English version

Статья А.А. Маркова и простейшие задачи управления "автомобилем"

В 1889 г. Андрей Андреевич Марков опубликовал в "Сообщениях Харьковского математического общества'' статью, в которой рассмотрел несколько математических задач, связанных с проектированием железных дорог. Наиболее простая из них (и первая в порядке изложения) описывается следующим образом. Между двумя точками на плоскости провести кратчайшую линию при условии, что радиус кривизны кривой не меньше заданного числа и касательная к кривой в начальной точке имеет заданное направление.

В 1951 г. Rufus Philip Isaacs представил в Rand Corporation свой первый отчет по теории дифференциальных игр, в котором поставил и наметил решение задачи "шофер-убийца". В этой игре "автомобиль" с ограниченным радиусом разворота и постоянной по величине линейной скоростью пытается как можно скорее сблизиться с "пешеходом", уклоняющимся от столкновения. В начальный момент задается направление скорости автомобиля.

В 1957 г. Lester Eli Dubins в American Journal of Mathematics рассмотрел задачу на плоскости о нахождении среди гладких кривых ограниченной кривизны линии наименьшей длины, соединяющей две заданные точки при оговоренном направлении выхода из первой точки и заданном направлении прихода во вторую точку.

Если в задаче Р. Айзекса взять частный случай, когда пешеход неподвижен, то "автомобиль" будет минимизировать длину кривой при ограничении на радиус кривизны. Возникающая проблема совпадает с задачей, исследованной А.А. Марковым. Отличие от задачи, рассмотренной Л. Дубинсом, заключается в отсутствии дополнительного требования на направление в точке прихода. Фиксация направлений прихода и отхода есть в других трех задачах А.А. Маркова. Но там присутствуют дополнительные условия, специфические для проблем прокладки железных дорог.

Так возникло понятие "автомобиля", который передвигается только вперед и имеет ограниченный радиус разворота. В дальнейшем возникли более сложные модели, в которых объект передвижения рассматривается более реалистично (управляемое колесо, велоcипед, автомобиль с двумя шасси, автомобиль с прицепом). Оптимизационные задачи, связанные с такими более сложными моделями, являются чрезвычайно трудными. Простейшие модели играют роль "образца", показывающего, где ситуация простая, а где она становится сложной.

Статья А.А. Маркова долгое время была малоизвестной. Возможно, первыми обратили на нее внимание М.Г. Крейн и А.А. Нудельман в своей книге "Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи", М.: Наука, 1973 (стр. 32–36).

В.С. Пацко, В.Л. Турова


А.А. Марков Несколько примеров решения особого рода задач о наибольших и наименьших величинах. Сообщения Харьковского математического общества. 1889, сер. 2, 1, NN 5, 6 (1889), стр. 250–276

 

Электронная копия статьи А.А. Маркова

markov_1889.pdf — PDF-file (17 MB)

markov_1889.djvu — DJVU-file (920 KB)


 

 

 

 

 

 

 


Домашняя страница сектора Пацко