Статья опубликована в сборнике:
Труды международной школы С.Б.Стечкина по теории функций (Россия, г.Миасс Челябинской обл., 24 июля - 3 авг. 1998 г.). Екатеринбург: УрO РАН, 1999. С. 38-63. Библиогр.: 33 назв.

ТОЧНОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЖЕКСОНА-СТЕЧКИНА
ДЛЯ L²-ПРИБЛИЖЕНИЙ НА
ПОЛУПРЯМОЙ С ВЕСОМ ЛАГЕРРА

А.Г. Бабенко
(Екатеринбург, Институт математики и механики УрО РАН)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 96-01-00121, 96-01-00122).

Данная работа посвящена изучению точной константы в неравенстве Джексона-Стечкина между наилучшим среднеквадратичным приближением произвольной комплексной функции на полупрямой с весом Лагерра t^ae^-t,I>a > - 1/2, алгебраическими многочленами заданной степени с одной стороны и ее модулем непрерывности вещественного порядка r > 0, порожденного обобщенным сдвигом (см. [1]), построенном на основе ряда Фурье-Лагерра функции с другой стороны. Интегральное представление указанного сдвига может быть получено с помощью формулы умножения для многочленов Лагерра, которую установили Харди (при a = 0) и Ватсон (при a > - 1/2) [2]. Соответствующие прямые и обратные теоремы теории приближения исследовались в работах [3]-[7], а в статье [8] указанные теоремы установлены в терминах модуля непрерывности, построенного на основе нового оператора обобщенного сдвига.

В этой заметке найдено наименьшее значение точной константы в неравенстве Джексона-Стечкина с (обобщенным) модулем непрерывности порядка r$\ge$1 и локализована точка, начиная с которой указанная константа (как функция аргумента модуля непрерывности) выходит на свой минимум, равный единице. Содержащиеся здесь результаты, частично, анонсированы автором в [9].

Первые точные результаты в прямых теоремах теории приближения функций одной и нескольких переменных получили Н.П.Корнейчук [10], [11], Н.И.Черных [12]-[14], В.А.Юдин [15]. Более подробная история этого вопроса и информация о дальнейшем развитии темы о точных неравенствах Джексона-Стечкина на некоторых классических многообразиях содержится в [16]. Среди последних работ в этом направлении отметим [17]-[24].

Введение. Рассмотрим пространство L² = L²_a = L²($\mathbb {R}$₊, t^ae^-t), a > - 1, комплексных функций, измеримых по Лебегу на полуоси $\mathbb {R}$₊ = [0, + $\infty$), квадрат модуля которых суммируем с весом t^ae^-t на $\mathbb {R}$₊. Это пространство наделено скалярным произведением и нормой

$$\int_{0}^{\infty} \bar{g} \sqrt{(f,f)}$$ (1.1)

Обозначим через P_n множество всех многочленов p(t) = c₀ + c₁t +...+ c_ntⁿ степени не выше n $\in$ $\mathbb { Z}$₊ = {0, 1, 2,...} с комплексными коэффициентами. Наилучшим приближением функции f из L² множеством P_n называют величину

E_n(f )= min{| f - p| :  p $$\in$$ P_n}.

Величину наилучшего приближения функции f $\in$ L² можно выразить через ее коэффициенты Фурье по системе многочленов Лагерра. Подробнее, рассмотрим сначала стандартизованные многочлены Лагерра

$$\sum_{k=0}^{n} {\frac{1}{k!}} \choosen- \in \mathbb { Z}$$ (1.2)

Эти многочлены являются ортогональными в смысле скалярного произведения (1.1) (см. [25, формулы (5.1.1), (5.1.6)])

(L_n^(a), L_m^(a)) = $$\Gamma$$(a + 1)n+a$$\choosen$$$$\delta^{n}_{m}$$ = $$\Gamma$$(a + 1)L_n^(a)(0)$$\delta^{n}_{m}$$,

где $\delta^{n}_{m}$ есть символ Кронекера

$$\delta^{n}_{m}$$ = $$\left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}1,\quad \mbox{если} \ n=m\\ 0,\quad \mbox{если} \ n\ne m\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{rcl}1,\quad \mbox{если} \ n=m\\ 0,\quad \mbox{если} \ n\ne m\end{array}$$    n, m $$\in$$ $$\mathbb { Z}$$₊ .

Введем многочлены R_n = R^(a)_n, положив

$$\in \mathbb { Z}$$ (1.3)

такое определение корректно, поскольку

$$\choosen \in \mathbb { Z}$$ (1.4)

Очевидно, выполняются следующие соотношения

$${\frac{\Gamma (a+1)}{L_n^{(a)}(0)}} \delta^{n}_{m} {\frac{\Gamma (a+1)}{{n+a\choose n}}} \delta^{n}_{m}$$ (1.5)

для целых неотрицательных чисел n и m. Функции f $\in$ L² соответствует ряд Фурье по системе многочленов (1.3)

$$\sum_{k\ge 0}^{} \choosek {\frac{(f,R_k)}{\Gamma (a+1)}}$$ (1.6)

Наилучшее приближение функции (1.6) множеством P_{n - 1} вычисляется с помощью известной формулы

$$\Gamma \sum_{k\ge n}^{} {\frac{c_k^2}{{k+a\choose k}}} \in \mathbb { N}$$ (1.7)

С настоящего момента мы будем рассматривать лишь случай a$\ge$ - 1/2. Как обычно, через C[$\delta$,$\tau$] будем обозначать пространство вещественных функций, непрерывных на отрезке [$\delta$,$\tau$] с равномерной нормой

| f|_{C[$\delta$,$\tau$]} = max{ | f (x)| : $$\delta$$$$\le$$x$$\le$$$$\tau$$ }.

В силу известных асимптотических свойств стандартизованных многочленов Лагерра L^(a)_k (см. [25, §7.6, §8.22]) имеет место следующее утверждение.
Предложение 1.1. Пусть a$\ge$ - 1/2, $\tau$ > 0. Тогда многочлены R_k(t) = L^(a)_k(t)/L^(a)_k(0), k = 0, 1, 2,... равномерно ограничены на отрезке [0,$\tau$], т.е.

sup{| R_k|_C[0,$\tau$] : k $$\in$$ $$\mathbb { Z}$$₊ } < $$\infty$$.

