4. Неравенство Джексона-Стечкина в пространстве $L^{2}_{\alpha ,-1/2}$.

В этом пункте, с помощью предыдущего следствия, первого равенства в (1.2), соотношений (3.3) - (3.5) и утверждения (A) теоремы 1.1 будет получено

Следствие 4.1   Пусть $\alpha > -1/2.$ Тогда имеют место следующие два утверждения

1)

при любых $\tau>0,\ r>0,\ n\in{\bf N}$ для константы (1.13) Джексона-Стечкина в пространстве $L^{2}_{\alpha ,-1/2}$ выполняются оценки

$$1\le {\cal K}_{n}^{\alpha,-1/2}(\tau,r)\le {\cal K}_{2n}^{\al... ... {\cal K}_{2n-1}^{\alpha,\alpha}\left(\frac{\tau}{2},r\right);$$

2)

при $n\in{\bf N},\ \tau \ge \min\{\pi, 2x^{\alpha,-1/2}_{n}\}$ справедливы неравенства

$$E_{n-1}(F)\le \omega_r (F,\tau), \quad F\in L^2_{\alpha,-1/2},\quad r \ge 1;$$

$$E_{n-1}(F)\le 2^{(1-r)/2} \omega_r (F,\tau), \quad F\in L^2_{\alpha,-1/2},\quad 0<r<1.$$

Доказательство. В силу первого равенства в (1.2) для величины (3.5) при $\alpha>\beta=-1/2,\ \tau>0,\ r>0,\ n\in{\bf N}$ имеем

$$\begin{eqnarray*} K_{n}^{\alpha,-1/2}(\tau,r) & = & \sup\left\{ \sum\limits_{k=n... ...ght) \le K_{2n-1}^{\alpha,\alpha}\left(\frac{\tau}{2},r\right) , \end{eqnarray*}$$

что вместе с равенством (3.4) и предыдущим следствием влечет первое утверждение данного следствия. Отсюда, принимая во внимание определение (1.13) и неравенство (1.21), получаем неравенства

$$1\le {\cal K}_{n}^{\alpha,-1/2}(\tau,r)\le {\cal K}_{2n}^{\a... ...ge 2x^{\alpha,\alpha}_{2n}=x^{\alpha,-1/2}_{n}, \ n\in{\bf N},$$

которые вместе со вторым равенством в (1.18) и (1.9) завершают доказательство второго утверждения следствия.