3. Редукция к экстремальной задаче для полиномов Якоби. Оценка снизу.

Пусть $\alpha \ge \beta > -1,\ \alpha \ge -1/2.$ По стандартной схеме (см., например, [1]), с помощью равенства Парсеваля, получаем, что для любой функции $F \in L^{2}_{\alpha,\beta}$ квадрат величины (1.3) ее наилучшего среднеквадратичного приближения косинус-полиномами порядка $n-1$ вычисляется по формуле

$$E^{2}_{n-1}(F)=\sum_{k=n}^{\infty}F^2_k,\quad F_k= \frac{(F,\phi_k)}{(\phi_k,\phi_k)},$$ (3.1)

где $\phi_k=\phi_k^{\alpha,\beta},\ k \in {\bf Z^+},$ - косинус-полиномы Якоби (1.1), а квадрат нормы ее разности порядка $r>0$ с шагом $t \in {\bf R}$ удовлетворяет равенству (1.10). Поэтому задача (1.13) сводится к следующей экстремальной задаче для косинус-полиномов Якоби. При фиксированных $\alpha \ge \beta > -1,\ \alpha \ge -1/2,\ \tau>0,\ r>0,\ n\in{\bf N}$ найти наилучшую константу $K=K_{n}^{\alpha,\beta}(\tau,r)$ в неравенстве

$$\sum_{k=n}^{\infty}\rho_k \le K \max_{\vert t\vert\le\tau}\s... ...}^{\infty}\rho_k < \infty,\quad \rho_k\ge 0,\quad k\in{\bf N}.$$ (3.2)

Не трудно показать, что

$$K_{n}^{\alpha,\beta}(\tau,r)=\sup\left\{ \frac{\sum\limits_{... ...{k=n}^{\infty}\rho_k < \infty,\ \rho_k\ge 0,\ k\ge n \right\}.$$ (3.3)

Обратим внимание читателя на то, что суммирование во всех суммах в (3.3) ведется по $k$, начиная с $n,$ и это не есть опечатка. Очевидно также, что справедливо равенство

$$\{{\cal K}_{n}^{\alpha,\beta}(\tau,r)\}^2= K_{n}^{\alpha,\beta}(\tau,r)$$ (3.4)

при $\alpha \ge \beta > -1,\ \alpha \ge -1/2,\ \tau>0,\ r>0,\ n\in{\bf N}$. Задачу (3.3) можно преобразовать к виду

$$K_{n}^{\alpha,\beta}(\tau,r)=\sup\left\{ \sum\limits_{k=n}^{... ...(t)\}^r\le 1, \ t\in [0,\tau];\ \rho_k\ge 0,\ k\ge n \right\}.$$ (3.5)

Видно, что (3.5) есть задача (бесконечномерного) линейного программирования. Такого рода задачи возникают и в других областях математики, например, при исследовании границ упаковок некоторых метрических пространств по схеме Дельсарта ([28], [29], [30], [4], [31, гл.9, 13, 14], [25]), оценок снизу мощности дизайнов (см. [32]), а также в теории чисел (см. [33], [34] и приведенную там библиографию).

Для оценки снизу величины (3.3) нам понадобится следующее утверждение, доказанное В.В.Арестовым [24, теорема 1], [1, лемма 4.2]. Ниже мы будем использовать стандартное обозначение $\Vert f\Vert _{C[a,b]}=\max\limits_{x\in[a,b]}\vert f(x)\vert$ равномерной нормы непрерывной на отрезке $[a,b]$ функции $f.$

Лемма 3.1   (В.В.Арестов). Пусть на отрезке $[ 0, \tau],\ \tau>0,$ задана система непрерывных функций $\psi_k,\ k\in{\bf N},$ удовлетворяющая следующим условиям: 1) $\psi_k(0)=0,\ k\in{\bf N};$ 2)  $\sup\limits_{k\in{\bf N}}\Vert\psi_k\Vert _{C[0,\tau]}<\infty;$ 3) для любого $\xi \in (0,\tau]$ выполняется неравенство

$$\lim_{\overline{k \rightarrow \infty }} \{ \max_{t \in [\xi , \tau ]} \psi_k(t) \} \leq 1.$$

Тогда для любого $\varepsilon \in (0,1)$ найдется функция

$$F(t)=\sum_{k=1}^{\infty}\rho_k\, \psi_k(t),\quad \sum_{k=1}^{\infty}\rho_k=1,$$

с неотрицательными коэффициентами $\rho_k \geq 0, \ \ k=1,2, \ldots,$ такая, что

$$F(t)\leq 1+\varepsilon ,\quad t \in [0,\tau].$$

Следствие 3.1   Пусть $\alpha > \beta > -1,\ \alpha > -1/2,\ \tau>0,\ r>0, n\in{\bf N}.$ Тогда для точной константы ${\cal K}={\cal K}_{n}^{\alpha,\beta}(\tau,r)$ (см. (1.13)) в неравенстве Джексона-Стечкина (1.12) в пространстве $L^{2}_{\alpha,\beta}$ имеет место следующая оценка снизу

$${\cal K}_{n}^{\alpha,\beta}(\tau,r) \ge 1.$$ (3.6)

Доказательство. Из определения (1.17) и соотношения (1.18) вытекает, что неравенство (3.6) достаточно доказать при $\tau=\pi.$ Известно (см. [3, § 7.32.]), что при $\alpha > \beta > -1,\ \alpha > -1/2$ косинус-полиномы Якоби (1.1) $\phi_k=\phi_{k}^{\alpha,\beta}$ для произвольного фиксированного $\xi\in (0,\pi]$ равномерно стремятся к нулю на отрезке $[\xi,\pi]$, т.е.

$$\lim_{k\rightarrow \infty}\Vert\phi_k\Vert _{C[\xi,\pi]}=0.$$

Отсюда, с учетом свойства (1.7), следует, что при каждом фиксированном $r>0$ система функций

$$\psi_k(x)=\{1-\phi_{n-1+k}(x)\}^r,\quad k\in{{\bf N}},$$

удовлетворяет условиям леммы 3.1 при $\tau=\pi.$ И значит, для любого $\varepsilon \in (0,1)$ найдется функция $F\in L^2_{\alpha,\beta},$ такая, что

$$\frac{E^2_n(F)}{\omega^2_r(F,\pi)}= \frac{\sum\limits_{k=n}^... ...1+\varepsilon }, \quad F_k=\frac{(F,\phi_k)}{(\phi_k,\phi_k)}.$$

Это соотношение и определение (1.13) влекут (3.6). Следствие доказано.