Кроме того, если a > - 1/2, и $\delta$ - произвольное число из открытого интервала (0,$\tau$), то последовательность многочленов R_k, k = 0, 1, 2,... равномерно сходятся к нулю на отрезке [$\delta$,$\tau$] при k$\to$$\infty$ со скоростью k^{- (a + 1/2)/2}, и ,в частности, имеет место соотношение

$$\lim_{k\to\infty}^{}$$| R_k|_{C[$\delta$,$\tau$]} = 0,    a > - 1/2,    0 < $$\delta$$ < $$\tau$$ < $$\infty$$.

На основе разложения (1.6) функции f $\in$ L² в ряд Фурье-Лагерра определим ее (обобщенный) модуль непрерывности порядка r > 0 (не обязательно целого) в точке $\tau$$\ge$ 0, положив

$$\omega_{r}^{} \tau \sqrt{\sup\limits_{0\le h\le\tau} \Gamma(a+1)\sum_{k\ge 1}\frac{c_k^2}{{{k+a}\choose {k}}} \vert 1-R_k(h)\vert^r\,. }$$ (1.8)

Сейчас мы покажем, что при a > - 1/2 такое определение модуля непрерывности является естественным обобщением общепринятого.

Оператором обобщенного сдвига с шагом h > 0 называют оператор T_h, действующий в пространстве L² по правилу [1]

$$\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \in$$ (1.9)

Видно, что оператор T_h является линейным, кроме того, из предложения 1.1, следует его ограниченность как оператора из L²_a в L²_a, a$\ge$ - 1/2 (см., например, [7]). В случае a > - 1/2 этот оператор имеет важное интегральное представление (1.13), которое использует следующее определение и обозначения.

Функцией Бесселя первого рода индекса q (см. [26, § 3.1, формула (8)], [25, формула (1.71.1)]) называется функция

$$\sum_{k=0}^{\infty} {\frac{(-1)^k}{k!\Gamma (k+q+1)}} \Big( {\frac{u}{2}} \Big)^{q+2k}_{}$$ (1.10)

Положим

$$\bf\Lambda_{q}^{} \Gamma \Big( {\frac{2}{u}} \Big)^{q}_{} \mu \Big/ \int_{0}^{\pi} \varphi \varphi$$ (1.11)

V(t, h,$$\varphi$$) = exp$$\left(\vphantom{-\sqrt{th}\cos\varphi }\right.$$ - $$\sqrt{th}$$cos$$\varphi$$$$\left.\vphantom{-\sqrt{th}\cos\varphi }\right)$$$$\bf\Lambda_{a-1/2}^{}$$$$\left(\vphantom{\sqrt{th}\sin\varphi }\right.$$$$\sqrt{th}$$sin$$\varphi$$$$\left.\vphantom{\sqrt{th}\sin\varphi }\right)$$(sin$$\varphi$$)^2a.

Благодаря формуле умножения для многочленов Лагерра [2]

$$\mu \int_{0}^{\pi} \left(\vphantom{t+h+2\sqrt{th}\cos\varphi }\right. \sqrt{th} \varphi \left.\vphantom{t+h+2\sqrt{th}\cos\varphi }\right) \varphi \varphi$$ (1.12)

установленной Харди при a = 0 и Ватсоном при a > - 1/2, оператор обобщенного сдвига можно записать в следующей интегральной форме (см. [5], [7])

$$\mu \int_{0}^{\pi} \left(\vphantom{t+h+2\sqrt{th}\cos\varphi }\right. \sqrt{th} \varphi \left.\vphantom{t+h+2\sqrt{th}\cos\varphi }\right) \varphi \varphi$$ (1.13)

Отметим, что оператор обобщенного сдвига с шагом h = 0 является тождественным оператором; это следует как из формулы (1.13), так и из определения (1.9) с учетом первого равенства в (1.5).

Пусть 1$\le$p$\le$$\infty$, a > - 1/2, обозначим через L^p_a пространство комплексных функций, измеримых по Лебегу на полуоси $\mathbb {R}$₊ с конечной нормой

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{ll} \Big(\displaystyle\int_0^\inf... ...athrm ess}\sup \vert f(t)t^{a/2}e^{-t/2}\vert, & p=\infty. \end{array}}\right. \begin{array}{ll} \Big(\displaystyle\int_0^\infty \vert f(t)t^{... ...\ {\mathrm ess}\sup \vert f(t)t^{a/2}e^{-t/2}\vert, & p=\infty. \end{array}$$ (1.14)

Известно [5], что при a$\ge$0, 1$\le$p$\le$$\infty$ оператор сдвига T_h = T_{h, a} является линейным ограниченным оператором из пространства L^p_a в себя.

При a$\ge$ - 1/2 обозначим через $\xi$(a) наибольшее неотрицательное число, удовлетворяющее условию

$$\le \in \xi \in \mathbb { N}$$ (1.15)

Из известных свойств многочленов Лагерра (см. ниже (2.2)) следует, что

$$\xi$$(- $${\textstyle\frac{1}{2}}$$) = 0,    a + $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\le$$$$\xi$$(a)$$\le$$2a + 2 приI>a > - $${\textstyle\frac{1}{2}}$$.

Поэтому при a > - 1/2 является корректной и содержательной схема Грюнвальда-Летникова [27], [28] (см. также [29, §20], [30]) построения разностного оператора $\Delta^{r}_{h}$ вещественного (не обязательно целого) порядка r > 0 с шагом h $\in$ [0,$\xi$(a)]

$$\Delta^{r}_{h}$$ = (I - T_h)^r/2 = $$\sum_{k\ge 0}^{}$$$${\frac{1}{k!}}$$$$\psi_{r}^{(k)}$$(0)T_h^k ,

где $\psi_{r}^{}$(u) = (1 - u)^r/2,    I - тождественный оператор, T_h⁰ = I и T_h^k есть k-ая итерация оператора T_h. Стандартным образом (см.[7], [30]) приходим к соотношению

|$$\Delta_{h}^{r}$$f|² = $$\Gamma$$(a + 1)$$\sum_{k\ge 1}^{}$$$${\frac{c_k^2}{{{k+a}\choose {k}}}}$${1 - R_k(h)}^r,    0$$\le$$h$$\le$$$$\xi$$(a),    r > 0,

которое выполняется для любой функции f (x) = $$\sum_{k\ge 0}^{}$$c_kR_k(x) из пространства L². Отсюда и (1.15) видно, что модуль непрерывности, определенный формулой (1.8), удовлетворяет равенству

$$\omega_{r}^{}$$(f,$$\tau$$) = sup{|$$\Delta^{r}_{h}$$f| :  0$$\le$$h$$\le$$$$\tau$$}    при    0$$\le$$$$\tau$$$$\le$$$$\xi$$(a).

