Вычисление значения s₄(25).

В четырехмерном случае (m = 4) показатель $\alpha$ равен 1/2, и многочлены R_k = R_k^{1/2, 1/2} являются многочленами Чебышева второго рода, нормированными условием R_k(1) = 1, т.е. многочленами

$${\frac{\sin(k+1)\theta}{(k+1)\sin\theta}} \theta$$ (2.1)

Для формулировки основного результата работы нам понадобятся несколько определений и обозначений. Пусть H есть следующий многочлен двадцать восьмой степени

H(z) = 1744568320000 z²⁸ + 19824640000 z²⁷ - 11368270848000 z²⁶ +

+ 299992125440 z²⁵ + 33683617005056 z²⁴ - 1690611799808 z²³ -

- 59756580346080 z²² + 3740858012128 z²¹ + 70524254066704 z²⁰ -

- 4516619739088 z¹⁹ - 58188563861056 z¹⁸ + 3200479271680 z¹⁷ +

+ 34328475907496 z¹⁶ - 1262955136312 z¹⁵ - 14563330120710 z¹⁴ +

+ 172742066070 z¹³ + 4417415566665 z¹² + 76811504675 z¹¹ -

- 942777154875 z¹⁰ - 46753060057 z⁹ + 137285137301 z⁸ +

+ 11621133345 z⁷ - 12856584451 z⁶ - 1594636173 z⁵ +

+ 680106134 z⁴ + 118057108 z³ - 13255560 z² - 3691008 z - 186624. (2.2)

Он имеет четырнадцать вещественных и четырнадцать комплексных корней:

z₁ = -1.0416743109...,    z₂ = - 0.9918041575...,    z₃ = - 0.8449780198...,

z₄ = -0.8175275067...,    z₅ = - 0.7387597195...,    z₆ = - 0.5411187835...,

z₇ = -0.4069720983...,    z₈ = - 0.2950901339...,    z₉ = - 0.2696741063...,

z₁₀ = -0.1591723800...,    z₁₁ = - 0.0913396135...,    z₁₂ = 0.4109824855...,

z₁₃ =   0.4925150241...,    z₁₄ =  0.6197533558..., (2.3)

z_{15, 16} = -0.8891104747...±i 0.1829442719...,

z_{17, 18} = -0.4736286597...±i 0.0577014541...,

z_{19, 20} =    0.4317085516...±i 0.0656750849...,

z_{21, 22} =    0.4484454172...±i 0.0031683147...,

z_{23, 24} =    0.8021254198...±i 0.3917816767...,

z_{25, 26} =    0.9371073469...±i 0.1945583784...,

z_{27, 28} =    1.0751005630...±i 0.2302148263... (2.4)

Особую роль в дальнейшем будет играть его тринадцатый вещественный корень, условимся обозначать его буквой d; таким образом

d = z₁₃ = 0.4925150241... (2.5)

Среди всех вещественных корней полинома H только корень z₁₃ лежит на том же самом отрезке [0.4880762504, 0.5373161], что и величина s₄(25) (см. (1.11)). Одним из основных результатов данной работы является следующее утверждение, в котором доказано, что, на самом деле, величины s₄(25) и z₁₃ совпадают между собой; в этом утверждении использованы обозначения (1.7), (2.5).

Теорема 2.1   На полуинтервале [- 1, 1) уравнение w₄(s) = 25 имеет единственное решение s = d, и таким образом

s₄(25) = d = 0.4925150241... (2.6)

Это утверждение будет получено как следствие приводимой ниже теоремы 2.2.

Введем несколько чисел, выражающихся через d, и функцию, относительно которой в последствии будет доказано, что она является экстремальной в задаче w₄(d ). Рассмотрим кубический полином

$$\Big( \Big) \Big( \Big) \Big($$ G

$$\Big)$$ + (2.7)

Этот полином имеет два комплексных корня

$$\xi_{1,2}^{}$$ = - 0.2486667705...±i 0.0422341143...

и один вещественный корень, который мы обозначим через $\xi$; его приближенное значение таково

$$\xi$$ (2.8)

Положим

$$\eta {\frac{-13+24\,d-4\,\xi+30\,d\xi+24\,{d}^{2}\xi+64\,{d}^{2}}{2(17-12\,d-80\,{d}^{2})}}$$ = (2.9)

$$\zeta {\frac{7+6\,d\xi+6\,\eta+16\,\xi+16\,d+40\,d\eta}{-40}}$$ = (2.10)

$$\xi$$ q = (2.11)

$$\xi \xi^{2} \eta$$ r = (2.12)

Определим многочлен девятой степени

$$\left(\vphantom{t-d}\right. \left.\vphantom{t-d}\right) \xi \eta \zeta$$ (2.13)

Ниже мы покажем, что многочлен f^* неположителен на отрезке [- 1, d] и коэффициенты Фурье f_k^* многочлена (2.13) в его разложении

$$\sum_{k=0}^{9}$$ (2.14)

по многочленам Чебышева второго рода неотрицательные, причем f^*₀ > 0, т.е. функция f^* принадлежит классу $\cal {F}$₄(d ); более того, эта функция является экстремальной в задаче w₄(d ). Точнее, имеет место такое утверждение.

Теорема 2.2   Функция f^*, заданная соотношениями (2.7)-(2.13), принадлежит множеству $\cal {F}$₄(d ) и является единственной (с точностью до положительного постоянного множителя) экстремальной функцией (решением) задачи (1.7) при m = 4, s = d; при этом, справедливы равенства

$${\frac{f^*(1)}{f_0^*}}$$ (2.15)

Доказательство теоремы 2.2 будет реализовано в виде нескольких вспомогательных утверждений. Оценку сверху для величины w₄(d ) дает функция f^*. Оценка снизу будет получена с помощью квадратурной формулы (на более широком, в сравнении с $\cal {F}$₄(d ), классе функций), содержащейся в следующей ниже лемме 2.1.

