Семинар Отдела динамических систем
ИММ УрО РАН
11 ноября 2009 г.
Рассматривается краевая задача Дирихле для уравнения гамильтонова типа. Исходная постановка задачи является достаточно общей в части краевых условий, допускает невыпуклость краевого множества и негладкость его границы. Минимаксное решение задачи совпадает с функцией оптимального результата для соответствующей задачи быстродействия. Поскольку функция имеет ту же карту уровней, что и эйконал (решение основного уравнения геометрической оптики), то ее линии уровня интерпретируются как волновые фронты.
В работе исследуется проблема возникновения негладких особенностей при эволюции плоских волновых фронтов. Техника исследования особенностей опирается на свойства локальных диффеоморфизмов. Основным результатом является теорема о спектре пределов производных локальных диффеоморфизмов, определяемых нелинейным уравнением, связывающим параметры задачи Дирихле. Теорема выражает необходимые условия существования псевдовершин - особых точек границы краевого множества, которые задают структуру множества негладкости минимаксного решения.
Излагаются элементы численно-аналитического подхода к построению волновых фронтов, основанного на выделении множества симметрии задачи, на котором минимаксное решение терпит "градиентную катастрофу". Также вводится обобщение классического понятия производной, совпадающее в частных случаях с симметрической производной Шварца.
Приводятся результаты численного моделирования решений негладких динамических задач.
1. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение минимаксного решения уравнения типа эйконала // Труды Института математики и механики, 2008. Т.14, ©2. С.182-191.
2. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение функции оптимального результата в задаче быстродействия на основе множества симметрии // Автоматика и телемеханика, 2009, © 7, С. 50-57.
3. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Процедуры вычисления меры невыпуклости плоского множества // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009. Т. 49, ©3, С. 431-440.