{\varphi _n(x)\varphi _k(x)}{x}}$dx, (3.6)

где

$\displaystyle \varphi_{k}^{}$(x) = e- $\scriptstyle {\frac{x}{2}}$x$\scriptstyle {\frac{}{}}$a+12Rk(x),    k = 1, 2,...

Известно (см.[25, формула (5.1.2)]), что функции $ \varphi_{k}^{}$ удовлетворяют дифференциальному уравнению

x$\displaystyle \varphi_{k}{^\prime}{^\prime}$(x) - xq(x)$\displaystyle \varphi_{k}^{}$(x) = - $\displaystyle \left(\vphantom{k+\frac{a+1}{2}}\right.$k + $\displaystyle {\frac{a+1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{k+\frac{a+1}{2}}\right)$$\displaystyle \varphi_{k}^{}$(x), (3.7)

в котором

q(x) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ - $\displaystyle {\frac{a^2-1}{4x^2}}$.

Рассмотрим числа

ck = $\displaystyle \left\{\vphantom{\left(n+\frac{a+1}{2}\right)-
\left(k+\frac{a+1}{2}\right) }\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{n+\frac{a+1}{2}}\right.$n + $\displaystyle {\frac{a+1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{n+\frac{a+1}{2}}\right)$ - $\displaystyle \left(\vphantom{k+\frac{a+1}{2}}\right.$k + $\displaystyle {\frac{a+1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{k+\frac{a+1}{2}}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\left(n+\frac{a+1}{2}\right)-
\left(k+\frac{a+1}{2}\right) }\right\}$$\displaystyle \int_{0}^{\tau_{n,a}}$$\displaystyle {\frac{\varphi _n(x)\varphi _k(x)}{x}}$dx =

= $\displaystyle \int_{0}^{\tau_{n,a}}$$\displaystyle {\frac{(2n+a+1)\varphi _n(x)\varphi _k(x)-
(2k+a+1)\varphi _k(x)\varphi _n(x)}{2x}}$ dx.

Применяя стандартный прием с использованием уравнения (3.7), приходим к равенствам

ck = $\displaystyle \int_{0}^{\tau_{n,a}}${[$\displaystyle \varphi_{k}{^\prime}{^\prime}$(x) - q(x)$\displaystyle \varphi_{k}^{}$(x)]$\displaystyle \varphi_{n}^{}$(x)

- [$\displaystyle \varphi_{n}{^\prime}{^\prime}$(x) - q(x)$\displaystyle \varphi_{n}^{}$(x)]$\displaystyle \varphi_{k}^{}$(x)}dx =

= $\displaystyle \int_{0}^{\tau_{n,a}}${$\displaystyle \varphi_{k}{^\prime}{^\prime}$(x)$\displaystyle \varphi_{n}^{}$(x) - $\displaystyle \varphi_{n}{^\prime}{^\prime}$(x)$\displaystyle \varphi_{k}^{}$(x)}dx =

= $\displaystyle \left.\vphantom{\{\varphi _k'(x)\varphi _n(x)-\varphi _n'(x)\varphi _k(x)\} }\right.${$\displaystyle \varphi_{k}{^\prime}$(x)$\displaystyle \varphi_{n}^{}$(x) - $\displaystyle \varphi_{n}{^\prime}$(x)$\displaystyle \varphi_{k}^{}$(x)}$\displaystyle \left.\vphantom{\{\varphi _k'(x)\varphi _n(x)-\varphi _n'(x)\varphi _k(x)\} }\right\vert _{0}^{\tau_{n,a}}$ =

= $\displaystyle \left.\vphantom{x^{a+1}e^{-x}\{R_k'(x)R_n(x)-R_n'(x)R_k(x)\} }\right.$xa + 1e-x{Rk'(x)Rn(x) - Rn'(x)Rk(x)}$\displaystyle \left.\vphantom{x^{a+1}e^{-x}\{R_k'(x)R_n(x)-R_n'(x)R_k(x)\} }\right\vert _{0}^{\tau_{n,a}}$ =

= - $\displaystyle \tau_{n,a}^{a+1}$e- $\scriptstyle \tau_{n,a}$Rk($\displaystyle \tau_{n,a}^{}$)Rn'($\displaystyle \tau_{n,a}^{}$).

