Задача о минимальной поверхности вращения -- проблема удовлетворения граничным условиям

Задача о минимальной поверхности вращения сводится (см., например [1, 2, 4, 6]), к нахождению минимума функционала

J(y( . )) = $\displaystyle \int_{x_0}^{x_1}$y(x)$\displaystyle \sqrt{y'^2(x)+1}$dx  , (1)

при условии y(x)$ \ge$ 0 и граничных условиях

y(x0) = y0y(x1) = y1  . (2)

Легко показать (см. [1, 2, 3, 4, 5, 6]), что общим решением уравнения Эйлера в этой задаче будет цепная линия

y(x) = acosh$\displaystyle {\frac{x-b}{a}}$  , (3)

где a, b - константы, которые необходимо подобрать так, чтобы удовлетворить граничным условиям (2).

Полное рассмотрение зависимости a и b от (x0, y0) и требует сложных и громоздких выкладок. Поэтому здесь мы рассмотрим упрощенный вариант граничных условий, для которого, тем не менее, хорошо видны проблемы, возникающие при поиске a и b.

Итак, пусть

x0 = - 1,  x1 = 1,  y0 = y1 = h (4)

Из уравнений (4) и (3) следует h = 0. Таким образом задача нахождения коэффициентов в нашем случае сводится к нахождению только коэффициента a, такого, чтобы выполнялось
h = acosh$\displaystyle {\frac{1}{a}}$  . (5)

Это уравнение трансцендентно относительно a и не разрешается аналитически. Для точного нахождения a для конкретного значения h необходимо применять численные методы1.

Рассмотрим как задачу поиска a можно решить геометрически.

Запишем (5) по-другому:

$\displaystyle {\frac{h}{a}}$ = cosh$\displaystyle {\frac{1}{a}}$  . (6)

Введем переменную y* и запишем (6) в виде системы:

$\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{l}
y^* = \frac{h}{a}\\
y^* = \cosh \frac{1}{a}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
y^* = \frac{h}{a}\\
y^* = \cosh \frac{1}{a}
\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{l}
y^* = \frac{h}{a}\\
y^* = \cosh \frac{1}{a}
\end{array}}\right.$ (7)

Сделаем замену x* = 1/a и перепишем (7) в виде

$\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{l}
y^* = h x^*\\
y^* = \cosh x^*
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
y^* = h x^*\\
y^* = \cosh x^*
\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{l}
y^* = h x^*\\
y^* = \cosh x^*
\end{array}}\right.$ (8)

Таким образом мы свели задачу поиска a к задаче поиска точки (точек) пересечения прямой y = hx и гиперболической косинусоиды y = cosh x; если нам известна абсцисса x* точки пересечения этих кривых, то коэффициент a, соответствующий h будет равен

a = $\displaystyle {\frac{1}{x^*}}$

(По сути дела мы получаем искомую кривую y = acosh$ {\frac{x}{a}}$ из кривой y = cosh x путем применения к ней гомотетии с коэффициентом $ {\frac{1}{a}}$ с центром в точке O(0, 0).


Рис. 1
Рассмотрим график гиперболического косинуса (рис. 1).


Рис. 2
Видно, что для определенных значений h мы имеем два решения системы (8), см., например, рис. 2.


Рис. 3
Соответствующие решения уравнения Эйлера (цепные линии) (5) показаны желтым цветом на рис. 3.

Из рисунков видно, что при уменьшении h наступает случай, когда у системы (8) нет ни одного решения. Аналогичный факт показан в литературе ([1, 2, 3, 4, 7]) и для общего случая граничных условий: существует область допустимых (в смысле постановки задачи) граничных условий для которых не существует решение уравнения Эйлера (нельзя подобрать коэффициенты a и b, чтобы удовлетворить (2)).

Приложение. Демонстрационный апплет

Ниже (рис. 4) приведена программа (апплет) которая решает задачу решения системы (8) "геометрически2". Страница с большим вариантом апплета расположена здесь. (Внимание: для верной работы страницы с большим вариантом Ваша программа просмотра должна поддерживать JavaScript, запасной вариант без JavaScript здесь.)
JAVA not supported!

Рис. 4

Программа предназначена, в основном, для демонстрации слушателям при рассмотрении предмета, то есть как инструмент лектора, но, возможно, будет интересна и индивидуально обучающимся. Желающие использовать апплет отсылаются к техническому описанию апплета, там же есть и двоичный код.

Инструкция по использованию апплета

Исходно апплет изображает график функции y = cosh x. Желаемую величину h можно ввести нажав левую кнопку мыши -- вертикальная координата "клика" соответствует h. Для запуска анимации процесса гомотетии нажмите клавишу на клавиатуре или правую клавишу мыши. Для прекращения процесса анимации нажмите клавишу на клавиатуре или выберите новое значание h нажатием левой клавиши мыши.

Литература

  1. Cesari L. Optimization Theory and Applications. Problems with Ordinary Differential Equations. N.Y., Heidelberg, Berlin: "Springer-Verlag", 1983.
  2. Анисимов В. Курс вариационного исчисления, I-я часть. Функции одного независимого переменного. Варшава, 1904.
  3. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: ТехГИЗ, 1955.
  4. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: ФизматГИЗ, 1961.
  5. Кротов В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: "Машиностроение", 1969.
  6. Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. М.: ТехГИЗ, 1958.
  7. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: "Мир", 1974.


VariВариационное исчисление


Благодарности

Автор благодарит Моргунову Наталью Николаевну за незаменимую помощь при переводе статьи из LATEX'а в HTML.

О документе...

This document was generated using the LaTeX2HTML translator Version 98.1p1 release (March 2nd, 1998)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.

The command line arguments were:
latex2html -no_math -html_version 3.2,math -prefix pmrsd pmrs.tex.

The translation was initiated by Ivanov on 1999-02-11

Кроме того, естественно, много подправлено "ручками". (А.Иванов)


Примечания
... методы1
Апплет с программой, решающей эту задачу для более широкого класса граничных условий представлен здесь.
... "геометрически2
Реально задача решается численно, но программа "делает вид", что она всего лишь проводит геометрические построения.


Пишите по адресу:iagsoft@imm.uran.ru

HomeДомашняя страница