Введение.

Хорошо известно [1, стр. 3378, пункт 4] предположение, что среди всех множеств из 24 точек на единичной сфере $\mathbb {S}$³ евклидова пространства $\mathbb {R}$⁴ множество, состоящее из 24 точек: (±1, 0, 0, 0), (0,±1, 0, 0), (0, 0,±1, 0), (0, 0, 0,±1), (±1/2,±1/2,±1/2,±1/2), являющихся вершинами правильного выпуклого многогранника с символом Шлефли {3, 4, 3} (см. [2, гл.22]), имеет максимально возможное минимальное попарное угловое расстояние между точками, т.е. на нем реализуется максимальное угловое кодовое расстояние.

Другой не менее известной задачей в $\mathbb {R}$⁴ является задача нахождения контактного числа $\tau_{4}^{}$ этого пространства. Контактным числом $\tau_{m}^{}$ пространства $\mathbb {R}$^m называется максимальное число евклидовых шаров пространства одинакового радиуса (можно считать, единичного радиуса) с непересекающимися внутренностями, касающихся одного такого же шара; оно совпадает с наибольшей мощностью множества точек единичной сферы $\mathbb {S}$^{m - 1} пространства $\mathbb {R}$^m, угловое расстояние между любыми двумя точками которого не меньше 60^o. Описанное выше множество точек дает оценку $\tau_{4}^{}$$\ge$24. Согласно результатам А.М.Одлыжко и Н.Слоэна [3] справедлива оценка $\tau_{4}^{}$$\le$25. Следовательно решение задачи о максимуме углового кодового расстояния для 25 точек на $\mathbb {S}$³ содержит в себе решение задачи о $\tau_{4}^{}$.

В настоящее время ни одна из перечисленных выше задач не решена. В этой работе показаны возможности классической схемы Дельсарта [4], [5], [6], [7] для получения оценок сверху минимальных расстояний во множествах из 24 и 25 точек на единичной сфере четырехмерного евклидова пространства. При этом существенно использовалась методика, разработанная в [8].

Пусть $\mathbb {R}$^m есть вещественное евклидово пространство размерности m$\ge$2, 
space $\mathbb {S}$^{m - 1} = {x $\in$ $\mathbb {R}$^m : | x| = 1} - его единичная сфера, а $\mathbb {B}$_$\rho$^m(y) = {x $\in$ $\mathbb {R}$^m : | x - y|$\le$$\rho$} - шар радиуса $\rho$ > 0 с центром в точке y $\in$ $\mathbb {R}$^m; здесь | x| = $\sqrt{xx}$ - норма вектора x $\in$ $\mathbb {R}$^m, xy = x₁y₁ + x₂y₂ +...+ x_my_m - скалярное произведение векторов (точек) x = (x₁, x₂,..., x_m),I>y = (y₁, y₂,..., y_m) из $\mathbb {R}$^m.

Пусть -1$\le$s < 1. Множество W $\subset$ $\mathbb {S}$^{m - 1}, содержащее не менее двух точек, называется сферическим s-кодом, если для любых двух точек x, y $\in$ W,  x $\not=$y, их скалярное произведение xy удовлетворяет условию (- 1$\le$) xy$\le$s; это условие означает, что угловое расстояние (угол) между любыми двумя различными точками множества W больше или равно значения arccos s :

$$\varphi$$(W) = min {arccos(xy) :  x $$\not=$$y, x, y $$\in$$ W}$$\ge$$arccoss.

Величина $\varphi$(W) называется угловым кодовым расстояние множества W.

Одну из основных задач для сферических кодов можно сформулировать (см., например, [9, гл.1, §2, пункт 2.3]) следующим образом: для заданных m$\ge$2 и -1$\le$s < 1, найти сферический s-код W $\subset$ $\mathbb {S}$^{m - 1} наибольшей возможной мощности. Мы будем обозначать эту максимальную мощность через $\tau_{m}^{}$(s); таким образом

$$\tau_{m}^{} \subset \mathbb {S} \mbox{сферический $s$-код}$$ (1.1)

где | W| есть мощность (количество точек) множества W. Эту задачу можно рассматривать (см. [9, гл.1, §2, пункт 2.3.]) и в двойственной форме: для заданных m$\ge$2 и N$\ge$2, найти сферический код W $\subset$ $\mathbb {S}$^{m - 1}, | W| = N с наибольшим угловым кодовым расстоянием $\varphi$(W), который мы обозначим через $\varphi_{m}^{}$(N), т.е.

$$\varphi_{m}^{} \varphi \subset \mathbb {S}$$ (1.2)

Задачи (1.1), (1.2) имеют большую историю; соответствующую информацию и библиографию можно найти в [9], [10], [11]. Отметим сейчас лишь, что в случае произвольной размерности m$\ge$2 величины $\tau_{m}^{}$(s) при -1$\le$s$\le$0, и $\varphi_{m}^{}$(N) при N$\le$2m, нашел Р.Ранкин [12].