Пусть C[- 1, 1] есть пространство вещественных функций непрерывных на отрезке [- 1, 1]. Обозначим через $\Phi_{4}^{}$ множество функций f $\in$ C[- 1, 1], представимых рядами по многочленам R_k = R_k^{1/2, 1/2},    k = 0, 1, 2,... с абсолютно суммируемой последовательностью вещественных коэффициентов:

$$\Phi_{4}^{} \Big\{ \in \sum_{k=0}^{\infty} \in \mathbb {R} \sum_{k=0}^{\infty} \infty \Big\}$$ (2.16)

очевидно, $\cal {F}$₄(d ) $\subset$ $\Phi_{4}^{}$.

Многочлен третьей степени

$$\xi \eta \zeta$$ (2.17)

квадрат которого является одним из сомножителей в правой части (2.13), имеет три вещественных корня

a = - 0.8305233622...,    b = - 0.3958876231...,    c = - 0.1425236781... (2.18)

Эти три числа, обозначения (2.1)-(2.13), (2.16), а также обозначение

$$\Lambda {\frac{1+2(B+C+D+BD+CD+CB+4BCD)}{8(A-1)(A-B)(A-C)(A-D)}}$$ (2.19)

используются в следующей лемме.

Лемма 2.1   Для каждой функции f (t) = $$\sum_{k=0}^{\infty}$$f_kR_k(t) $$\in$$ $$\Phi_{4}^{}$$ имеет место квадратурная формула

$${\frac{2}{\pi}} \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^2} \sum_{\nu\ge 1}^{} \nu \nu$$ (2.20)

в которой L есть функционал

$${\textstyle\frac{1}{25}} \lambda \lambda \lambda \lambda$$ (2.21)

с коэффициентами

$$\lambda \Lambda$$ (2.22)

$$\lambda \Lambda$$ (2.23)

$$\lambda \Lambda$$ (2.24)

$$\lambda \Lambda {\frac{1+2(\xi+\eta+4\zeta)}{8(d-1)(d^3-d^2\xi+d\eta-\zeta)}}$$ (2.25)

Функционал L обладает свойствами

$$\nu \nu$$ (2.26)

$$\nu \nu \ge \nu \not=$$ (2.27)

Доказательство. Рассуждения, которые используются для обоснования этой леммы, аналогичны тем, что применялись в работе [8] при доказательстве леммы 4.2, связанной с задачей исследования величины w₄ = w₄(1/2), поэтому мы приведем эти рассуждения довольно кратко.

Вначале найдем достаточные условия на вещественные узлы

-1$$\le$$A < B < C < D < 1

и коэффициенты $\lambda_{A}^{}$,$\lambda_{B}^{}$,$\lambda_{C}^{}$,$\lambda_{D}^{}$,$\gamma_{6}^{}$,$\gamma_{7}^{}$,$\gamma_{8}^{}$ для существования квадратурной формулы вида

$${\frac{2}{\pi}} \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^2} \cal {L} \sum_{\nu=6}^{8} \gamma_{\nu}^{} \nu$$ (2.28)

$$\cal {L} {\textstyle\frac{1}{25}} \lambda_{A}^{} \lambda_{B}^{} \lambda_{C}^{} \lambda_{D}^{}$$ (2.29)

на множестве всех полиномов девятой степени f (t) = $$\sum_{k=0}^{9}$$f_kR_k(t). Большинство из этих условий будут также и необходимыми.

На первом этапе найдем условия, которым должны удовлетворять параметры A, B, C, D. Сделаем симметрическую замену

U = A + B + C,    V = AB + AC + BC,    W = ABC.

Из теоремы Виета следует, что A, B, C являются корнями многочлена

$$\chi$$ (2.30)

Ниже мы получим несколько уравнений с неизвестными D, U, V, W, с помощью которых получим одно уравнение с одним неизвестным D.

Рассмотрим многочлен пятой степени

$$\sigma \chi$$ (2.31)

Разложим его вначале по степеням переменной t, а затем, применяя известные (см. [24, с. 28, формула (41) ]) представления

$$\sum_{\nu=0}^{[k/2]} {\frac{(k+1-2\nu)^2}{k+1-\nu}} \choose\nu \nu$$ (2.32)

степеней переменной через многочлены Чебышева второго рода, найдем нулевой коэффициент, участвующий в разложении $\sigma$(t) = $$\sum_{k=0}^{5}$$$$\sigma_{k}^{}$$R_k(t) полинома $\sigma$ по многочленам R_k

$$\sigma_{0}^{}$$ = - $${\textstyle\frac{1}{8}}$$(1 + D + U + 8DW + 2DU + 2V + 2DV + 2W).

Подставив многочлен $\sigma$ в формулу (2.28), получаем первое необходимое условие существования этой формулы: $\sigma_{0}^{}$ = 0, которое эквивалентно равенству

$${\frac{1+D+U+2V+2DU+2DV}{-2(1+4D)}}$$ (2.33)

Действуя аналогично, с помощью полинома

$$\chi$$ (2.34)

и формулы (2.28), находим еще одно выражение для параметра W

$${\textstyle\frac{1}{40}}$$ (2.35)

Приравняв правые части равенств (2.33), (2.35), получим уравнение эквивалентное следующему равенству

$${\frac{-13+24D-4U+30DU+24D^2U+64D^2}{2(17-12D-80D^2)}}$$ (2.36)

Таким же способом, применяя полиномы

$$h_1(t)=(t-1)(t^3-Ut^2+Vt-W),\quad h_2(t)=(t-1)(t-D)(t-B)(t-... ...h_3(t)=(t-1)(t-D)(t-A)(t-C),\quad h_4(t)=(t-1)(t-D)(t-A)(t-B),$$ (2.37)

получаем

$$\lambda_{D}^{} {\frac{1+2(4W+U+V)}{8(D-1)(D^3-D^2U+DV-W)}} \Lambda$$ (2.38)

$$\lambda_{A}^{} \Lambda \lambda_{B}^{} \Lambda \lambda_{C}^{} \Lambda$$ (2.39)

Подставляя в (2.28) многочлены R_$\nu$, $\nu$ = 6, 7, 8, получим еще три необходимых условия

$$\gamma_{\nu}^{} \cal {L} \nu \nu$$ (2.40)

Девять условий (2.33), (2.35), (2.38), (2.39), (2.40), являются необходимыми для существования квадратурной формулы (2.28).