Для фиксированных $\tau$ > 0,    n $\in$ $\mathbb { N}$,    r > 0,    a$\ge$ - 1/2 рассмотрим задачу о точной константе K = K($\tau$, n, r, a) в неравенстве Джексона-Стечкина

$$\le \omega_{r}^{} \tau \in$$ (1.16)

т.е. задачу о вычислении величины

$$\tau \left\{\vphantom{\frac{E_{n-1}(f)} {\omega _r(f,\tau)}:\quad f\in L^2_a }\right. {\frac{E_{n-1}(f)}{\omega _r(f,\tau)}} \in \left.\vphantom{\frac{E_{n-1}(f)} {\omega _r(f,\tau)}:\quad f\in L^2_a }\right\}$$ (1.17)

Здесь и в аналогичных ситуациях ниже мы считаем, что

$${\frac{\lambda}{0}} \infty \lambda {\textstyle\frac{0}{0}}$$ (1.18)

В работах [3]-[7] оператор сдвига T_h применялся, в частности, для построения модуля непрерывности и доказательства соответствующих прямых и обратных теорем теории приближения. Известно [3]-[7], что величина K(n^-1, n, 2, a) ограничена по n при каждом фиксированном a > - 1/2.

Для $\tau$ > 0,    n $\in$ $\mathbb { N}$,    r > 0,    a$\ge$ - 1/2, наряду с задачей (1.17), рассмотрим задачу о точной константе æ = æ($\tau$, n, r, a) в неравенстве

$$\sum_{k\ge n}^{} \rho_{k}^{} \le \sup_{0\le h\le\tau}^{} \sum_{k\ge n}^{} \rho_{k}^{} \rho_{k}^{} \infty \in$$ (1.19)

где lⁿ₊ - класс всех неотрицательных и суммируемых последовательностей {$\rho_{k}^{}$}_{k = n}^$\infty$, т.е.

lⁿ₊ = $$\left\{\vphantom{ \{\rho_k\}_{k=n}^\infty\,:\quad \sum_{k\ge n}\rho_k<\infty,\quad\mbox{все} \ \rho_k\ge 0 \ }\right.$${$$\rho_{k}^{}$$}_{k = n}^$\infty$  :     $$\sum_{k\ge n}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$ < $$\infty$$,    все $$\rho_{k}^{}$$$$\ge$$0 $$\left.\vphantom{ \{\rho_k\}_{k=n}^\infty\,:\quad \sum_{k\ge n}\rho_k<\infty,\quad\mbox{все} \ \rho_k\ge 0 \ }\right\}$$.

Очевидно, что

æ($$\tau$$, n, r, a) =

$$\left\{\vphantom{ \displaystyle\frac{\sum\limits_{k\ge n}\rho_k}... ...}\rho_k\vert 1-R_k(h)\vert^r} : \quad \{\rho_k\}_{k=n}^\infty\in l^n_+}\right. {\frac{\sum\limits_{k\ge n}\rho_k}{\sup\limits_{0\le h\le\tau}\sum\limits_{k\ge n}\rho_k\vert 1-R_k(h)\vert^r}} \rho_{k}^{} \infty \in \left.\vphantom{ \displaystyle\frac{\sum\limits_{k\ge n}\rho_k} ... ...\rho_k\vert 1-R_k(h)\vert^r} : \quad \{\rho_k\}_{k=n}^\infty\in l^n_+}\right\}$$ (1.20)

Здесь, также как и в (1.17), действует соглашение (1.18). Из (1.7), (1.8) вытекает равенство

$$\tau \tau$$ (1.21)

при     $\tau$ > 0,    n $\in$ $\mathbb { N}$,    r > 0,    a$\ge$ - 1/2.

В.В.Арестов получил довольно общий результат [31, лемма 3] , [16, лемма 4.2] (см. ниже лемму 2.2), из которого следует оценка снизу

$$\tau \ge$$ (1.22)

при $\tau$ > 0,    n $\in$ $\mathbb { N}$,    r > 0,    a > - 1/2.

В данной заметке указана некоторая область изменения параметров $\tau$, n, r, a, при которых неравенство (1.22) обращается в равенство. Для точной формулировки результата нам необходимы следующие обозначения:

j_q - первый положительный нуль функции Бесселя J_q первого рода индекса q > - 1, определение которой дано выше (см. (1.10));

$\tau_{n,a}^{}$ - минимальный нуль многочлена Лагерра L^(a)_n, a > - 1, n $\in$ $\mathbb { N}$ (см. (1.2)).

Относительно j_q известны следующие утверждения (см. [26, §15.2, §15.6]):

j_-1/2 = $${\frac{\pi}{2}}$$$$\le$$j_q$$\le$$$$\pi$$ = j_1/2    при     - $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\le$$q$$\le$$$${\textstyle\frac{1}{2}}$$;

$$\sqrt{q(q+2)}$$ < j_q    при    q$$\ge$$1;

j_q при q > 0 возрастает с ростом q. Кроме того, в работе [32] получена оценка сверху

j_q < $$\sqrt{q+1}$$$$\left\{\vphantom{\sqrt{q+2}+1}\right.$$$$\sqrt{q+2}$$ + 1$$\left.\vphantom{\sqrt{q+2}+1}\right\}$$    при    q > - 1.

Для $\tau_{n,a}^{}$ выполняются неравенства (см. [25, формула (6.31.12)])

$${\frac{j_a^2}{2(2n+a+1)}} \tau_{n,a}^{} \le {\frac{(a+1)(a+3)}{2n+a+1}}$$ (1.23)

при     n $\in$ $\mathbb { N}$,    a > - 1.