Отсюда и соотношений (3.5)-(3.6) получаем

an = 0,    ak = $\displaystyle {\frac{1}{k-n}}$$\displaystyle \tau_{n,a}^{a+1}$e- $\scriptstyle \tau_{n,a}$Rk2($\displaystyle \tau_{n,a}^{}$)Rn'($\displaystyle \tau_{n,a}^{}$),    k > n.

И поскольку R'n($ \tau_{n,a}^{}$) < 0 для n $ \in$ $ \mathbb { N}$, то ak$ \le$ 0 при k$ \ge$n.

Таким образом, мы нашли вес v, удовлетворяющий условиям (3.4), что завершает доказательства леммы 3.3.

В дальнейшем нам понадобится очевидное

Предложение 3.1. Имеют место следующие неравенства

| 1 - u|r$\displaystyle \ge$1 - ru    при    r$\displaystyle \ge$1,     - $\displaystyle \infty$ < u < + $\displaystyle \infty$;

| 1 - u|r$\displaystyle \ge$2r - 1(1 - u)    при    0 < r < 1,    u$\displaystyle \ge$ - 1.

4. Д о к а з а т е л ь с т в о. теоремы 1.1. Рассмотрим случай r$ \ge$1. Докажем неравенство (1.25). В силу (1.8), (1.19), (1.21) и предложения 3.1 нам достаточно установить неравенство

$\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$ < $\displaystyle \sup_{0\le t\le 4\tau_{n,a}}^{}$$\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}${1 - rRk(t)}$\displaystyle \rho_{k}^{}$,    n$\displaystyle \ge$n(a), (4.1)

для любой последовательности {$ \rho_{k}^{}$}k = n$\scriptstyle \infty$, удовлетворяющей условиям

$\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$ = 1,    все    $\displaystyle \rho_{k}^{}$$\displaystyle \ge$0.

Заметим, что ряд, находящийся в правой части (4.1), можно представить в виде

$\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}${1 - rRk(t)}$\displaystyle \rho_{k}^{}$ = $\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$ - rF(t),    F(t) = $\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$Rk(t),

причем функция F принадлежит множеству Gn (см. (3.1)). По лемме 3.3 точка Черных множества Gn удовлетворяет неравенству $ \sigma$(Gn)$ \le$4$ \tau_{n,a}^{}$ при n$ \ge$n(a). Следовательно (см. определение 3.1, часть (a)), для F найдется точка x* $ \in$ (0, 4$ \tau_{n,a}^{}$), в которой F(x*) < 0. Поэтому справедливо неравенство

$\displaystyle \sup_{0<t\le
4\tau_{n,a}}^{}$$\displaystyle \left\{\vphantom{\sum_{k\ge n}\rho_k-rF(t)}\right.$$\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$ - rF(t)$\displaystyle \left.\vphantom{\sum_{k\ge n}\rho_k-rF(t)}\right\}$ > $\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$$\displaystyle \rho_{k}^{}$,

которое совпадает с (4.1).

Неравенство (1.26) доказывается аналогично. Следствие 2.1. влечет последнее утверждение теоремы 1.1, чем и завершается ее доказательство теоремы 1.1.

5. Неравенство Джексона-Стечкина со смешанным обобщенным модулем непрерывности. В последнее время возрос интерес к прямым и обратным теоремам теории приближения в терминах смешанного обобщенного модуля непрерывности, основанного на операторе обобщенного сдвига, который строится с помощью двух различных систем функций (система функций, определяющая сдвиг, отличается от ортогональной системы функций, задающей базис гильбертова пространства). Так в совместной работе М.К.Потапова и С.К.Танкаевой [8] был введен новый оператор обобщенного сдвига, который в гильбертовом случае можно задать с помощью двух систем многочленов Лагерра с различными показателями.