Построим теперь многочлен $\psi$(t) = $$\sum_{k=0}^{9}$$$$\psi_{k}^{}$$R_k(t), на котором зануляются все функционалы, стоящие в правой части формулы (2.28) (с учетом представления (2.29)), кроме значения в точке t = 1, т.е. многочлен $\psi$ со свойствами

$$\psi \psi \psi \psi \psi_{6}^{} \psi_{7}^{} \psi_{8}^{}$$ (2.41)

Положим

Q = D + 2U,    R = - 2 + 2DU + D² + 3U² - 2V (2.42)

и рассмотрим многочлен девятой степени

$$\psi$$ (2.43)

Учитывая (2.42), найдем четыре старших и нулевой коэффициенты Фурье в его разложении

$$\psi \sum_{k=0}^{9} \psi_{k}^{}$$ (2.44)

по многочленам Чебышева второго рода R_k

$$\psi_{9}^{} {\textstyle\frac{5}{256}} \psi_{8}^{} \psi_{7}^{}$$ (2.45)

$$\psi_{6}^{} {\textstyle\frac{7}{64}}$$ (2.46)

$$\psi_{0}^{} {\textstyle\frac{1}{64}} \Big($$ 10 D + 20 U + 22 W - 32 D²V²U - 32 D²VU + 80 WV - 16 WU² +

+ 48 V²U + 32 W²U - 64 D²WU² + 32 DV³ - 16 D³V² - 32 D³WU -

- 16 D³V + 42 DV + 64 WV² - 48 VU³ - 64 D³W² + 64 DWVU -

- 24 DU⁴ - 8 D³U² - 16 D²U³ + 62 VU + 128 DW²V - 5 D³ - 20 U³ -

- 96 WVU² + DU² - 128 D²W²U + 128 DW² - 10 UD² +

+ 64 DV² + 64 DWU - 32 DVU² - 48 DV²U² -

$$\Big)$$ - (2.47)

Наложим на параметры D, U, V, W условие: $\psi_{6}^{}$ = 0, т.е.

-2UD² - 3DU² - 2W + 6VU + 2DV - 4U³ + 2D - D³ + 4U = 0.

Подставим в это уравнение вместо параметра W его выражение (2.35) и домножив получившееся уравнение на 20, придем к уравнению

7 - 40UD² - 60DU² + 6DU + 6V + 96U + 56D + 80DV + 120VU - 80U³ - 20D³ = 0.

Выразим отсюда параметр V

V = $${\frac{40\,U{D}^{2}+60\,D{U}^{2}-7-6\,DU-96\,U-56\,D+80\,{U}^{3} +20\,{D}^{3}}{2(3+40\,D+60\,U)}}$$.

Из последнего соотношения и (2.36) следует, что

F(D, U) = 0, (2.48)

где

F(D, U) = 4 +21D + 42U + 320U³D² + 16DU - 12U² + 48U³D - 113D³ -

- 68U³ + 39DU² + 48UD³ + 160UD⁴ + 108D²U² +

+ 240D³U² + 12D⁴ + 80D⁵ - 166UD² - 4D². (2.49)

Сейчас мы получим еще одно уравнение относительно неизвестных D, U. Формула (2.28) на функции $\psi$ (в предположении, что выполнены условия (2.41)) принимает вид

$$\psi_{0}^{} {\textstyle\frac{1}{25}} \psi$$ (2.50)

Используя соотношения (2.47), (2.42), (2.43), равенство (2.50) можно переписать в такой форме

$${\textstyle\frac{1}{128}}$$F₁(D, U, V, W) = 0,

где

F₁   (D, U, V, W) = 64 + 122 D + 244 U + 256 V + 422 W + 512 DWV - 672 D²V²U -

- 544 D²VU + 1616 WV - 272 WU² + 816 V²U + 256 DW + 672 W²U -

- 1344 D²WU² + 672 DV³ - 336 D³V² - 672 D³WU - 272 D³V + 256 DU +

+ 666 DV + 1344 WV² - 816 VU³ + 128 U² - 384 WU³ + 1536 D³W² +

+ 1344 DWVU - 128 W²V - 256 D²U² - 192 V²U² - 408 DU⁴ - 136 D³U² -

- 272 D²U³ - 384 U³D - 192 W²U² - 128 D³W + 910 VU + 3072 DW²V -

- 128 D³WV + 256 DWV² - 256 D²WVU - 384 DWVU² - 61 D³ - 244 U³ -

- 2016 WVU² + 384 WU + 89 DU² - 3072 D²W²U - 384 WU²D - 320 V² -

- 256 WUD² + 3072 DW² - 128 UD³ + 64 W² + 512 WUV + 128 V³ -

- 512 DVU - 192 U⁴ - 256 D²VU² - 384 DVU³ - 128 D³VU + 1008 DV²U² -

- 122 UD² + 1216 DV² + 1344 DWU - 544 DVU² +

+ 256 V²DU + 2016 DWU³ - 4608 DW²U².

