Семинар Отдела динамических систем
ИММ УрО РАН
13 октября 2010 г.
Исследуется свойство стабильности [1, 2] в задаче о сближении конфликтно управляемой системы с целью в фиксированный момент времени. При описании этого свойства используются унификационные конструкции [3-5].
Доклад посвящён одному расширению понятия стабильности, связанному с рассмотрением в пространстве позиций игровой задачи множеств, не обязательно обладающих свойством стабильности. Суть расширения в том, что замкнутому множеству W* в пространстве позиций игры сопоставляется неотрицательная функция ε(t), оценивающая степень несогласованности множества и динамики конфликтно управляемой системы с точки зрения понятия стабильности. Для такого расширения оказалось также удобным использование унификационного определения стабильности в инфинитезимальной форме [6].
При определенных предположениях на конфликтно управляемую систему и множество W* вводится понятие дефекта стабильности множества (см. [7]). Дефект стабильности представляет собой неотрицательное число εW*, выраженное в терминах функции ε(t). Показано, что для исходных позиций (t*, x*) игры, лежащих на W*, первый игрок гарантирует в классе позиционных стратегий приведение конфликтно управляемой системы на εW*-окрестность цели в фиксированный момент времени [7].
Обсуждаются также проблемы, связанные с вычислением дефекта стабильности [8, 9]. Рассматриваются примеры его вычисления. В частности, рассмотрено множество W*, достаточно общего вида (с гладкой границей ∂W*). В этом случае получена формула для дефекта εW*.
Также рассмотрены окаймляющие "пути" - множества W* в пространстве позиций игровой задачи, достаточно общего вида, содержащие в себе множество позиционного поглощения W0. Изучен один класс таких множеств, полученных с помощью дискриминантных преобразований множества W0 (дискриминантные преобразования обеспечивают сглаживания множества W0). Приводится оценка сверху для дефекта стабильности конструируемых множеств. Результаты исследования иллюстрируются на примере известной дифференциальной игры на плоскости.
Список литературы
1. Красовский Н.Н. Игровые задачи динамики. I // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1969. N 5. С. 3-12.
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
3. Красовский Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226, N 6. С. 1260-1263.
4. Красовский Н.Н. Унификация дифференциальных игр // Тр. Ин-та математики и механики. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1977. Вып. 24: Игровые задачи управления. С. 32-45.
5. Тарасьев А.М., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51, вып. 2. С. 216-222.
6. Guseinov H.G., Subbotin A.I., and Ushakov V.N. Derivatives for Multivalued Mappings with Applications to Game-Theoretical Problems of Control // Problems Control Inform. Theory. 1985. Vol 14, no. 6. P. 405-419.
7. Ушаков В.Н., Малёв А.Г. К вопросу о дефекте стабильности в игровой задаче о сближении // Труды Института математики и механики, 2010. Т.16, N1. С.199-222.
8. Ушаков В.Н., Матвийчук А.Р., Лебедев П.Д. Дефект стабильности в игровой задаче о сближении в момент// Вестник Удмуртского университета. Математика, механика, компьютерные науки. Ижевск, 2010. Вып.3. С.87-103.
9. Ушаков В.Н., Успенский А.А. Об одном дополнении к свойству стабильности в дифференциальных играх // Труды МИРАН. (послана в печать).