Семинар Отдела динамических систем
ИММ УрО РАН
9 марта 2011 г.
Рассматривается дифференциальная игра сближения-уклонения с замкнутым целевым множеством на отрезке времени конечной продолжительности. Изучаются "окаймляющие пути" — множества в пространстве позиций дифференциальной игры, которые заведомо содержат в себе максимальный по вложению стабильный мост, обеспечивающий точное решение задачи о сближении.
"Окаймляющий путь" имеет неотрицательный дефект стабильности, поскольку по определению объемлет любой стабильный мост. Поэтому "окаймляющий путь" может быть использован для решения задачи о сближении не в строгой, а в "мягкой" постановке. Под "мягкой" постановкой понимается такая постановка задачи о сближении, которая предполагает не точное попадание движения конфликтно-управляемой системы на целевое множество, а попадание движения в некоторую его окрестность. При решении практических задач величина радиуса окрестности, зависящая от дефекта стабильности множества, имеет значение.
В работе построено отображение, которое посредством дискриминантных преобразований регуляризует (сглаживает) трехмерное множество с негладкой границей. Отображение позволяет заменить множество с кусочно-гладкой границей, рассматриваемое в пространстве позиций игры, множеством с границей, гладкой по фазовым переменным. Исходное множество содержится в конструируемом множестве - в деформации исходного множества. Кроме того, за счет выбора параметра регуляризации деформация может быть сколь угодно близка в хаусдорфовой метрике к исходному множеству.
Исследуется случай, когда прообразом отображения является максимальный по вложению стабильный мост. Тогда его образ является "окаймляющим путем" с положительным дефектом стабильности. Показывается, что дефект стабильности деформации максимального стабильного моста зависит от его кривизны и растет по квадратичному закону относительно параметра регуляризации.
В качестве полигона для численных симуляций, иллюстрирующих полученные результаты, использована известная дифференциальная игра, точное решение которой построено в аналитической форме.