Подставляя сюда выражение (2.35) для W, получаем

$${\textstyle\frac{1}{50}}$$F₂(D, U, V) = 0,

где

F₂(D, U, V) = 572 D + 1877 U - 4141 V + 95872 D²V² + 74240 D²V + 13992 VU² +

+ 61056 D²V²U + 86592 D²VU - 8192 D⁴ - 12288 D⁵ +

+ 11604 V²U - 30144 DV³ + 258912 D³V² + 131904 D³V +

+ 12475 DU - 11352 DV + 1248 VU³ - 36000 D³U³ + 6022 U² -

- 12744 U⁴D² - 16640 D⁴V² - 27136 D⁴V - 31080 D²U² +

+ 5304 V²U² - 15216 DU⁴ - 67472 D³U² - 54316 D²U³ -

- 15960 U³D + 39680 D²V³ - 5184 D³U⁴ + 8864 VU - 241536 D³U²V -

- 153216 D⁴VU - 59520 U²D²V² + 20294 D³ + 632 U³ - 69120 D³U³V -

$${\textstyle\frac{789}{2}}$$ -

- 22608 U²D⁴ + 12800 UD³V² - 38784 UD⁴ - 46080 U²D⁴V -

- 153600 UD⁴V² - 93888 U³D²V - 23040 D⁵VU - 76800 D⁵V² -

- 61440 D⁵V + 153600 D³V³ - 6664 UD³ - 7472 V² - 3456 U⁴ -

- 86544 D²VU² - 9216 D⁵U - 1728 D⁵U² + 2160 DVU³ +

+ 2224 D³VU - 3536 V³ + 25612 UD² - 37472 DV² + 39368 DVU² -

- 4160 V²DU + 16896 D² + 12776 DVU + 45216 DV²U²

И наконец, подставив в это уравнение выражение (2.36) для V, приходим к соотношению

$${\frac{1250 \Upsilon(D,U)}{(80D^2+12D-17)^{2}}}$$ (2.51)

в котором

$$\Upsilon$$ = 68 + 165 D + 42 U - 785 D³ - 1280 D⁷ - 196 U³ - 640 D² - 262 D²U -

- 4072 D³U² + 6512 D²U³ - 2280 DU⁴ + 1528 DU + 1496 D⁴ +

+ 1360 D⁵ + 324 U² - 816 U⁴ - 384 D⁶ + 911 DU² - 28160 D⁶U³ -

- 58752 D⁵U³ - 14080 D⁷U² - 34944 D⁶U² - 15360 D⁷U - 7168 D⁶U -

- 29376 D⁴U⁴ + 10752 D²U⁴ + 22784 D³U³ + 18960 D³U⁴ +

+ 12352 D⁴U² - 12256 D⁴U³ + 20928 D⁵U + 2576 D⁵U² -

- 42240 D⁵U⁴ - 1192 D²U² + 3008 D⁴U - 10216 D³U - 2432 U³D. (2.52)

Результант полиномов F, $\Upsilon$ по переменой U (см. (2.49), (2.52)) имеет вид

2048H(D)(1 - D)(80D² + 12D - 17)³,

где полином H определен формулой (2.2). Возьмем в качестве D тринадцатый вещественный корень полинома H (см. (2.5)), т.е. положим

D = d.

Заметим, что полином F(d, U) совпадает с полиномом G(U), определенным формулой (2.7). Полином $\Upsilon$(d, U) обозначим через T(U). Таким образом имеем

G(U) = F(d, U),    T(U) = $$\Upsilon$$(d, U).

По построению результант полиномов G и T равен нулю, поэтому у этих полиномов имеется, по крайней мере, один общий корень. Выше (см. (2.7), (2.8)) говорилось, что полином G имеет два комплексных корня $\xi_{1,2}^{}$ = - 0.2486667705...±i 0.0422341143... и один вещественный корень $\xi$ = - 1.3689346636... Поскольку

T($$\xi_{1,2}^{}$$) = 3.2260630885...±i 0.001371204116...$$\not=$$0,

то, в силу вышесказанного, выполняется равенство T($\xi$) = 0. Таким образом, учитывая что 80d² + 12d - 17 = 8.3158642123...$\not=$0, получаем, что пара

D = d,    U = $$\xi$$

является одним из решений системы двух уравнений (2.48), (2.51) с двумя неизвестными. В этом случае, в силу формул (2.35), (2.36), (2.42), (2.9)-(2.12), имеем

V = $$\eta$$,    W = $$\zeta$$,    Q = q,    R = r;

кроме того, полином (2.30) совпадает с полиномом (2.17), поэтому

A = a,    B = b,    C = c.

Отсюда также следует, что функция $\psi$, заданная формулой (2.43), и функция f^*, определенная равенством (2.13), совпадают.

Из формул (2.38), (2.39) вытекает, что коэффициенты $\lambda_{A}^{}$,$\lambda_{B}^{}$,$\lambda_{C}^{}$,$\lambda_{D}^{}$ функционала $\cal {L}$ (см. (2.29)) совпадают с коэффициентами (2.22)-(2.25) функционала L, определенного в (2.21). Следовательно, формула (2.28), с учетом (2.40), примет вид

$${\frac{2}{\pi}} \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^2} \sum_{\nu=6}^{8} \nu \nu$$ (2.53)

На данном этапе рассуждений можно утверждать, что формула (2.53) выполняется на многочленах, определенных формулами (2.31), (2.34), (2.37) при выбранных D, U, V, W, A, B, C, а также на многочленах R₆, R₇, R₈ и $\psi$ = f^*. Указанные десять многочленов образуют базис во множестве $\cal {P}$₉ многочленов степени не выше девяти. Поэтому квадратурная формула (2.53) выполняется для любого многочлена из $\cal {P}$₉. Из нее, в частности, следует, что L(1) = 1 и L(R_$\nu$) = 0 при $\nu$ = 1, 2, 3, 4, 5, 9, т.е. имеет место (2.26).

