\input lcf \documentstyle[12pt,titlepage]{article} \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \setlength{\hoffset}{0mm} \setlength{\voffset}{0mm} \setlength{\textheight}{245mm} \setlength{\textwidth}{160mm} \setlength{\oddsidemargin}{0mm} \setlength{\topmargin}{0mm} \setlength{\headheight}{0mm} \setlength{\headsep}{0mm} \setlength{\evensidemargin}{0mm} \setlength{\marginparsep}{0mm} \setlength{\marginparwidth}{0mm} \setlength{\footskip}{20mm} \setlength{\footheight}{0pt} \makeatother \unitlength=1cm \begin{document} \title {\bf Разностные схемы c интерполяцией на локально сгущающихся сетках по времени} \author {\bf G.I.Shishkin$^{a}$, P.N.Vabishchevich$^{b,*}$} \date {\it $^b$Institute for Mathematical Modelling, Russian Academy of Sciences, ~~~~~~~~~~~~~ 4 Miusskaya Square, Moscow 125047, Russian Federation ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $^*$Corresponding author. E-mail: vab@imamod.msk.su. Fax:~(095)~972-07-23. } \maketitle \begin{abstract} Для задач с особенностями решения широко используются методы с локальным сгущением сетки. Развиваются подходы со сгущением сетки как по пространству, так и по времени. В данной работе рассмотрен класс разностных схем для приближенного решения задач с локальным сгущением сетки по времни: в части расчетной области вычисления ведутся с более мелким шагом по времени. Рассмотрена модельная задача Дирихле для параболического уравнения второго порядка в прямоугольнике. Исследуется точность полностью неявных схем с использованием простейших интерполяционных интерфейсных условий на границе области адаптации. На основе дискретного принципа максимума показана безусловная устойчивость таких схем в равномерной норме и исследована скорость сходимости. \end{abstract} \section{Введение} Повышение точности приближенного решения в задачах математической физики часто достигается за счет локального сгущения сетки по пространству \cite{ref1,ref2,mac}. Во многих нестационарных задачах эффект повышения точности приближенного решения может быть достигнуто и за счет сгущения сетки по времени. Такие адаптивные по времени численные методы, когда в зоне адаптации (в части расчетной области) используется шаг по времени существенно более мелкий, чем вне этой зоны, построены, например, в работах \cite{dav,osh,rev}. Отметим основные подходы к построению разностных схем на локально сгущающихся сетках по времени. Безусловно сходящиеся разностные схемы с адаптацией по времени (без потери точности на границе зоны адаптации) построены в работах \cite{mat1,mat2}. В этом случае вычислительный эффект достигается за счет специальной организации вычислений вне зоны адаптации. Схемы с адаптацией по времени можно рассматривать как схемы на существенно неравномерных сетках по времени. В этой интерпретации вне зоны адаптации мы имеем схему с фиктивными (равными нулю) шагами по времени. На этой методологической основе адаптивные по времени схемы для параболических задач рассмотрены в работах \cite{abrlap,matvab,vabmat}. Традиционно (см., например, \cite{dro1,ewi1}) широко применяются алгоритмы с интерполированием на границе зоны адаптации. Такой же подход часто используется при сгущении сеток как по времени, так и по пространству \cite{ewi3,ewi2}. При этом удается \cite{ewi4} установить только условную сходимость таких разностных схем. В работе \cite{vab} исследуются