Величина $\tau_{m}^{}$(1/2) совпадает (см., например, [9, гл.1, §2]) с контактным числом $\tau_{m}^{}$ пространства $\mathbb {R}$^m:

$$\tau_{m}^{} \tau_{m}^{} \ge$$ (1.3)

В настоящее время контактные числа $\tau_{m}^{}$ известны лишь при m = 2, 3, 8, 24, а именно, $\tau_{2}^{}$ = 6, $\tau_{3}^{}$ = 12, $\tau_{8}^{}$ = 240, $\tau_{24}^{}$ = 196560; для произвольных значений m известны оценки снизу и сверху этих констант (см., например, [9, гл. 1]).

В дальнейшем оценки снизу для (1.1) обсуждаться не будут. Для оценки сверху числа $\tau_{m}^{}$(s) часто используется схема Дельсарта, возникшая в его исследованиях [4], [5], а затем успешно развитая и примененная в работах [6], [7], [13], [3], [14], [15], [16], [17], [18], [19] и в ряде других работ.

Пусть R_k = R_k^{$\alpha$,$\alpha$},   k = 0, 1, 2,..., есть система ультрасферических многочленов (многочленов Гегенбауэра), ортогональных на отрезке [- 1, 1] с весом (1 - t²)^$\alpha$, $\alpha$ = (m - 3)/2, нормированных условием R_k(1) = 1. Указанная схема базируется на свойстве положительной определенности многочленов R_k, а точнее, на свойстве положительной определенности ядер R_k(xy) на декартовом произведении $\mathbb {S}$^{m - 1}×$\mathbb {S}$^{m - 1} (см., например, [9, гл. 9, §3, теорема 1]), и приводит к следующей экстремальной задаче [6], [7], которую нам удобно сформулировать в форме близкой к той, которая использовалась в работе авторов [8].

Обозначим через $\cal {F}$_m(s) множество непрерывных на отрезке [- 1, 1] функций f со свойствами:

1) функция f представляется в виде ряда

$$\sum_{k=0}^{\infty}$$ (1.4)

коэффициенты которого удовлетворяют условиям:

$$\ge \sum_{k=0}^{\infty} \infty$$ (1.5)

2) f - неположительная функция на отрезке [- 1, s] :

$$\le \in$$ (1.6)

Известно [7], что множество $\cal {F}$_m(s) при каждом m$\ge$2 и s $\in$ [- 1, 1) непусто. На этом множестве функций рассмотрим задачу о вычислении величины

$$\left\{\vphantom{\frac{f(1)}{f_0}: \ f\in{\cal F}_m(s)}\right. {\frac{f(1)}{f_0}} \in \cal {F} \left.\vphantom{\frac{f(1)}{f_0}: \ f\in{\cal F}_m(s)}\right\}$$ (1.7)

Задачу (1.7) мы будем называть иногда задачей w_m(s). Следующее утверждение содержится в работах [6], [7].

Теорема A. Для произвольного s $\in$ [- 1, 1), при любом натуральном m$\ge$2 имеет место неравенство

$$\tau_{m}^{} \le$$ (1.8)

Число $\tau_{m}^{}$(s) целое, поэтому величину w_m(s) в правой части (1.8) можно заменить на ее целую часть [w_m(s)], и следовательно, справедлива оценка

$$\tau_{m}^{}$$(s)$$\le$$[w_m(s)],    m$$\ge$$2,  s $$\in$$ [- 1, 1).