Очевидно, формулу (2.53) можно распространить на весь класс функций $\Phi_{4}^{}$, если записать ее в форме (2.20)-(2.25). Нам осталось проверить неравенства (2.27). Для обоснования этих неравенств воспользуемся следующими двумя свойствами многочленов Чебышева второго рода: 1)  R_$\nu$(1) = 1, $\nu$$\ge$0,  2) многочлены R_$\nu$ на интервале (- 1, 1) поточечно стремятся к нулю при $\nu$$\to$$\infty$. Как следствие этих свойств имеем L$\left(\vphantom{R_\nu}\right.$R_$\nu$$\left.\vphantom{R_\nu}\right)$$\to$1/25 > 0 при $\nu$$\to$$\infty$; в силу чего неравенства (2.27) нужно проверить лишь для конечного числа индексов $\nu$. Подробнее, воспользовавшись формулой (2.1), получим

$$\nu {\textstyle\frac{1}{25}} \lambda {\frac{\sin(\nu+1)\theta_0}{(\nu+1)\sin\theta_0}} \lambda {\frac{\sin(\nu+1)\theta_1}{(\nu+1)\sin\theta_1}}$$ +

$$\lambda {\frac{\sin(\nu+1)\theta_2}{(\nu+1)\sin\theta_2}} \lambda {\frac{\sin(\nu+1)\theta_3}{(\nu+1)\sin\theta_3}}$$ +

где

$$\theta_{0}^{} \theta_{1}^{}$$ =

$$\theta_{2}^{} \theta_{3}^{}$$ =

Поэтому для любого $\nu$$\ge$1 справедлива оценка

$$\left(\vphantom{R_\nu}\right. \nu \left.\vphantom{R_\nu}\right) \ge {\textstyle\frac{1}{25}} {\frac{\lambda(d)+\lambda(a)+ \lambda(b)+ \lambda(c)}{\nu+1}} \left\{\vphantom{\frac{1}{\sin \theta_0},\frac{1}{\sin\theta_1}, \frac{1}{\sin\theta_2},\frac{1}{\sin\theta_3}}\right. {\frac{1}{\sin \theta_0}} {\frac{1}{\sin\theta_1}} {\frac{1}{\sin\theta_2}} {\frac{1}{\sin\theta_3}} \left.\vphantom{\frac{1}{\sin \theta_0},\frac{1}{\sin\theta_1}, \frac{1}{\sin\theta_2},\frac{1}{\sin\theta_3}}\right\}$$

$${\textstyle\frac{1}{25}} \left(\vphantom{1-\frac{24}{(\nu+1)\sin\theta_1}}\right. {\frac{24}{(\nu+1)\sin\theta_1}} \left.\vphantom{1-\frac{24}{(\nu+1)\sin\theta_1}}\right)$$ =

Отсюда легко получить, что L$\left(\vphantom{R_\nu}\right.$R_$\nu$$\left.\vphantom{R_\nu}\right)$ > 0 при $\nu$$\ge$43. Для $\nu$$\le$42 условия (2.27) проверяются непосредственными вычислениями. Лемма 2.1 доказана.

В следующей лемме изучаются свойства функция f^*, описанной соотношениями (2.5), (2.7)-(2.14).

Лемма 2.2   Функция f^* принадлежит множеству $\cal {F}$₄(d ) и для нее имеет место равенство f^*(1) = 25f₀^*.

Доказательство. Найдем коэффициенты Фурье f_k^* многочлена (2.13) в его разложении (2.14) по многочленам R_k = R_k^{1/2, 1/2} Чебышева второго рода. Для этого удобно воспользоваться формулой (2.32). В результате получим для коэффициентов разложения такие выражения

$${\textstyle\frac{5}{256}}$$ f^*₉ =

$${\textstyle\frac{9}{16}} \eta {\textstyle\frac{9}{32}} {\textstyle\frac{3}{8}} \zeta \xi {\textstyle\frac{3}{16}} \eta^{2}_{} {\textstyle\frac{9}{32}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{9}{16}} \xi {\textstyle\frac{3}{8}} \zeta {\textstyle\frac{81}{256}} {\textstyle\frac{9}{32}} {\textstyle\frac{9}{16}} \xi {\textstyle\frac{3}{8}} \eta \xi$$ f^*₅ =

$${\textstyle\frac{3}{8}} \eta \xi {\textstyle\frac{3}{8}} \eta {\textstyle\frac{3}{16}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{3}{8}} \xi {\textstyle\frac{3}{8}} \zeta {\textstyle\frac{3}{8}} \eta {\textstyle\frac{3}{16}} \xi^{2}_{}$$ -

$${\textstyle\frac{25}{64}} {\textstyle\frac{25}{32}} \xi {\textstyle\frac{25}{32}} \zeta {\textstyle\frac{25}{64}} {\textstyle\frac{5}{16}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{5}{8}} \eta {\textstyle\frac{5}{8}} \eta \xi {\textstyle\frac{5}{8}} \zeta {\textstyle\frac{5}{8}} \zeta \xi {\textstyle\frac{25}{32}} \eta \xi$$ f^*₄ =

$${\textstyle\frac{25}{32}} \eta {\textstyle\frac{5}{8}} \eta {\textstyle\frac{5}{8}} \zeta {\textstyle\frac{5}{8}} \eta \xi {\textstyle\frac{5}{16}} \eta^{2}_{} {\textstyle\frac{5}{16}} \eta^{2}_{} {\textstyle\frac{5}{8}} \zeta \xi {\textstyle\frac{25}{32}} \xi {\textstyle\frac{25}{64}} \xi^{2}_{}$$ -

$${\textstyle\frac{25}{32}} \eta {\textstyle\frac{25}{64}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{25}{64}} {\textstyle\frac{25}{32}} \xi$$ +

$${\textstyle\frac{7}{8}} \eta {\textstyle\frac{7}{16}} \zeta \eta {\textstyle\frac{3}{8}} \zeta \xi {\textstyle\frac{1}{2}} \eta^{2}_{} {\textstyle\frac{1}{2}} {\textstyle\frac{7}{16}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{7}{8}} \xi \zeta {\textstyle\frac{7}{16}} {\textstyle\frac{7}{8}} \xi$$ f^*₃ =