Напомним, что из общих свойств ортогональных многочленов (см. [25, теорема 3.3.2]) и верхней оценки в (1.23) следует, что $\tau_{n,a}^{}$, строго убывая, стремится к нулю при возрастании n к бесконечности. Поэтому для каждого числа a > - 1/2 существует минимальное натуральное число n = n(a), начиная с которого выполняется неравенство: 2$\tau_{n,a}^{}$$\le$j_{a - 1/2}, т.е.

$$\in \mathbb { N} \tau_{n,a}^{} \le$$ (1.24)

Аналогично, определим число

N(a) = min$$\left\{\vphantom{n\in\mathbb{ N}: \ 2\tau_{n,a}\le \min\left\{\frac{\xi(a)}{2},\, j_{a-1/2}\right\} }\right.$$n $$\in$$ $$\mathbb { N}$$ :  2$$\tau_{n,a}^{}$$$$\le$$min$$\left\{\vphantom{\frac{\xi(a)}{2},\, j_{a-1/2}}\right.$$$${\frac{\xi(a)}{2}}$$, j_{a - 1/2}$$\left.\vphantom{\frac{\xi(a)}{2},\, j_{a-1/2}}\right\}$$$$\left.\vphantom{n\in\mathbb{ N}: \ 2\tau_{n,a}\le \min\left\{\frac{\xi(a)}{2},\, j_{a-1/2}\right\} }\right\}$$.

При a > - 1/2 с помощью (1.23) получаем оценки

n(a)$$\le$$(a + 1)$$\left\{\vphantom{\frac{a+3}{j_{a-1/2}}-\frac{1}{2}}\right.$$$${\frac{a+3}{j_{a-1/2}}}$$ - $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left.\vphantom{\frac{a+3}{j_{a-1/2}}-\frac{1}{2}}\right\}$$ + 1,

N(a)$$\le$$(a + 1)$$\left\{\vphantom{\frac{a+3}{\min\{\xi(a)/2, j_{a-1/2}\}}- \frac{1}{2}}\right.$$$${\frac{a+3}{\min\{\xi(a)/2, j_{a-1/2}\}}}$$ - $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left.\vphantom{\frac{a+3}{\min\{\xi(a)/2, j_{a-1/2}\}}- \frac{1}{2}}\right\}$$ + 1.

Основным результатом данной работы являются оценки сверху величины (1.17), которые выполняются при a > - 1/2

K($$\tau$$, n, r, a)$$\le$$1,    r$$\ge$$1,    n$$\ge$$n(a),    $$\tau$$$$\ge$$4$$\tau_{n,a}^{}$$;

K($$\tau$$, n, r, a)$$\le$$2^{(1 - r)/2},    0 < r < 1,    n$$\ge$$N(a),

4$$\tau_{n,a}^{}$$$$\le$$$$\tau$$$$\le$$$$\xi$$(a).

Более точная формулировка полученного здесь результата содержится в следующем утверждении.

Теорема 1.1. Пусть a > - 1/2. Тогда на множестве функций f $\in$ L²_a, отличных от постоянной, справедливы неравенства

$$\omega_{r}^{} \tau$$ (1.25)

при  r$\ge$1,    n$\ge$n(a),    $\tau$$\ge$4$\tau_{n,a}^{}$;

$$\omega_{r}^{} \tau$$ (1.26)

при  0 < r < 1,    n$\ge$N(a),    4$\tau_{n,a}^{}$$\le$$\tau$$\le$$\xi$(a).

Причем, в случае r$\ge$1 множитель 1, стоящий перед модулем непрерывности в неравенстве (1.25), нельзя заменить на меньший.

Для доказательства неравенств (1.25), (1.26) используются идеи, содержащиеся в работах Н.И.Черных [12], [13] и В.А.Юдина [15], а также схема работы автора [16]. Последнее утверждение теоремы 1.1 следует из неравенства (1.22).

В пункте 4 приводится доказательство теоремы 1.1, которое основано на утверждениях предыдущих пунктов. Пункт 5 посвящен неравенству Джексона-Стечкина со смешанным обобщенным модулем непрерывности. В заключении данного пункта, отметим, что в случае a = - 1/2 задача (1.17) остается открытой.

2. Оценка снизу. Вначале приведем несколько утверждений, которые являются следствиями известных свойств многочленов Лагерра.

Из явного выражения (1.2) и неравенства (1.4) для стандартизованных многочлена Лагерра следует, что многочлены (1.3), наряду со свойством: R_k(0) = 1, k $\in$ $\mathbb { Z}$₊ , обладают свойством: R_k'(0) < 0,    k $\in$ $\mathbb { N}$,    a$\ge$ - 1/2. Поэтому при a$\ge$ - 1/2 числа

$$\xi_{k}^{}$$(a) = sup {t$$\ge$$0 : | R_k(x)|$$\le$$1 при 0$$\le$$x$$\le$$t},    k = 1, 2,...,

являются строго положительными. Очевидно, что

$$\xi_{1}^{} \ge$$ (2.1)

Положим

$$\xi$$(a) = inf{$$\xi_{k}^{}$$(a) : k $$\in$$ $$\mathbb { N}$$},    a$$\ge$$ - 1/2.

Для оценки снизу $\xi$(a) используем известное утверждение [25, теорема 7.6.1].

Теорема 2.1. Пусть a - произвольное вещественное число и n - произвольное натуральное число. Последовательность, образованная относительными максимумами функции | L_n^(a)(x)| и значением этой функции в точке x = 0, является убывающей при x < a + 1/2 и возрастающей при x > a + 1/2.

Из этой теоремы, предложения 1.1 и равенства (2.1) вытекают следующие утверждения для величины $\xi$(a)

$$\xi \left(\vphantom{-\frac{1}{2}}\right. {\textstyle\frac{1}{2}} \left.\vphantom{-\frac{1}{2}}\right) {\textstyle\frac{1}{2}} \le \xi \le {\textstyle\frac{1}{2}}$$ (2.2)

если a$\ge$ - 1/2, , то величина

M_a($$\tau$$) = sup{| R_k|_C[0,$\tau$] :  k $$\in$$ $$\mathbb { N}$$}

удовлетворяет соотношениям

M_a($$\tau$$) = 1    при    0$$\le$$$$\tau$$$$\le$$$$\xi$$(a),    M_a($$\tau$$) < $$\infty$$    при    $$\tau$$ > $$\xi$$(a).

Отсюда следует такое утверждение

Лемма 2.1. Пусть a$\ge$ - 1/2,    r > 0,    $\tau$ > 0,    n $\in$ $\mathbb { N}$. Тогда функции

P_k(t) = | 1 - R_{n + k}(t)|^r,    k $$\in$$ $$\mathbb { Z}$$₊ ,

обладают следующими свойствами:     P_k $\in$ C[0,$\tau$],     P_k(0) = 0,      sup{| P_k|_C[0,$\tau$] :  k $\in$ $\mathbb { Z}$₊}$\le${1 + M_a($\tau$)}^r < $\infty$.

Кроме того, если a > - 1/2, то при любом $\delta$ $\in$ (0,$\tau$] выполняется соотношение: $\lim_{k\to\infty}^{}$| P_k|_{C[$\delta$,$\tau$]} = 1.