схемы на локально сгущающихся сетках по времени для параболических задач на основе декомпозиции (разделения) расчетной области на каждом временном слое. Построенные схемы могут интерпретироваться как схемы с интерполяцией решения на границе зоны адаптации. Используются различные типы обменных граничных условий. Иследование устойчивости и сходимости в сеточных гильбертовых пространствах базируется на общей теории устойчивости аддитивных разностных схем \cite{sam,samvab}. В данной работе исследуются схемы на основе использования линейной интерполяции решения на границе области адаптации. Рассматривается простейшая двумерная краевая задача для параболического уравнения. Исследование полностью неявных разностных схем проведено на основе принципа максимума для разностных схем \cite{sam,samvab}. При стандартных ограничениях на входные данные задачи устанавливается безусловная сходимость адаптивных схем в равномерной норме. Из более ранних исследований в этом направлении отметим работу \cite{dro2}, где такой результат получен другими более сложными техническими средствами. Вычислительная реализация адаптивных по времени схем может проводится \cite{ewi5} на основе специальных итерационных алгоритмов декомпозиции области. Более привлекательными с вычислительной точки зрения представляются схемы типа предиктора--корректора. На этапе предиктора решается задача на основном шаге по времени, а на этапе корректора решается задача в зоне адаптации на более мелкой сетке по времени. В этом случае технология адаптации реализуется наиболее просто. Однако при этом есть существенная потеря точности приближенного решения. \section{Постановка задачи} Рассматривается модельная краевая задача Дирихле в прямоугольнике для простейшего параболического уравнения второго порядка. Для нее строится чисто неявная разностная схема на равномерной сетке по времени и пространству. Приведена необходимая оценка точности в равномерной норме. Отмечается принципиальная возможность получения более точного решения за счет локального сгущения сетки по времени. В прямоугольнике $$ \Omega = \{ x \mid x = (x_1,x_2) , ~~~ 0 < x_\alpha < l_\alpha , ~~~ \alpha = 1,2 \} $$ ищется решение параболического уравнения \begin{equation} \label{1} \frac {\partial u} {\partial t} - \sum_{\alpha =1}^{2} \frac{\partial }{\partial x_\alpha } \left( k(x,t) \frac {\partial u}{ \partial x_\alpha } \right) + c(x,t) u =f(x,t), \quad x\in \Omega, \quad 0 < t \le T. \end{equation} Здесь $k(x,t) \ge k_0 > 0, \quad c(x,t) \ge 0$. Уравнение (\ref{1}) дополним простейшими однородными граничными условия первого рода \begin{equation} \label{2} u(x,t) = 0, \quad x\in \partial \Omega, \quad 0 < t \le T \end{equation} и начальным условием \begin{equation} \label{3} u(x,0) = u_0(x), \quad x\in \Omega. \end{equation} Ограничимся случаем достаточно гладких коэффициентов уравнения и начального условия, будем также считать выполненными необходимые условия согласования, которые обеспечивают достаточную гладкость решения задачи (\ref{1})-(\ref{3}). Более точно, предполагается, что $u(x,t) \in C^{4,2}(\Omega, 0 \le t \le T)$. В прямоугольнике $\Omega$ введем равномерную, для простоты, по всем переменным разностную сетку с шагами $h_\alpha, \alpha=1,2$. Пусть $\omega$ - множество внутренних узлов сетки: $$ \omega = \{ x | x = (x_1 ,x_2), x_\alpha = i_\alpha h_\alpha , \quad i_\alpha = 1,2,..., N_\alpha -1, $$ $$ N_\alpha h_\alpha = l_\alpha , \quad \alpha = 1,2 \} , $$ а $\partial \omega$ - множество граничных узлов. Разностное решение задачи конвекции-диффузии на момент времени $t$ обозначим $y(x,t), ~~ x \in \omega \cup \partial \omega, ~~ 0 < t \le T$. Будем использовать стандартные безындексные обозначения теории разностных схем \cite{sam,samvab}, так что для правой и левой разностных производных имеем $$ w_x = \frac{w(x+h)-w(x)}{h}, \quad w_{\bar x} = \frac{w(x)-w(x-h)}{h}. $$ На множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на $\partial \omega$, определим разностный оператор $\Lambda$: \begin{equation} \label{4} \Lambda (t) y = - \sum_{\alpha =1}^{2} \left( a_\alpha(x,t) y_{\bar{x}_\alpha} \right) _{x_\alpha} + d(x,t) y, \end{equation} где, например, $$ a_1(x,t) = k(x_1-0.5h_1,x_2,t), \quad a_2(x,t) = k(x_1,x_2-0.5h_2,t), $$ $$ \quad d(x,t) = c(x,t), \quad x \in \omega. $$ Рассмотрим вначале обычную равномерную сетку по времени. Обозначим через $y^n$ разностное решение на момент времени $t^n = n \tau$, где $\tau > 0$ -- шаг сетки по времени. Будем использовать для приближенного решения задачи (\ref{1})-(\ref{4}) двухслойную полностью неявную разностную схему \begin{equation} \label{5} \frac{y^{n+1}-y^n}\tau + \Lambda (t^{n+1}) y^{n+1} = f^{n+1}, \quad n=0,1,..., \end{equation} которая дополняется начальным условием \begin{equation} \label{6} y^0(x) = u_0(x), \quad x \in \omega. \end{equation} Для разностной схемы на основании классического принципа максимума \cite{sam,samgul,samvab} устанавливается следующая оценка устойчивости по правой части и начальным данным \begin{equation} \label{7} \|y^{n+1}\| \le \|u_0\| + \sum_{k=0}^{n} \tau \|f^k\|, \end{equation} где $$ \|v\| \equiv \max_{x \in \omega} |v(x)|. $$ Приведем соответствующую оценку для погрешности приближенного решения. Будем предполагать, что решение краевой задачи (\ref{1})-(\ref{3}) $u(x,t) \in C^{4,2}(\Omega,0\le t \le T)$ и необходимую гладкость имеют коэффициенты уравнения (\ref{1}). Для погрешности $$ z^{n+1}(x) = y^{n+1}(x) - u(x,t^{n+1}), \quad x \in \omega $$ имеем задачу $$ \frac{z^{n+1} - z^{n}} {\tau} + \Lambda(t^{n+1}) z^{n+1} = \psi^n, $$ $$ z^0 = 0, $$ где $\psi^n$ -- погрешность аппроксимации $$ \psi^n = f^{n+1} - \frac{u^{n+1} - u^{n}} {\tau} - \Lambda(t^{n+1}) u^{n+1}. $$ При сформулированных допущениях об ограниченности производных по пространнственным переменным и по времени получаем $$ \|\psi^n\| \le M |h|^2 + M_1 \tau, \quad |h|^2 = \sum_{\alpha =1}^{p} h^2_\alpha, $$ Постоянную $M_1$, определяющую точность по времени, выпишем явно: $$ M_1 = \frac 12 \max_{0 \le t \le T} \left \|\frac {\partial ^2 u} {\partial t^2} \right \|. $$ На основании оценки (\ref{7}) устанавливается сходимость разностной схемы (\ref{5}),(\ref{6}). {\bf Теорема 2.1.} {\it Разностная схема (\ref{5}),(\ref{6}) для задачи (\ref{1})-(\ref{3}) безусловно устойчива в равномерной норме и для погрешности верна оценка \begin{equation} \label{8} \max_{0 \le t^{n+1} \le T} \|z^{n+1}\| \le M |h|^2 + \frac T2 \tau \max_{0 \le t^{n+1} \le T} \left \|\frac {\partial ^2 u} {\partial t^2} \right \|. \end{equation} } Оценка (\ref{8}) отмечает локальное поведение погрешности. В частности, в подобласти сильного изменения решения по времени, а именно там, где большая вторая производная решения