Подробнее. Для вещественной неубывающей на полуоси $ \mathbb {R}$+ функции $ \mu$ обозначим через L2($ \mathbb {R}$+, d$ \mu$) пространство комплексных функций со скалярным произведением и нормой

(f, g) = $\displaystyle \int_{0}^{\infty}$f (t)$\displaystyle \bar{g}$(t) d$\displaystyle \mu$(t),    | f| = $\displaystyle \sqrt{(f,f)}$.

Пусть $ \Phi$ = {$ \varphi_{k}^{}$}$\scriptstyle \infty$k = 0 $ \in$ L2($ \mathbb {R}$+, d$ \mu$) есть полная ортогональная система функций в пространстве L2($ \mathbb {R}$+, d$ \mu$); $ \Psi$ = {$ \psi_{k}^{}$}$\scriptstyle \infty$k = 0 - система вещественных непрерывных на $ \mathbb {R}$+ функций, равномерно ограниченных на каждом конечном отрезке вида [0,$ \tau$] и удовлетворяющих свойству: $ \psi_{k}^{}$(0) = 1, k$ \ge$ 0. С помощью этих двух систем функций определяется оператор Th(f, t) = Th(f, t)$\scriptstyle \Psi$,$\scriptstyle \Phi$, d$\scriptstyle \mu$ (смешанного обобщенного) сдвига с шагом h$ \ge$ 0, действующий в пространстве L2($ \mathbb {R}$+, d$ \mu$) по закону

Th(f, t) = $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}$ck$\displaystyle \psi_{k}^{}$(h)$\displaystyle \varphi_{k}^{}$(t),    f (t) = $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}$ck$\displaystyle \varphi_{k}^{}$(t) $\displaystyle \in$ L2($\displaystyle \mathbb {
R}$+, d$\displaystyle \mu$).

Для функции f (t) = c0$ \varphi_{0}^{}$(t) + c1$ \varphi_{1}^{}$(t) + c2$ \varphi_{2}^{}$(t) +... из пространства L2($ \mathbb {R}$+, d$ \mu$), по аналогии с тем как это делалось выше (см. (1.8)), определим ее (смешанный обобщенный) модуль непрерывности порядка r > 0 в точке $ \tau$$ \ge$ 0, соответствующий сдвигу Th(f, t)$\scriptstyle \Psi$,$\scriptstyle \Phi$, d$\scriptstyle \mu$,
    $\displaystyle \omega_{r}^{}$(f,$\displaystyle \tau$) = $\displaystyle \omega_{r}^{}$(f,$\displaystyle \tau$)$\scriptstyle \Psi$,$\scriptstyle \Phi$, d$\scriptstyle \mu$ =  
    = $\displaystyle \sqrt{\sup\limits_{0\le h\le\tau} \sum_{k\ge
0}\Vert c_k\varphi_k\Vert^2\vert 1-\psi_k(h)\vert^r\,. }$ (5.1)

Обозначим через $ \Phi_{n}^{}$ множество всех полиномов p(t) = c0$ \varphi_{0}^{}$(t) + c1$ \varphi_{1}^{}$(t) +...+ cn$ \varphi_{n}^{}$(t) с комплексными коэффициентами c0, c1,..., cn. Наилучшим приближением функции f из L2($ \mathbb {R}$+, d$ \mu$) множеством $ \Phi_{n}^{}$ называют величину

En(f )= En(f )$\scriptstyle \Phi$, d$\scriptstyle \mu$ = min{| f - p| :  p $\displaystyle \in$ $\displaystyle \Phi_{n}^{}$}.

Для функции f (t) = c0$ \varphi_{0}^{}$(t) + c1$ \varphi_{1}^{}$(t) + c2$ \varphi_{2}^{}$(t) +... из пространства L2($ \mathbb {R}$+, d$ \mu$) эта величина удовлетворяет равенству

E2n - 1(f )= $\displaystyle \sum_{k\ge
n}^{}$| ck$\displaystyle \varphi_{k}^{}$|2.