Для более общих систем функций В.В.Арестов [16, лемма 4.2] доказал следующее утверждение (двойственный аналог которого доказан им ранее в [31, лемма 3]).

Лемма 2.2. Пусть на отрезке [0,$\tau$], $\tau$ > 0, задана система непрерывных вещественных функций F_k,     k = 0, 1, 2,..., удовлетворяющая условиям: F_k(0) = 0,     k $\in$ $\mathbb { Z}$₊ ; существует абсолютная константа 1$\le$M < $\infty$ такая, что | F_k(t)|$\le$M    при    0$\le$t$\le$$\tau$,    k $\in$ $\mathbb { Z}$₊ ; для любого числа $\delta$ $\in$ (0,$\tau$] выполняется соотношение

$$\liminf_{k\to\infty}^{}$$(max{F_k(t) : $$\delta$$$$\le$$t$$\le$$$$\tau$$})$$\le$$1.

Тогда для любого $\varepsilon$ $\in$ (0, 1) найдется функция

F(t) = $$\sum_{k\ge 0}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$F_k(t),    $$\sum_{k\ge 0}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$ = 1,

с неотрицательными коэффициентами $\rho_{k}^{}$$\ge$0,    k$\ge$0, такая, что

F(t)$$\le$$1 + $$\varepsilon$$    при всех    t $$\in$$ [0,$$\tau$$].

Следствие 2.1. Если a > - 1/2,    r > 0,    $\tau$ > 0,    n $\in$ $\mathbb { N}$, то существует последовательность функций f_l, l = 1, 2, 3,..., из L²_a такая, что

$$\lim_{l\to\infty}^{}$$$${\frac{E_{n-1}(f_l)}{\omega _r(f_l,\tau)}}$$$$\ge$$1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим систему функций

P_k(t) = | 1 - R_{n + k}(t)|^r,    k = 0, 1, 2,...,    t $$\in$$ $$\mathbb { R}$$₊ .

Как следует из леммы 2.1, эта система функций удовлетворяет условиям леммы 2.2, поэтому для любого $\varepsilon$ $\in$ (0, 1) существует функция F_{$\varepsilon$} вида

F_{$\varepsilon$}(t) = $$\sum_{k\ge 0}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$| 1 - R_{n + k}(t)|^r,    $$\sum_{k\ge 0}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$ = 1

с неотрицательными коэффициентами $\rho_{k}^{}$$\ge$0, k = 0, 1, 2,..., такая, что при всех t $\in$ [0,$\tau$] выполняется неравенство:     F_{$\varepsilon$}(t)$\le$1 + $\varepsilon$.    В силу (1.7), (1.8) для функции

f_{$\varepsilon$}(t) = $$\sum_{k\ge 0}^{}$$$$\sqrt{{{n+k+a}\choose {n+k}}\rho_k}$$R_{n + k}(t) $$\in$$ L²_a

выполняется неравенство

$${\frac{E_n^2(f_\varepsilon )}{\omega _r^2(f_\varepsilon ,\tau)}}$$$$\ge$$$${\frac{1}{(1+\varepsilon )}}$$.

Устремляя $\varepsilon$ к нулю, приходим к требуемому утверждению.

Следствие 2.1 влечет оценку (1.22) для величины (1.17).

3. Вспомогательные утверждения.

Лемма 3.1. Пусть a > - 1/2,    0 < 2$\tau$$\le$j_{a - 1/2}, функция F неотрицательна и непрерывна на $\mathbb {R}$₊, кроме того, ее носитель сосредоточен на полуинтервале [0,$\tau$), т.е. F(t) = 0 при t$\ge$$\tau$. Тогда функция F_$\tau$(t) = T_$\tau$F(t) является неотрицательной и непрерывной на $\mathbb {R}$₊ с носителем на [0, 4$\tau$), т.е. F_$\tau$(t) = 0 при t$\ge$4$\tau$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. вытекает из определения (1.13) сдвига и следующих двух легко проверяемых неравенств

$$\tau \le \tau \sqrt{t\tau} \varphi \ge \tau \le \varphi \le \pi$$ при

$$\le \sqrt{\tau t} \varphi \tau \le$$ при

$$\le \tau \le \varphi \le \pi$$

$$\bf\Lambda_{a-1/2}^{} \le$$ при

последнее из них следует из определения (1.11) функции $\bf\Lambda_{q}^{}$.

Как уже отмечалось в первом пункте статьи, следствием результата (1.12) Харди и Ватсона является интегральное представление (1.13) для оператора сдвига T_h. Кроме того, из определения (1.9) вытекает свойство самосопряженности оператора сдвига T_h (см. [6]).

Лемма 3.2. Пусть a$\ge$ - 1/2, h$\ge$0. Тогда для любых двух функций f, g из L²_a выполняется равенство

(T_hf, g) = (f, T_hg).

Рассмотрим следующее множество G_n = G_{n, a},    n $\in$ $\mathbb { N}$, a$\ge$ - 1/2 функций, заданных на $\mathbb {R}$₊

$$\left\{\vphantom{f(x)=\sum_{k\ge n}\rho_k R_k(x):\ \sum_{k\ge n} \rho_k=1,\ \rho_k\ge 0,\ k\ge n}\right. \sum_{k\ge n}^{} \rho_{k}^{} \sum_{k\ge n}^{} \rho_{k}^{} \rho_{k}^{} \ge \ge \left.\vphantom{f(x)=\sum_{k\ge n}\rho_k R_k(x):\ \sum_{k\ge n} \rho_k=1,\ \rho_k\ge 0,\ k\ge n}\right\}$$ (3.1)

Это множество является выпуклым, замкнутым подмножеством пространства C[0,$\tau$] при любом 0 < $\tau$ < $\infty$.

Важной характеристикой системы многочленов Лагерра является точка Черных множества G_n, которая определяется следующим образом

Определение 3.1. Положительное число $\sigma$ = $\sigma$(G_n) называется точкой Черных для множества G_n, если одновременно выполняются следующие два условия

(а) для любой функции f из G_n найдется точка x^* = x^*(f ) из открытого интервала (0,$\sigma$), в которой f (x^*) < 0;

(b) для любого числа $\delta$ $\in$ (0,$\sigma$) существует функция f_$\delta$ $\in$ G_n и число $\varepsilon$ > 0 такие, что f_$\delta$(x)$\ge$$\varepsilon$ при всех x $\in$ [0,$\delta$].