по времени, желательно провести сгущение сетки по времени. Рассмотрим такие адаптивные сетки по времени более подробно. \section{Разностные схемы со сгущением сетки по времени} Для осуществления перехода с временного слоя $t^n$ на новый слой $t^{n+1}$ в некотором подмножестве пространственных узлов используется более подробная сетка. Схематично эта ситуация отображена на рис.1. \begin{figure} \begin{center} \begin{picture}(16,7) \put(0,1){\line(1,0){16}} \put(0.,1.2){{\Large $t^{n}$}} \multiput(1,1)(2,0){8}{\circle*{0.4}} \put(0,2){\line(1,0){16}} \put(0,2.2){{\Large $t^{n+1/4}$}} \multiput(1,2)(2,0){4}{\circle{0.2}} \multiput(9,2)(2,0){4}{\circle*{0.2}} \put(0,3){\line(1,0){16}} \put(0.,3.2){{\Large $t^{n+1/2}$}} \multiput(1,3)(2,0){4}{\circle{0.2}} \multiput(9,3)(2,0){4}{\circle*{0.2}} \put(0,4){\line(1,0){16}} \put(0.,4.2){{\Large $t^{n+3/4}$}} \multiput(1,4)(2,0){4}{\circle{0.2}} \multiput(9,4)(2,0){4}{\circle*{0.2}} \put(0,5){\line(1,0){16}} \multiput(1,5)(2,0){8}{\circle*{0.4}} \put(0.,5.5){{\Large $t^{n+1}$}} \put(12.,5.5){{\Large $\omega^*(t^{n+1})$}} \put(7.5,5.5){{\Large $\gamma^*(t^{n+1})$}} \put(7,0){\line(0,1){6}} \end{picture} \caption{Сетка по времени: $\circ$ -- фиктивные узлы, $\bullet$ -- дополнительные узлы в зоне адаптации} \label{fig1} \end{center} \end{figure} В нестационарных задачах типичной является ситуация с динамическими особенностями, т.е. на каждый момент времени область адаптации может быть своя. Связное множество узлов адаптации при переходе на новый временной слой обозначим $\omega^*(t^{n+1})$. Для формального выделения подобласти адаптации введем характеристическую функцию для области адаптации \begin{equation} \label{9} \chi^{n+1} (x)=\left\{ \begin{array}{c} 1, \quad x \in \omega^*(t^{n+1}),\\ 0, \quad x \notin \omega^*(t^{n+1}) . \end{array} \right. \end{equation} Рассмотрим теперь схемы с локальным сгущением сетки по времени в области адаптации. Обозначим через $\gamma^*(t^{n+1})$ множество узлов, которые прилегают к зоне адаптации. Эти узлы необходимы для нахождения разностного решения в зоне адаптации и именно в этих узлах проводится линейная интерполяция разностного решения со временных слоев $t^{n}$ и $t^{n+1}$. Будем считать, что решение в зоне адаптации рассчитывается на более подробной временной сетке с шагом $\tau_p = \tau/p$. В эоне адаптации используется разностная схема \begin{equation} \label{10} \frac{y^{n+\alpha/p}-y^{n+(\alpha-1)/p}}{\tau_p} + \Lambda (t^{n+\alpha/p}) y^{n+\alpha/p} = f^{n+\alpha/p}, \quad \alpha = 1,2,...,p, \end{equation} $$ \quad x \in \omega^*(t^{n+1}), \quad n=0,1,... \,. $$ На интерфесной границе имеем \begin{equation} \label{11} y^{n+\alpha/p} = \frac \alpha p y^{n+1} + (1-\frac \alpha p ) y^{n}, \quad \alpha = 1,2,...,p-1, \quad x \in \gamma^*(t^{n+1}), \quad n=0,1,... \,. \end{equation} Вне зоны адаптации расчет проводится на грубой временной сетке, т.