$$\eta \xi {\textstyle\frac{1}{2}} \eta^{2}_{} \zeta \eta \zeta \xi \zeta \zeta \xi {\textstyle\frac{1}{2}} \eta^{2}_{} \eta \xi \eta \xi \eta$$ +

$${\textstyle\frac{1}{2}} \xi^{2}_{} \xi \zeta \eta {\textstyle\frac{1}{2}} \xi^{2}_{}$$ -

$${\textstyle\frac{21}{64}} {\textstyle\frac{21}{32}} \xi {\textstyle\frac{27}{32}} \zeta {\textstyle\frac{21}{64}} {\textstyle\frac{3}{2}} \zeta \eta {\textstyle\frac{3}{4}} \eta^{2}_{} {\textstyle\frac{9}{16}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{9}{8}} \eta {\textstyle\frac{9}{8}} \eta \xi {\textstyle\frac{9}{8}} \zeta$$ f^*₂ =

$${\textstyle\frac{9}{8}} \zeta \xi {\textstyle\frac{27}{32}} \eta \xi {\textstyle\frac{3}{4}} \zeta^{2}_{} {\textstyle\frac{27}{32}} \eta {\textstyle\frac{9}{8}} \zeta \eta {\textstyle\frac{9}{8}} \zeta {\textstyle\frac{9}{8}} \eta \xi {\textstyle\frac{9}{16}} \eta^{2}_{} {\textstyle\frac{9}{16}} \eta^{2}_{} {\textstyle\frac{9}{8}} \zeta \xi$$ +

$${\textstyle\frac{3}{2}} \zeta \xi {\textstyle\frac{3}{2}} \zeta \eta {\textstyle\frac{3}{4}} \zeta^{2}_{} {\textstyle\frac{27}{32}} {\textstyle\frac{27}{64}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{27}{32}} \eta {\textstyle\frac{27}{64}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{27}{64}} {\textstyle\frac{27}{32}} \xi$$ -

= 0.2749299247...,

$${\textstyle\frac{7}{16}} \eta {\textstyle\frac{7}{32}} \zeta^{2}_{} \zeta \eta {\textstyle\frac{5}{8}} \zeta \xi {\textstyle\frac{5}{16}} \eta^{2}_{} {\textstyle\frac{1}{2}} \zeta^{2}_{} {\textstyle\frac{7}{32}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{7}{16}} \xi {\textstyle\frac{5}{8}} \zeta {\textstyle\frac{21}{128}}$$ f^*₁ =

$${\textstyle\frac{7}{32}} {\textstyle\frac{7}{16}} \xi \xi {\textstyle\frac{1}{2}} \eta^{2}_{} \zeta \eta \zeta \zeta \zeta \xi {\textstyle\frac{1}{2}} \eta^{2}_{} \zeta \eta \zeta^{2}_{}$$ -

$${\textstyle\frac{5}{8}} \eta \xi {\textstyle\frac{5}{8}} \eta \xi {\textstyle\frac{5}{8}} \eta {\textstyle\frac{5}{16}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{5}{8}} \xi {\textstyle\frac{5}{8}} \zeta {\textstyle\frac{5}{8}} \eta {\textstyle\frac{5}{16}} \xi^{2}_{}$$ +

= 0.1637887936...,

$${\textstyle\frac{7}{128}} {\textstyle\frac{7}{64}} {\textstyle\frac{5}{32}} \zeta {\textstyle\frac{7}{128}} {\textstyle\frac{1}{2}} \zeta \eta {\textstyle\frac{1}{4}} \eta^{2}_{} {\textstyle\frac{1}{8}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{1}{4}} \eta {\textstyle\frac{1}{4}} \eta \xi {\textstyle\frac{1}{4}} \zeta$$ f^*₀ =

$${\textstyle\frac{1}{4}} \zeta \xi {\textstyle\frac{5}{32}} \eta \xi {\textstyle\frac{1}{4}} \zeta^{2}_{} {\textstyle\frac{5}{32}} \eta \zeta^{2}_{} {\textstyle\frac{1}{4}} \zeta \eta {\textstyle\frac{1}{4}} \zeta {\textstyle\frac{1}{4}} \eta \xi {\textstyle\frac{1}{8}} \eta^{2}_{} {\textstyle\frac{1}{8}} \eta^{2}_{}$$ +

$${\textstyle\frac{1}{4}} \zeta \xi {\textstyle\frac{1}{2}} \zeta \xi {\textstyle\frac{1}{2}} \zeta \eta {\textstyle\frac{1}{4}} \zeta^{2}_{} {\textstyle\frac{5}{32}} \xi {\textstyle\frac{5}{64}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{5}{32}} \eta {\textstyle\frac{5}{64}} \xi^{2}_{} {\textstyle\frac{5}{64}}$$ -

$${\textstyle\frac{5}{32}} \xi$$ - (2.54)

Многочлен f^* неположителен на отрезке [- 1, d], ибо последний множитель (t² + qt + r) в его представлении (2.13), имеет положительный минимум на всей действительной оси: r - (q/2)² = 0.248498575...> 0. Кроме того, из формул (2.54), следует, что все его коэффициенты f^*_k в разложении (2.14) неотрицательны и f^*₀ > 0. Согласно определению (1.4)-(1.6), полином f^* принадлежит множеству $\cal {F}$₄(d ).

В силу (2.13), (2.17), (2.18) и (2.54) для функции f^* выполняются свойства

f^*(d )= f^*(a) = f^*(b) = f^*(c) = f^*₆ = f^*₇ = f^*₈ = 0.

Поэтому на функции f^* формула (2.20) превращается в равенство f^*₀ = f^*(1)/25. Лемма доказана.

Следующая лемма позволит показать, что f^* является единственной (c точностью до постоянного положительного множителя) экстремальной функцией задачи w₄(d ).