Отсюда и (5.1) видно, что в случае, когда система $ \Psi$, задающая оператор сдвига, совпадает с системой $ \Re^{(a)}_{}$ = {R(a)k}$\scriptstyle \infty$k = 0 многочленов Лагерра с показателем a$ \ge$ - 1/2, задача о точной константе K = K($ \tau$, n, r,$ \Re^{(a)}_{}$,$ \Phi$, d$ \mu$) в неравенстве Джексона-Стечкина

En(f )$\scriptstyle \Phi$, d$\scriptstyle \mu$$\displaystyle \le$K$\displaystyle \omega_{r}^{}$(f,$\displaystyle \tau$)$\scriptstyle \Re^{(a)}$,$\scriptstyle \Phi$, d$\scriptstyle \mu$,    f $\displaystyle \in$ L2($\displaystyle \mathbb {
R}$+, d$\displaystyle \mu$),

сводится к задаче (1.20), и как следствие, получается равенство

K($\displaystyle \tau$, n, r,$\displaystyle \Re^{(a)}_{}$,$\displaystyle \Phi$, d$\displaystyle \mu$) = K($\displaystyle \tau$, n, r, a),

справедливое при     $ \tau$ > 0,    n $ \in$ $ \mathbb { N}$,    r > 0,    a$ \ge$ - $ {\frac{1}{2}}$.    

Приведем один конкретный пример оператора смешанного обобщенного сдвига, построенного в [8], для которого имеется изящное интегральное представление. Именно, в работе [8] был введен новый оператор обобщенного сдвига, действующий в пространстве Lp$\scriptstyle \beta$ (см. 1.14) по закону

Tah(f, t) =

= $\displaystyle {\frac{1}{\pi}}$$\displaystyle \int^{\pi}_{0}$f ($\displaystyle \Theta$)$\displaystyle \left(\vphantom{{\frac{\Theta}{t}}}\right.$$\displaystyle {\frac{\Theta}{t}}$$\displaystyle \left.\vphantom{{\frac{\Theta}{t}}}\right)^{a/2}_{}$e- $\scriptstyle \sqrt{th}$cos$\scriptstyle \varphi$cos$\displaystyle \left(\vphantom{a\chi-\sqrt{th}\sin\varphi}\right.$a$\displaystyle \chi$ - $\displaystyle \sqrt{th}$sin$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \left.\vphantom{a\chi-\sqrt{th}\sin\varphi}\right)$ d$\displaystyle \varphi$, (5.2)

где

a $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb { Z}$+ ,    t$\displaystyle \ge$0,    h$\displaystyle \ge$0,    0$\displaystyle \le$$\displaystyle \chi$$\displaystyle \le$$\displaystyle \pi$,

$\displaystyle \Theta$ = t + h + 2$\displaystyle \sqrt{th}$cos$\displaystyle \varphi$,    cos$\displaystyle \chi$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{t}+\sqrt{h}\cos\varphi}{\Theta}}$.

В указанной работе приводится важное свойство этого оператора, а именно, формула умножения для многочленов Лагерра с показателями 0 и a $ \in$ $ \mathbb { Z}$+

Tah(R(a)k, t) = R(0)k(h)R(a)k(t),    k $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb { Z}$+ ,    t$\displaystyle \ge$0,    h$\displaystyle \ge$0. (5.3)

Как отмечается в [8], эта формула следует из результатов, полученных в статье [33]. Формула (5.3) влечет следующее представление сдвига (5.2)

Tah(f, t) = $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}$ckR(0)k(h)R(a)k(t),

f (t) = $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}$ckR(a)k(t) $\displaystyle \in$ L2a,    a $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb { Z}$+ ,

которое можно записать также в виде

Tah(f, t) = Th(f, t)$\scriptstyle \Re^{(0)}$,$\scriptstyle \Re^{(a)}$, tae-t dt, a $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb { Z}$+ ,    t$\displaystyle \ge$0,    h$\displaystyle \ge$0.


next up previous
Next: Bibliography