Как видно из определения (1.7) и утверждения (1.8), любая функция f $\in$ $\cal {F}$_m(s) дает оценку сверху для величины w_m(s), а значит и для $\tau_{m}^{}$(s). На этом пути в [13], [3] были получены, в частности, оценки сверху для $\tau_{8}^{}$,$\tau_{24}^{}$, которые совпали с известными оценками снизу. Одной из основных целей данной работы является дальнейшее изучение контактного числа $\tau_{4}^{}$ пространства $\mathbb {R}$⁴; отметим несколько, относящихся к этой проблеме, результатов. По изложенной только что схеме Дельсарта, с помощью конкретной функции (которая на самом деле есть некоторый алгебраический многочлен) А.М.Одлыжко и Н.Слоэн [3] получили оценку $\tau_{4}^{}$$\le$25. В работе авторов [8] решена задача (1.7) в случае m = 4, s = 1/2. При этом оказалось, что w₄(1/2) = 25.558429097..., и решением является многочлен, близкий к выписанному ранее в [3], а затем, уточненный в работах [20], [21]. Работы П.Бойваленкова [20], [21], [18] и работа [19] стали известны авторам уже после выхода их работы [8]. В [20] изучаются свойства экстремальной функции f в задаче (1.7) при m = 4, s = 1/2 (хотя сама задача в работе не решена). В частности, в [20] доказано, что у экстремальной функции коэффициент f₆ = 0, а при некоторых дополнительных предположениях будут выполняться также условия f₇ = 0 и f₈ = 0.

Нетрудно понять, что функции $\tau_{m}^{}$(s) и w_m(s) по s $\in$ [- 1, 1) не убывают. Довольно очевидно, что $\tau_{m}^{}$(- 1) = w_m(- 1) = 2 [12] и $\tau_{m}^{}$(s), а значит, и w_m(s) стремятся к + $\infty$ при s$\to$1. Рассмотрим задачу, в определенном смысле, обратную задаче (1.7). Для значений параметра w$\ge$2 положим

$$\in \ge$$ (1.9)

функцию s_m можно интерпретировать, как обратную функции w_m. Интерес представляют значения функции (1.9) для натуральных значений аргумента w = N.

В настоящей работе будет решена задача (1.9) в случае m = 4 для значений аргумента w равных 25 и 24, т.е. будут найдены значения s₄(25) и s₄(24); приближенно эти значения таковы s₄(25) = 0.4925150241... ,    s₄(24) = 0.4785451836... , здесь и в аналогичных ситуациях ниже, для применяемых нами величин, приведены 10 десятичных знаков (хотя, на самом деле, мы использовали 30 знаков). Из этого результата будет следовать, в частности, такое утверждение

Следствие 1.1   Среди любых 25 (24) точек на сфере $\mathbb {S}$³ $\subset$ $\mathbb {R}$⁴ всегда найдутся две точки, угловое расстояние между которыми строго меньше 60.5^o (61.41^o).

В работах В.И. Левенштейна [13], [16], фактически, содержатся (см. [19]) оценки сверху минимальных угловых расстояний N точек на сфере $\mathbb {S}$^{m - 1} для любых натуральных чисел N$\ge$2 и m$\ge$2. В частности, согласно этих результатов среди любых 24 точек на сфере $\mathbb {S}$³ всегда найдутся две точки, угловое расстояние между которыми строго меньше 61.65^o, а для любых 25 точек на сфере $\mathbb {S}$³ минимальное попарное угловое расстояние строго меньше 60.79^o, иными словами, для величины (1.2) справедливы оценки

$$\varphi_{4}^{} \varphi_{4}^{}$$ (1.10)

на самом деле из результатов работы [16] следуют неравенства s₄(24)$\ge$0.4749504898... ,    s₄(25)$\ge$0.4880762504... , которые и влекут оценки (1.10).

В работе [19] в некоторых конкретных случаях для величины (1.9) были указаны более сильные оценки, например, следующая оценка, которую в принятых здесь обозначениях, можно записать так: s₄(24)$\ge$0.47763. Отсюда вытекает, что среди любых 24 точек на сфере $\mathbb {S}$³ всегда найдутся две точки, угловое расстояние между которыми строго меньше 61.47^o.

Н.Слоэн, У.Смит и Р.Хардин [22] построили конкретное множество из 25 точек на единичной сфере $\mathbb {S}$³ пространства $\mathbb {R}$⁴ с минимальным угловым расстоянием большим либо равным 57.4988826^o. Тем самым они улучшили результат работы [23, c. 158], в которой утверждается, что $\varphi_{4}^{}$(25)$\ge$56.5^o. Перечисленные результаты можно записать в виде следующих оценок величин (1.2), (1.9)

60^o$$\le$$$$\varphi_{4}^{}$$(24) < 61.47^o,    57.4988826^o$$\le$$$$\varphi_{4}^{}$$(25) < 60.79^o;

0.47763$$\le$$s₄(24)$$\le$$cos$$\varphi_{4}^{}$$(24)$$\le$$0.5,

$$\le \le \varphi_{4}^{} \le$$ (1.11)