Лемма 2.3   Допустим, что f есть полином (не выше) девятой степени со свойствами:

1) для f справедливо представление

f (t) = h(t)g(t), (2.55)

где h(t) = (t - d )(t - a)²(t - b)²(t - c)² = $\left(\vphantom{t-d}\right.$t - d$\left.\vphantom{t-d}\right)$(t³ - $\xi$t² + $\eta$t - $\zeta$)², a g есть некоторый полином второй степени,

2) в разложении

$$\sum_{{\nu}=0}^{9} \nu \nu$$ (2.56)

полинома f по многочленам Чебышева второго рода равны нулю хотя бы два из трех (в частности, все три) коэффициента f₆, f₇, f₈.

Тогда полином f с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией (полиномом) f^*, т.е. f = Cf^*, где C = const; при этом, если f $\in$ $\cal {F}$₄(d ), то C > 0.

Доказательство леммы проведем в несколько этапов.

1) Допустим вначале, что полином g в представлении (2.55) имеет вид

g(t) = t² + Qt + R (2.57)

с некоторыми вещественными коэффициентами Q, R. Выпишем явные выражения коэффициентов f₆, f₇ и f₈ в представлении (2.56) полинома f. Нетрудно убедиться, что

$$\vartheta$$ (2.58)

где

A₈ = Q - d - 2$$\xi$$,    A₇ = 2d$$\xi$$ + R + 2$$\eta$$ - dQ - 2$$\xi$$Q + $$\xi^{2}_{}$$,

A₆ = - d$$\xi^{2}_{}$$ - 2$$\zeta$$ + $$\xi^{2}_{}$$Q + 2$$\eta$$Q - 2$$\xi$$R + 2d$$\xi$$Q - 2$$\xi$$$$\eta$$ - 2d$$\eta$$ - dR

и, наконец, $\vartheta$ есть некоторый многочлен пятой степени. Подставляя в (2.58) представления (2.32) степеней t⁹, t⁸, t⁷, t⁶ через многочлены Чебышева второго рода, получаем следующие выражения

$${\textstyle\frac{49}{128}} \xi {\textstyle\frac{49}{256}} {\textstyle\frac{7}{32}} \zeta {\textstyle\frac{49}{256}} {\textstyle\frac{7}{32}} \xi {\textstyle\frac{7}{64}} \xi^{2}$$ f₆ =

$${\textstyle\frac{7}{64}} \xi^{2} {\textstyle\frac{7}{64}} {\textstyle\frac{7}{32}} \eta {\textstyle\frac{7}{32}} \eta {\textstyle\frac{7}{32}} \xi {\textstyle\frac{7}{32}} \xi \eta$$ - (2.59)

$${\textstyle\frac{1}{16}} {\textstyle\frac{1}{8}} \eta {\textstyle\frac{1}{16}} \xi^{2} {\textstyle\frac{1}{8}} \xi {\textstyle\frac{1}{16}} {\textstyle\frac{1}{8}} {\textstyle\frac{1}{8}} \xi$$ (2.60)

$${\textstyle\frac{9}{256}} {\textstyle\frac{9}{256}} {\textstyle\frac{9}{128}} \xi$$ (2.61)

Налагая на функцию f любые два из трех условий f₆ = 0, f₇ = 0,I>f₈ = 0, т.е. приравнивая правые части любых двух из трех соотношений (2.59)-(2.61) к нулю, получаем систему

$$\nu \mu \le \nu \mu \le$$ (2.62)

двух линейных уравнений относительно двух неизвестных Q и R. Во всех трех возможных случаях определитель этой системы $\Delta_{\nu,\mu}^{}$ отличен от нуля. Например, для системы f₇ = 0,I>f₈ = 0 ее определитель $\Delta_{7,8}^{}$ равен -9/4096; на самом деле для нас важно, что $\Delta_{7,8}^{}$$\ne$0.

Таким образом, любая система двух условий (2.62) имеет единственное решение Q, R. В силу (2.13) функция f^* имеет представление (2.55) + (2.57) и, согласно (2.54), для нее выполняются условия (2.62). Отсюда следует, что Q = q и R = r. Следовательно, f = f^* есть единственная функция, удовлетворяющая условиям (2.55), (2.57) и (2.62).

2) Предположим, что в представлении (2.55) функции f многочлен g имеет вид g(t) = Ct² + Qt + R и при этом C$\ne$0. Тогда функция f_C = $${\frac{f}{C}}$$ удовлетворяет всем условиям леммы и в ее представлении (2.55) второй множитель имеет вид (2.57). Отсюда, как мы только что показали, следует, что $${\frac{f}{C}}$$ = f^* или, то же самое, f = Cf^*. Ясно, что если f $\in$ $\cal {F}$₄(d ), то C > 0.

3) Наконец покажем, что если для функции f выполняются условия леммы, и в соотношении (2.55) второй множитель имеет вид g(t) = Qt + R, то f $\equiv$ 0. Действительно, функция $\widetilde{f}$ = f^* + f удовлетворяет всем предположениям леммы. Для этой функции справедлива формула $\widetilde{f}$ = h$\widetilde{g}$, в которой $\widetilde{g}$ есть многочлен второй степени $\widetilde{g}$(t) = t² + $\widetilde{Q}$t + $\widetilde{R}$ с коэффициентами $\widetilde{Q}$ = q + Q, $\widetilde{R}$ = r + R. Многочлен $\widetilde{g}$ имеет вид (2.57). Отсюда, как уже доказано, следует, что $\widetilde{f}$ = f^*, а потому f $\equiv$ 0. Лемма 2.3 доказана полностью.

Доказательство теоремы 2.2. В силу леммы 2.2 функция f^*, определенная соотношением (2.13) принадлежит множеству $\cal {F}$₄(d ) и для нее имеет место равенство f^*(1) = 25f₀^*. Поэтому справедлива оценка

w₄(d )©$$\le$$$${\frac{f^*(1)}{f_0^*}}$$ = 25.

