Семинар Отдела динамических систем,
9 февраля 2000 г., 14³⁰

Обобщенный контрольный пример Л.С.Понтрягина. Максимальные стабильные мосты с узкими шейками

С.С.Кумков, В.С.Пацко

Обобщенным контрольным примером Л.С.Понтрягина в теории дифференциальных игр называют задачи, где динамика движения двух управляемых объектов описывается линейными дифференциальными уравнениями

$$\begin{array}{ll} x^{(k)} + a_{k-1} x^{(k-1)} + \dots + a_1 \... ...dot y + b_0 y = v, & \qquad u \in P, \quad v \in Q. \end{array}$$ (1)

Здесь $a_i$, $b_j$ -- константы, $T$ -- фиксированный момент окончания, $u,\,v$ -- управляющие воздействия первого и второго игроков, выбираемые из выпуклых компактов $P$ и $Q$. Функция платы задается соотношением $\varphi (x(T),y(T))=\vert x(T)-y(T)\vert$. Первый игрок минимизирует значение функции платы, второй максимизирует.

В эквивалентных координатах игра (1) принимает размерность $n$ по фазовой переменной.

Если множества $P$ и $Q$ -- шары с центром в начале координат, то $t$-сечения множеств уровня функции цены (максимальных стабильных мостов) также будут шарами с центром в начале координат. Зависимость радиуса от времени может быть получена аналитически, либо при помощи несложного численного интегрирования. Фактически, в данном случае имеем дело с эквивалентной фазовой переменной размерности 1. Поэтому данный случай не представляет интереса с точки зрения построения множеств уровня функции цены.

В докладе рассматриваются задачи, где $n=2$, а множества $P$ и $Q$ являются эллипсами. Исследуются ситуации, когда множества уровня функции цены в пространстве $t \times (\xi_1,\xi_2)$ имеют узкие шейки. Здесь $\xi_1,\xi_2$ -- эквивалентные координаты. На рисунке показан пример множества уровня с двумя узкими шейками. Символ $\tau$ обозначает обратное время.

PostScript-файл с тезисами (76K)