Семинар Отдела динамических систем,
16.06.2004

Некоторые дифференциальные игры
с окружностью в качестве целевого множества

Я.А.Латушкин, С.А.Брыкалов

Рассматриваются три примера дифференциальных игр с невыпуклым терминальным множеством, иллюстрирующие свойства непрерывных стратегий.

Во всех трех случаях игра происходит на плоскости, причем терминальным множеством является окружность с центром в начальной точке, которая совпадает с началом координат. Во всех примерах динамика задается одной и той же системой двух дифференциальных уравнений. Примеры различаются геометрическими ограничениями на управления игроков.

В первой из рассматриваемых игр геометрические ограничения задаются двумя перпендикулярными отрезками равной длины. Во второй игре геометрические ограничения имеют вид отрезка и квадрата. В третьей задаче используются два совпадающих отрезка. Поэтому третий пример фактически является одномерным, и терминальное множество можно считать двухточечным.

Можно непосредственно проверить, что в трех рассматриваемых дифференциальных играх программные управления не позволяют гарантировать уклонение от терминального множества. В работе также указаны способы уклонения по обратной связи. В первых двух примерах уклонение от терминального множества гарантируется с помощью одного замера фазового вектора, причем соответствующие способы управления задаются разрывными отображениями. Указаны некоторые семейства таких способов управления, зависящие от параметра. Проведена оптимизация по этому параметру. В третьей задаче уклонение можно обеспечить с помощью простой непрерывной стратегии.

В связи с этим возникает вопрос, можно ли в первых двух примерах гарантировать уклонение посредством непрерывных стратегий. Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным. Показано, что удовлетворяющие условиям Каратеодори стратегии с отклонением аргумента не могут обеспечить уклонение от терминального множества в первой и второй играх. При этом в доказательстве удалось обойтись без использования понятий и результатов алгебраической топологии. Рассуждения основаны на теореме Шаудера о неподвижной точке, которая применяется в пространстве траекторий системы, снабженном равномерной нормой.