Докажем обратное неравенство

$$\ge$$ (2.63)

Для произвольной функции f $\in$ $\cal {F}$₄(d ) справедлива квадратурная формула (2.20)-(2.21). Коэффициенты 1/25, $\lambda$(d ), $\lambda$(a), $\lambda$(b), $\lambda$(c) этой формулы положительные, а коэффициенты L(R_$\nu$), $\nu$$\ge$1, - неотрицательные (точнее, L(R_$\nu$) > 0, $\nu$$\ge$6, $\nu$$\ne$9 и L(R_$\nu$) = 0, $\nu$ = 1, 2, 3, 4, 5, 9). В силу свойств (1.4)-(1.6) функции f $\in$ $\cal {F}$₄(d ) отсюда следует оценка

$$\sum_{\nu\ge 1}^{} \nu \nu \le {\textstyle\frac{1}{25}}$$ (2.64)

которая влечет неравенство (2.63). Тем самым обосновано утверждение (2.15); в частности, доказано, что функция f^* является экстремальной в задаче w₄(d ).

Для завершения доказательства теоремы 2.2 осталось проверить, что (с точностью до положительного множителя) функция f^* является единственной экстремальной. Функция

$$\sum_{{\nu}=0}^{\infty} \nu \nu \in \cal {F}$$ (2.65)

является экстремальной в том и только в том случае, если на ней неравенство (2.64) обращается в равенство. В силу свойства (2.27) для этого необходимо, чтобы в представлении (2.65) экстремальной функции f коэффициенты f_$\nu$ с номерами $\nu$$\ne$0, 1, 2, 3, 4, 5, 9 были равны нулю; в частности, это означает, что функция f есть полином не выше девятой степени. Кроме того, должно выполняться равенство L(f )= f (1)/25, которое эквивалентно тому, что

f (d )= f (a) = f (b) = f (c) = 0.

Таким образом, точка d должна быть по крайней мере простым, а точки a, b и c - двойными нулями полинома f. Следовательно, f имеет вид f (t) = h(t)g(t), где h(t) = (t - d )(t - a)²(t - b)²(t - c)², a g - некоторый многочлен второй степени. Отсюда в силу леммы 2.3 следует, что f = Cf^*, где C - некоторая положительная константа. Теорема 2.2 доказана.

Лемма 2.4   Для функции w₄(s), определенной формулой (1.7), справедливы следующие два утверждения: w₄(s) < w₄(d ) при  - 1$\le$s < d; I>w₄(s) > w₄(d ) при d < s < 1.

Доказательство. Рассмотрим многочлен g(t) = 20t + 1 = 20R₁(t) + R₀(t). С помощью многочленов f^*, g и числа $\epsilon$, 0$\le$$\epsilon$$\le$1, определим многочлен (девятой степени)

F(t) = F($$\epsilon$$, t) = $$\epsilon$$$${\frac{f^*(t)}{f_0}}$$ + (1 - $$\epsilon$$)g(t).

Нуль $\tilde{s}$ = - 0.05 многочлена g лежит между точками c и d (см. (2.18), (2.5)), причем многочлен g на полуинтервалах [- 1,$\tilde{s}$) и ($\tilde{s}$, d], соответственно, отрицательный и положительный. Поэтому при любом $\epsilon$, 0 < $\epsilon$ < 1, полином F на отрезке [- 1,$\tilde{s}$] отрицательный. Далее, поскольку, F($\tilde{s}$) < 0,  F(d ) > 0, то многочлен F имеет на интервале ($\tilde{s}$, d ) нуль; наименьший из них обозначим через s($\epsilon$). Естественно положить s(0) = $\tilde{s}$ = - 0.05, s(1) = d. Для t $\in$ [$\tilde{s}$, d] функция F($\epsilon$, t) по переменному $\epsilon$ $\in$ [0, 1] убывает, поэтому функция s($\epsilon$) возрастает (от значения s(0) = $\tilde{s}$ до значения s(1) = d ). Нетрудно понять, что функция s($\epsilon$) непрерывна на отрезке $\epsilon$ $\in$ [0, 1].

Полином F(t) = F($\epsilon$, t) удовлетворяет условию F(t)$\le$0, - 1$\le$t$\le$s($\epsilon$.) Кроме того, коэффициенты Фурье F_k, 0$\le$k$\le$9, в разложении F по многочленам Чебышева второго рода, очевидно, неотрицательные и F₀ = 1. Следовательно F принадлежит классу $\cal {F}$₄(s($\epsilon$)). Поэтому при 0$\le$$\epsilon$ < 1 имеет место оценка w₄(s($\epsilon$))$\le$F(1) = 25$\epsilon$ + (1 - $\epsilon$)g(1) = 25$\epsilon$ + (1 - $\epsilon$)21 < 25 = w₄(d ). Отсюда следует, что w₄(s) < 25 = w₄(d ) для s $\in$ [$\tilde{s}$, d ). Функция w₄(s) по переменному s $\in$ [- 1, 1) не убывает, а потому w₄(s) < 25 = w₄(d ) при всех s $\in$ [- 1, d ).

Пусть, теперь, s > d. Нам нужно доказать, что w₄(s) > w₄(d )= 25. Будем рассуждать от противного. Допустим, что w₄(s)$\le$w₄(d ), а значит, на самом деле, w₄(s) = w₄(d )= 25. В силу теоремы 2.1 работы [8] в задаче w₄(s) существует экстремальная функция; обозначим ее символом f^s. Поскольку s > d и w₄(s) = w₄(d ), то функция f^s будет являться экстремальной и в задаче w₄(d ). Согласно теореме 2.2 в задаче w₄(d ) экстремальная функция единственная (с точностью до положительного постоянного множителя), и значит, f^s = Cf^*,  C > 0. Однако, если t $\in$ (d, s], то f^*(t) > 0, а f^s(t)$\le$0, что противоречиво. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2.1. Теорема 2.1 есть следствие теоремы 2.2 и леммы 2.4.