Первые результаты, связанные с такой же характеристикой системы косинусов, принадлежат Н.И.Черных. Он доказал [12], [14] утверждения , которые эквивалентны равенству

$$\sigma$$(C_n) = $${\frac{\pi}{n}}$$,    n $$\in$$ $$\mathbb { N}$$,

где

C_n = $$\left\{\vphantom{f(x)=\sum_{k\ge n}\rho_k \cos kx:\quad \sum_{k\ge n} \rho_k=1,\ \mbox{ все }\ \rho_k\ge 0}\right.$$f (x) = $$\sum_{k\ge n}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$cos kx :     $$\sum_{k\ge n}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$ = 1,  все  $$\rho_{k}^{}$$$$\ge$$ 0$$\left.\vphantom{f(x)=\sum_{k\ge n}\rho_k \cos kx:\quad \sum_{k\ge n} \rho_k=1,\ \mbox{ все }\ \rho_k\ge 0}\right\}$$.

Напомним (см. (1.24)), что для a > - 1/2 через n(a) мы обозначили минимальное натуральное число n, начиная с которого выполняется неравенство: Основным результатом этого пункта является

Лемма 3.3. Пусть a > - 1/2. Тогда для точки Черных множества G_n справедливы оценки

$$\tau_{n,a}^{} \le \sigma \ge$$ (3.2)

$$\sigma \le \tau_{n,a}^{} \ge$$ (3.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Оценка снизу (3.2) вытекает из того, что функция R_n принадлежит G_n и удовлетворяет неравенству

R_n(x)$$\ge$$R_n($$\delta$$) > 0    при    x $$\in$$ [0,$$\delta$$],    $$\delta$$ $$\in$$ (0,$$\tau_{n,a}^{}$$).

Здесь мы воспользовались тем, что нули производной R'_n перемежаются с нулями R_n, а также равенством R_n(0) = 1 и неравенством R'_n(0) < 0.

Доказательство оценки сверху (3.3) будем проводить по схеме Н.И.Черных [12] . Именно, построим вес - неотрицательную, ненулевую и интегрируемую на отрезке [0, 4$\tau_{n,a}^{}$] функцию v(x) = v_{n, a}(x), удовлетворяющую условиям

$$\int_{0}^{4\tau_{n,a}} \le \ge$$ (3.4)

Эти условия и повлекут справедливость оценки (3.3), т.к. тогда для каждой функции

f (x) = $$\sum_{k\ge n}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$R_k(x),    f (0) = $$\sum_{k\ge n}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$ = 1,    $$\rho_{k}^{}$$$$\ge$$0,    k$$\ge$$n

из G_n будут выполнятся соотношения

$$\int_{0}^{4\tau_{n,a}}$$f (x)v(x)dx = $$\sum_{k\ge n}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$$$\int_{0}^{4\tau_{n,a}}$$R_k(x)v(x)dx$$\le$$0,

из которых, ввиду нетривиальности и неотрицательности v, будет следовать существование точки x^* из открытого интервала (0, 4$\tau_{n,a}^{}$), такой что f (x^*) < 0.

Идея построения искомого веса v близка к той, которая применялась В.А.Юдиным в работе [15]. Положим

V(x) = $$\left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}R_n(x)&,&\quad x\in [0,\tau_{n,a})\\ 0&,&\quad x\ge\tau_{n,a}.\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{rcl}R_n(x)&,&\quad x\in [0,\tau_{n,a})\\ 0&,&\quad x\ge\tau_{n,a}.\end{array}$$

Искомый вес v определим по формуле

v(x) = x^ae^-xT_{$\tau_{n,a}$}V(x).

Для n$\ge$n(a) имеем 0 < 2$\tau_{n,a}^{}$$\le$j_{a - 1/2}. Поэтому, в силу неотрицательности и непрерывности функции V на $\mathbb {R}$₊ с носителем на [0,$\tau_{n,a}^{}$), с помощью леммы 3.1 получаем, что функция v непрерывна и неотрицательна на $\mathbb {R}$₊, причем v(x) = 0 для x$\ge$4$\tau_{n,a}^{}$. Применяя лемму 3.2, получаем, что величина

a_k = $$\int_{0}^{4\tau_{n,a}}$$v(x)R_k(x)dx,    k $$\in$$ $$\mathbb { N}$$

удовлетворяет равенствам

$$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \tau_{n,a}$$ a_k =

$$\tau_{n,a} \tau_{n,a}$$ = (3.5)

Учитывая формулу умножения (1.12) для многочленов Лагерра, получаем

$$\tau_{n,a}^{} \tau_{n,a}^{} \int_{0}^{\tau_{n,a}}$$ a_k =

$$\tau_{n,a}^{} \int_{0}^{\tau_{n,a}} {\frac{\varphi _n(x)\varphi _k(x)}{x}}$$ = (3.6)

где

$$\varphi_{k}^{}$$(x) = e^{- ${\frac{x}{2}}$}x^{${\frac{}{}}$}a+12R_k(x),    k = 1, 2,...

Известно (см.[25, формула (5.1.2)]), что функции $\varphi_{k}^{}$ удовлетворяют дифференциальному уравнению

$$\varphi_{k}{^\prime}{^\prime} \varphi_{k}^{} \left(\vphantom{k+\frac{a+1}{2}}\right. {\frac{a+1}{2}} \left.\vphantom{k+\frac{a+1}{2}}\right) \varphi_{k}^{}$$ (3.7)

в котором

q(x) = $${\textstyle\frac{1}{4}}$$ - $${\frac{a^2-1}{4x^2}}$$.

Рассмотрим числа

c_k = $$\left\{\vphantom{\left(n+\frac{a+1}{2}\right)- \left(k+\frac{a+1}{2}\right) }\right.$$$$\left(\vphantom{n+\frac{a+1}{2}}\right.$$n + $${\frac{a+1}{2}}$$$$\left.\vphantom{n+\frac{a+1}{2}}\right)$$ - $$\left(\vphantom{k+\frac{a+1}{2}}\right.$$k + $${\frac{a+1}{2}}$$$$\left.\vphantom{k+\frac{a+1}{2}}\right)$$$$\left.\vphantom{\left(n+\frac{a+1}{2}\right)- \left(k+\frac{a+1}{2}\right) }\right\}$$$$\int_{0}^{\tau_{n,a}}$$$${\frac{\varphi _n(x)\varphi _k(x)}{x}}$$dx =

= $$\int_{0}^{\tau_{n,a}}$$$${\frac{(2n+a+1)\varphi _n(x)\varphi _k(x)- (2k+a+1)\varphi _k(x)\varphi _n(x)}{2x}}$$ dx.