е. \begin{equation} \label{12} \frac{y^{n+1}-y^{n}}{\tau} + \Lambda (t^{n+1}) y^{n+1} = f^{n+1}, \quad x \in \omega \setminus \omega^*(t^{n+1}), \quad n=0,1,... \,. \end{equation} Рассматриваемой схеме (\ref{10})-(\ref{12}) можно придать более компактный вид \cite{vab}. Для этого введем в рассмотрение фиктивные узлы (см. рис.1) вне зоны адаптации и будем считать, что разностное решение в этих фиктивных узлах получено на основе линейной интерполяции. Эти приближенные решения записываются в виде следующей разностной схемы \begin{equation} \label{13} \frac{y^{n+\alpha/p}-y^{n+(\alpha-1)/p}}{\tau_p} + \Lambda (t^{n+1}) y^{n+1} = f^{n+1}, \quad \alpha = 1,2,...,p, \end{equation} $$ \quad x \in \omega \setminus \omega^*(t^{n+1}), \quad n=0,1,... \,. $$ Схема (\ref{13}) является формальным аналогом (\ref{11}),(\ref{12}). С помощью (\ref{9}) разностную схему в зоне адаптации (схему (\ref{10})) и вне ее (схему (\ref{13})) можно записать в единой форме: $$ \frac{y^{n+\alpha/p}-y^{n+(\alpha-1)/p}}{\tau_p} + \chi^{n+1} \Lambda (t^{n+\alpha/p}) y^{n+\alpha/p} + $$ \begin{equation} \label{14} + (1-\chi^{n+1}) \Lambda (t^{n+1}) y^{n+1} = \chi^{n+1} f^{n+\alpha/p} + (1-\chi^{n+1})f^{n+1}, \quad \alpha = 1,2,...,p, \end{equation} $$ \quad x \in \omega, \quad n=0,1,... \,. $$ Данная схема принадлежит к классу схем с переменными весовыми множителями, исследование которых активно проводится в настоящее время (см., например, \cite{samgul1,vabmat1}). Для перехода с одного временного слоя на другой в схеме (\ref{14}) необходимо использовать какие-либо итерационные процедуры. Можно (см., например, \cite{ewi5}) ориентироваться на методы, основанные на разделении задач по подобластям -- методы декомпозиции области \cite{samvab,qua,tal}. Для нестационарных задач с адаптацией по времени более естественно использовать схемы типа предиктора-корректора. При переходе с временного слоя $t^n$ на слой $t^{n+1}$ этап корректора соответствует расчету приближенного решения на основной сетке по времени. На этапе корректора выделяется зона коррекции (множество сеточных узлов $\omega^*(t^{n+1})$) и в ней проводится расчет на более подробной сетке по времени. Рассмотрим более подробно такую безытерационную схему на динамической локально сгущающейся сетке по времени. {\it 1. Расчет решения на основной сетке.} Во всех узлах расчетной сетки находится решение на новом временном слое (этап предиктора): \begin{equation} \label{15} \frac{{\bar y}^{n+1}-y^{n}}{\tau} + \Lambda (t^{n+1}) {\bar y}^{n+1} = f^{n+1}, \quad x \in \omega. \end{equation} {\it 2. Расчет решения на интерфейсной границе.} Выделяется зона адаптации -- множество узлов $\omega^*(t^{n+1})$). На множестве узлов $\gamma^*(t^{n+1})$) приближенное решение находится из \begin{equation} \label{16} y^{n+\alpha/p} = \frac \alpha p {\bar y}^{n+1} + (1-\frac \alpha p ) y^{n}, \quad \alpha = 1,2,...,p-1, \quad x \in \gamma^*(t^{n+1}). \end{equation} {\it 3. Уточнение решения в зоне адаптации.} После нахождения приближенного решения в граничных узлах решается задача на более подробной временной сетке на множестве сеточных узлов $\omega^*(t^{n+1})$) (этап корректора): \begin{equation} \label{17} \frac{y^{n+\alpha/p}-y^{n+(\alpha-1)/p}}{\tau_p} + \Lambda (t^{n+\alpha/p}) y^{n+\alpha/p} = f^{n+\alpha/p}, \quad \alpha = 1,2,...,p, \quad x \in \omega^*(t^{n+1}). \end{equation} Под приближенным решением на новом временном слое понимается сеточная функция \begin{equation} \label{18} y^{n+1} (x)=\left\{ \begin{array}{c} y^{n+1}(x), \quad x \in \omega^*(t^{n+1}),\\ {\bar y}^{n+1}(x), \quad x \notin \omega^*(t^{n+1}) . \end{array} \right. \end{equation} Снова можно записать этап корректора (\ref{16})-(\ref{18}) в виде разностной схемы на всем множестве пространственных узлов: $$ \frac{y^{n+\alpha/p}-y^{n+(\alpha-1)/p}}{\tau_p} + \chi^{n+1} \Lambda (t^{n+\alpha/p}) y^{n+\alpha/p} + $$ \begin{equation} \label{19} + (1-\chi^{n+1}) \Lambda (t^{n+1}) {\bar y}^{n+1} = \chi^{n+1} f^{n+\alpha/p} + (1-\chi^{n+1})f^{n+1}, \quad \alpha = 1,2,...,p, \end{equation} $$ \quad x \in \omega, \quad n=0,1,... \,. $$ В отличии от (\ref{14}) схема предиктор-корректора (\ref{15}),(\ref{19}) реализуется безитерационно и наболее точно отражает метологию локального уточнения приближенного решения. \section{Оценки скорости сходимости} Исследование сходимости рассматриваемых схем на адаптивных сетках по времени проведем в равномерной норме. В этом случае можно ориентироваться на применение принципа максимума для разностных схем. Сформулируем принцип максимума для разностных схем на локально сгущающихся сетках по времени. {\bf Лемма 4.1.} {\it Пусть для сеточных функций $v^{n+\alpha/p}, \ \alpha = 0,1,...,p$ выполнены условия $$ \frac{v^{n+\alpha/p}-v^{n+(\alpha-1)/p}}{\tau_p} + \chi^{n+1} \Lambda (t^{n+\alpha/p}) v^{n+\alpha/p} + (1-\chi^{n+1}) \Lambda (t^{n+1}) v^{n+1} \ge 0, \quad \alpha = 1,2,...,p, $$ $$ v^n \ge 0, \quad x \in \omega, $$ тогда $$ v^{n+ \alpha/p} \ge 0, \quad x \in \omega, \quad \alpha = 1,2,...,p. $$ } {\bf Доказательство.} Как и в классическом принципе максимума для разностных уравнений \cite{sam,samgul,samvab} доказательство проведем от противного. Предположим, что в каких-то сеточных узлах функции $v^{n+ \alpha/p}, ~ \alpha = 1,2,...,p$ отрицательны. Пусть $x'$ -- узел, в котором эти функции принимают наименьшее (отрицательное) значение. В силу принципа максимума для чисто неявной разностной схемы (схема (\ref{12})) узел $x'$ не может принадлежать множеству узлов вне зоны адаптации (при $t = t^{n+1}$). При используемой процедуре линейной интерполяции (\ref{11}) предполагаемый минимум не может достигаться при $x' \in \gamma^*(t^{n+1})$. Осталось рассмотреть множество узлов в зоне адаптации. Для чисто неявной схемы на подробной сетке по времени (схема (\ref{10})) в силу классического принципа максимума отрицательный минимум может достигаться либо при $t = t^n$, либо на границе (при $x \in \gamma^*(t^{n+1}))$. И того и другого быть не может. Противоречие и доказывает лемму. $\Box$ Аналогичное рассуждения позволяют установить принцип максимума и для схемы предиктор-корректора. {\bf Лемма 4.2.} {\it Пусть для сеточных функций $v^{n+\alpha/p}, \ \alpha = 0,1,...,p$ выполнены условия $$ \frac{{\bar v}^{n+1}-v^{n}}{\tau} + \Lambda (t^{n+1}) {\bar v}^{n+1} = {\bar \varphi}^{n+1}, \quad x \in \omega, $$ $$ \frac{v^{n+\alpha/p}-v^{n+(\alpha-1)/p}}{\tau_p} + \chi^{n+1} \Lambda (t^{n+\alpha/p}) v^{n+\alpha/p} + (1-\chi^{n+1}) \Lambda (t^{n+1}) {\bar v}^{n+1} = $$ $$ = \chi^{n+1} \varphi^{n+\alpha/p} + (1-\chi^{n+1}) {\bar \varphi}^{n+1}, $$ $$ {\bar \varphi}^{n+1} \ge 0, \quad \varphi^{n+\alpha/p} \ge 0, \quad \alpha = 1,2,...,p, $$ $$ v^n \ge 0, \quad x \in \omega, $$ тогда $$ v^{n+ \alpha/p} \ge 0, \quad x \in \omega, \quad \alpha = 1,2,...,p. $$ } Для исследования сходимости разностной схемы (\ref{10})-(\ref{12}) получим соответствующую задачу для погрешности $$ z^{n+\alpha/p}(x) = y^{n+\alpha/p}(x) - u(x,t^{n+\alpha/p}), \quad \alpha =1,2,...,p, \quad x \in \omega. $$ Из (\ref{10})-(\ref{12}) непосредственно имеем \begin{equation} \label{20} \frac{z^{n+\alpha/p}-z^{n+(\alpha-1)/p}}{\tau_p} + \Lambda (t^{n+\alpha/p}) z^{n+\alpha/p} = \psi^{n+\alpha/p}, \quad x \in \omega^*(t^{n+1}), \end{equation} \begin{equation} \label{21} z^{n+\alpha/p} - \frac \alpha p z^{n+1} - (1-\frac \alpha p ) z^{n} = \mu^{n+\alpha/p} , \quad \alpha = 1,2,...,p-1, \quad x \in \gamma^*(t^{n+1}), \end{equation} \begin{equation} \label{22} \frac{z^{n+1}-z^{n}}{\tau} + \Lambda (t^{n+1}) z^{n+1} = {\tilde \psi}^{n+1}, \quad x \in \omega \setminus \omega^*(t^{n+1}). \end{equation} Здесь ${\tilde \psi}^{n+1}$ -- погрешность аппроксимации уравнения на основной сетке, $\psi^{n+\alpha/p}$ -- на более подробной сетке и $\mu^{n+\alpha/p}$ -- соответствующая погрешность интерполяции. В погрешности выделим отдельно часть, связанную с погрешностью интерполяции, т.е. положим \begin{equation} \label{23} z^{n+\alpha/p}(x) = z_1^{n+\alpha/p}(x) + z_2^{n+\alpha/p}(x), \quad \alpha =1,2,...,p, \quad x \in \omega, \end{equation} где \begin{equation} \label{24} \frac{z_1^{n+\alpha/p}-z_1^{n+(\alpha-1)/p}}{\tau_p} + \Lambda (t^{n+\alpha/p}) z_1^{n+\alpha/p} = \psi^{n+\alpha/p}, \quad x \in \omega^*(t^{n+1}), \end{equation} \begin{equation} \label{25} z_1^{n+\alpha/p} - \frac \alpha p z_1^{n+1} - (1-\frac \alpha p ) z_1^{n} = 0 , \quad \alpha = 1,2,...,p-1, \quad x \in \gamma^*(t^{n+1}), \end{equation} \begin{equation} \label{26} \frac{z_1^{n+1}-z_1^{n}}{\tau} + \Lambda (t^{n+1}) z_1^{n+1} = {\tilde \psi}^{n+1}, \quad x \in \omega \setminus \omega^*(t^{n+1}). \end{equation} причем \begin{equation} \label{27} z_1^{n} = z^{n}, \quad x \in \omega. \end{equation} Определим сеточную функцию $$ Z_1^{n} = \|z^{n}\|, $$ $$ Z_1^{n+\alpha/p} = Z_1^{n} + \frac \alpha p \tau \max \left\{ \max_{x \in \omega \setminus \omega^*} |{\tilde \psi}^{n+1}(x)|, ~~ \max_{x \in \omega^*,~1\le\alpha \le p} |\psi^{n+\alpha/p}(x)| \right\} \, . $$ Применяя принцип максимума (лемму 3.1) для задачи (\ref{24})-(\ref{27}), убеждаемся, что $|z_1^{n+\alpha/p}(x)| \le Z_1^{n+\alpha/p}$. В силу этого имеет место оценка \begin{equation} \label{28} \|z_1^{n+1}\| \le \|z^{n}\| + \tau \max \left\{ \max_{x \in \omega \setminus \omega^*} |{\tilde \psi}^{n+1}(x)|, ~~ \max_{x \in \omega^*,~1\le\alpha \le p} |\psi^{n+\alpha/p}(x)| \right\} \, . \end{equation} В соответствии с (\ref{20})-(\ref{27}) для погрешности, обусловленной интерполяцией, получим разностную схему \begin{equation} \label{29} \frac{z_2^{n+\alpha/p}-z_2^{n+(\alpha-1)/p}}{\tau_p} + \Lambda (t^{n+\alpha/p}) z_2^{n+\alpha/p} = 0, \quad x \in \omega^*(t^{n+1}), \end{equation} \begin{equation} \label{30} z_2^{n+\alpha/p} - \frac \alpha p z_2^{n+1} - (1-\frac \alpha p ) z_2^{n} = \mu^{n+\alpha/p} , \quad \alpha = 1,2,...,p-1, \quad x \in \gamma^*(t^{n+1}), \end{equation} \begin{equation} \label{31} \frac{z_2^{n+1}-z_2^{n}}{\tau} + \Lambda (t^{n+1}) z_2^{n+1} = 0, \quad x \in \omega \setminus \omega^*(t^{n+1}). \end{equation} \begin{equation} \label{32} z_2^{n} = 0, \quad x \in \omega. \end{equation} Рассмотрим вначале множество узлов в зоне адаптации при $t < t^{n+1}$. В этом случае мы имеем обычную разностную схему с однородной правой частью (см. (\ref{29})), однородным начальным условием (условие (\ref{32})) и неоднородными граничными условиями (условия (\ref{30})). В силу классического принципа максимума \cite{sam,samgul,samvab} имеем \begin{equation} \label{33} \max_{x\in\omega^*} |z_2^{n+(p-1)/p}| \le \max_{x\in\omega^*,~ 0< \alpha