Применяя стандартный прием с использованием уравнения (3.7), приходим к равенствам

c_k = $$\int_{0}^{\tau_{n,a}}$${[$$\varphi_{k}{^\prime}{^\prime}$$(x) - q(x)$$\varphi_{k}^{}$$(x)]$$\varphi_{n}^{}$$(x)

- [$$\varphi_{n}{^\prime}{^\prime}$$(x) - q(x)$$\varphi_{n}^{}$$(x)]$$\varphi_{k}^{}$$(x)}dx =

= $$\int_{0}^{\tau_{n,a}}$${$$\varphi_{k}{^\prime}{^\prime}$$(x)$$\varphi_{n}^{}$$(x) - $$\varphi_{n}{^\prime}{^\prime}$$(x)$$\varphi_{k}^{}$$(x)}dx =

= $$\left.\vphantom{\{\varphi _k'(x)\varphi _n(x)-\varphi _n'(x)\varphi _k(x)\} }\right.$${$$\varphi_{k}{^\prime}$$(x)$$\varphi_{n}^{}$$(x) - $$\varphi_{n}{^\prime}$$(x)$$\varphi_{k}^{}$$(x)}$$\left.\vphantom{\{\varphi _k'(x)\varphi _n(x)-\varphi _n'(x)\varphi _k(x)\} }\right\vert _{0}^{\tau_{n,a}}$$ =

= $$\left.\vphantom{x^{a+1}e^{-x}\{R_k'(x)R_n(x)-R_n'(x)R_k(x)\} }\right.$$x^{a + 1}e^-x{R_k'(x)R_n(x) - R_n'(x)R_k(x)}$$\left.\vphantom{x^{a+1}e^{-x}\{R_k'(x)R_n(x)-R_n'(x)R_k(x)\} }\right\vert _{0}^{\tau_{n,a}}$$ =

= - $$\tau_{n,a}^{a+1}$$e^{- $\tau_{n,a}$}R_k($$\tau_{n,a}^{}$$)R_n'($$\tau_{n,a}^{}$$).

Отсюда и соотношений (3.5)-(3.6) получаем

a_n = 0,    a_k = $${\frac{1}{k-n}}$$$$\tau_{n,a}^{a+1}$$e^{- $\tau_{n,a}$}R_k²($$\tau_{n,a}^{}$$)R_n'($$\tau_{n,a}^{}$$),    k > n.

И поскольку R'_n($\tau_{n,a}^{}$) < 0 для n $\in$ $\mathbb { N}$, то a_k$\le$ 0 при k$\ge$n.

Таким образом, мы нашли вес v, удовлетворяющий условиям (3.4), что завершает доказательства леммы 3.3.

В дальнейшем нам понадобится очевидное

Предложение 3.1. Имеют место следующие неравенства

| 1 - u|^r$$\ge$$1 - ru    при    r$$\ge$$1,     - $$\infty$$ < u < + $$\infty$$;

| 1 - u|^r$$\ge$$2^{r - 1}(1 - u)    при    0 < r < 1,    u$$\ge$$ - 1.

4. Д о к а з а т е л ь с т в о. теоремы 1.1. Рассмотрим случай r$\ge$1. Докажем неравенство (1.25). В силу (1.8), (1.19), (1.21) и предложения 3.1 нам достаточно установить неравенство

$$\sum_{k\ge n}^{} \rho_{k}^{} \sup_{0\le t\le 4\tau_{n,a}}^{} \sum_{k\ge n}^{} \rho_{k}^{} \ge$$ (4.1)

для любой последовательности {$\rho_{k}^{}$}_{k = n}^$\infty$, удовлетворяющей условиям

$$\sum_{k\ge n}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$ = 1,    все    $$\rho_{k}^{}$$$$\ge$$0.

Заметим, что ряд, находящийся в правой части (4.1), можно представить в виде

$$\sum_{k\ge n}^{}$${1 - rR_k(t)}$$\rho_{k}^{}$$ = $$\sum_{k\ge n}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$ - rF(t),    F(t) = $$\sum_{k\ge n}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$R_k(t),

причем функция F принадлежит множеству G_n (см. (3.1)). По лемме 3.3 точка Черных множества G_n удовлетворяет неравенству $\sigma$(G_n)$\le$4$\tau_{n,a}^{}$ при n$\ge$n(a). Следовательно (см. определение 3.1, часть (a)), для F найдется точка x^* $\in$ (0, 4$\tau_{n,a}^{}$), в которой F(x^*) < 0. Поэтому справедливо неравенство

$$\sup_{0<t\le 4\tau_{n,a}}^{}$$$$\left\{\vphantom{\sum_{k\ge n}\rho_k-rF(t)}\right.$$$$\sum_{k\ge n}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$ - rF(t)$$\left.\vphantom{\sum_{k\ge n}\rho_k-rF(t)}\right\}$$ > $$\sum_{k\ge n}^{}$$$$\rho_{k}^{}$$,

которое совпадает с (4.1).

Неравенство (1.26) доказывается аналогично. Следствие 2.1. влечет последнее утверждение теоремы 1.1, чем и завершается ее доказательство теоремы 1.1.

5. Неравенство Джексона-Стечкина со смешанным обобщенным модулем непрерывности. В последнее время возрос интерес к прямым и обратным теоремам теории приближения в терминах смешанного обобщенного модуля непрерывности, основанного на операторе обобщенного сдвига, который строится с помощью двух различных систем функций (система функций, определяющая сдвиг, отличается от ортогональной системы функций, задающей базис гильбертова пространства). Так в совместной работе М.К.Потапова и С.К.Танкаевой [8] был введен новый оператор обобщенного сдвига, который в гильбертовом случае можно задать с помощью двух систем многочленов Лагерра с различными показателями.

Подробнее. Для вещественной неубывающей на полуоси $\mathbb {R}$₊ функции $\mu$ обозначим через L²($\mathbb {R}$₊, d$\mu$) пространство комплексных функций со скалярным произведением и нормой

(f, g) = $$\int_{0}^{\infty}$$f (t)$$\bar{g}$$(t) d$$\mu$$(t),    | f| = $$\sqrt{(f,f)}$$.

Пусть $\Phi$ = {$\varphi_{k}^{}$}^$\infty$_{k = 0} $\in$ L²($\mathbb {R}$₊, d$\mu$) есть полная ортогональная система функций в пространстве L²($\mathbb {R}$₊, d$\mu$); $\Psi$ = {$\psi_{k}^{}$}^$\infty$_{k = 0} - система вещественных непрерывных на $\mathbb {R}$₊ функций, равномерно ограниченных на каждом конечном отрезке вида [0,$\tau$] и удовлетворяющих свойству: $\psi_{k}^{}$(0) = 1, k$\ge$ 0. С помощью этих двух систем функций определяется оператор T_h(f, t) = T_h(f, t)_{$\Psi$,$\Phi$, d$\mu$} (смешанного обобщенного) сдвига с шагом h$\ge$ 0, действующий в пространстве L²($\mathbb {R}$₊, d$\mu$) по закону

T_h(f, t) = $$\sum_{k=0}^{\infty}$$c_k$$\psi_{k}^{}$$(h)$$\varphi_{k}^{}$$(t),    f (t) = $$\sum_{k=0}^{\infty}$$c_k$$\varphi_{k}^{}$$(t) $$\in$$ L²($$\mathbb { R}$$₊, d$$\mu$$).

Для функции f (t) = c₀$\varphi_{0}^{}$(t) + c₁$\varphi_{1}^{}$(t) + c₂$\varphi_{2}^{}$(t) +... из пространства L²($\mathbb {R}$₊, d$\mu$), по аналогии с тем как это делалось выше (см. (1.8)), определим ее (смешанный обобщенный) модуль непрерывности порядка r > 0 в точке $\tau$$\ge$ 0, соответствующий сдвигу T_h(f, t)_{$\Psi$,$\Phi$, d$\mu$},

$$\omega_{r}^{} \tau \omega_{r}^{} \tau \Psi \Phi \mu$$

$$\sqrt{\sup\limits_{0\le h\le\tau} \sum_{k\ge 0}\Vert c_k\varphi_k\Vert^2\vert 1-\psi_k(h)\vert^r\,. }$$ (5.1)

Обозначим через $\Phi_{n}^{}$ множество всех полиномов p(t) = c₀$\varphi_{0}^{}$(t) + c₁$\varphi_{1}^{}$(t) +...+ c_n$\varphi_{n}^{}$(t) с комплексными коэффициентами c₀, c₁,..., c_n. Наилучшим приближением функции f из L²($\mathbb {R}$₊, d$\mu$) множеством $\Phi_{n}^{}$ называют величину

E_n(f )= E_n(f )_{$\Phi$, d$\mu$} = min{| f - p| :  p $$\in$$ $$\Phi_{n}^{}$$}.

Для функции f (t) = c₀$\varphi_{0}^{}$(t) + c₁$\varphi_{1}^{}$(t) + c₂$\varphi_{2}^{}$(t) +... из пространства L²($\mathbb {R}$₊, d$\mu$) эта величина удовлетворяет равенству

E²_{n - 1}(f )= $$\sum_{k\ge n}^{}$$| c_k$$\varphi_{k}^{}$$|².

Отсюда и (5.1) видно, что в случае, когда система $\Psi$, задающая оператор сдвига, совпадает с системой $\Re^{(a)}_{}$ = {R^(a)_k}^$\infty$_{k = 0} многочленов Лагерра с показателем a$\ge$ - 1/2, задача о точной константе K = K($\tau$, n, r,$\Re^{(a)}_{}$,$\Phi$, d$\mu$) в неравенстве Джексона-Стечкина

E_n(f )_{$\Phi$, d$\mu$}$$\le$$K$$\omega_{r}^{}$$(f,$$\tau$$)_{$\Re^{(a)}$,$\Phi$, d$\mu$},    f $$\in$$ L²($$\mathbb { R}$$₊, d$$\mu$$),

сводится к задаче (1.20), и как следствие, получается равенство

K($$\tau$$, n, r,$$\Re^{(a)}_{}$$,$$\Phi$$, d$$\mu$$) = K($$\tau$$, n, r, a),

справедливое при     $\tau$ > 0,    n $\in$ $\mathbb { N}$,    r > 0,    a$\ge$ - ${\frac{1}{2}}$.    

Приведем один конкретный пример оператора смешанного обобщенного сдвига, построенного в [8], для которого имеется изящное интегральное представление. Именно, в работе [8] был введен новый оператор обобщенного сдвига, действующий в пространстве L^p_$\beta$ (см. 1.14) по закону

T^a_h(f, t) =

$${\frac{1}{\pi}} \int^{\pi}_{0} \Theta \left(\vphantom{{\frac{\Theta}{t}}}\right. {\frac{\Theta}{t}} \left.\vphantom{{\frac{\Theta}{t}}}\right)^{a/2}_{} \sqrt{th} \varphi \left(\vphantom{a\chi-\sqrt{th}\sin\varphi}\right. \chi \sqrt{th} \varphi \left.\vphantom{a\chi-\sqrt{th}\sin\varphi}\right) \varphi$$ (5.2)

где

a $$\in$$ $$\mathbb { Z}$$₊ ,    t$$\ge$$0,    h$$\ge$$0,    0$$\le$$$$\chi$$$$\le$$$$\pi$$,

$$\Theta$$ = t + h + 2$$\sqrt{th}$$cos$$\varphi$$,    cos$$\chi$$ = $${\frac{\sqrt{t}+\sqrt{h}\cos\varphi}{\Theta}}$$.

В указанной работе приводится важное свойство этого оператора, а именно, формула умножения для многочленов Лагерра с показателями 0 и a $\in$ $\mathbb { Z}$₊

$$\in \mathbb { Z} \ge \ge$$ (5.3)

Как отмечается в [8], эта формула следует из результатов, полученных в статье [33]. Формула (5.3) влечет следующее представление сдвига (5.2)

T^a_h(f, t) = $$\sum_{k=0}^{\infty}$$c_kR⁽⁰⁾_k(h)R^(a)_k(t),

f (t) = $$\sum_{k=0}^{\infty}$$c_kR^(a)_k(t) $$\in$$ L²_a,    a $$\in$$ $$\mathbb { Z}$$₊ ,

которое можно записать также в виде

T^a_h(f, t) = T_h(f, t)_{$\Re^{(0)}$,$\Re^{(a)}$, t^ae^-t dt}, a $$\in$$ $$\mathbb { Z}$$₊ ,    t$$\ge$$0,    h$$\ge$$0.