1. Введение.

В этой работе доказано точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве $L^2$ на отрезке с весом Якоби, и, как следствие, получены родственные неравенства для функций многих переменных, заданных на проективных пространствах. Указанный результат для приближений на отрезке, в основном, был анонсирован ранее автором в [2].

Пусть $\alpha>-1,\ \beta>-1$ и $R_k=R_{k}^{\alpha,\beta}$ - алгебраические многочлены Якоби порядка $\ k=0,1,2,\ldots,$ ортогональные на отрезке $[-1,1]$ c весом $(1-z)^{\alpha}(1+z)^{\beta}$ (см. [3, гл.IV])

$$\int_{-1}^{1} R_k(z)R_l(z)(1-z)^{\alpha}(1+z)^{\beta} dz = 0, \quad k\neq l,\quad k,l \in {\bf Z^+},$$

и нормированные условием $R_k(1)=1,\ k \in {\bf Z^+}.$ Как известно (см. [4, с.75]), они удовлетворяют рекуррентному соотношению при     k=1,2,...

$$\begin{eqnarray*}\frac {2(k+\alpha+1)(k+\alpha+\beta+1)}{(2k+\alpha+\beta+1)(2k+... ...ac{2k(k+\beta)}{(2k+\alpha+\beta)(2k+\alpha+\beta+1)}R_{k-1}(z), \end{eqnarray*}$$

$$R_0(z)=1,\quad R_1(z)=\frac{\alpha - \beta + (\alpha + \beta +2)z} {2(\alpha +1)}.$$

Ясно, что система косинус-полиномов Якоби

$$\phi_k(x)=\phi_{k}^{\alpha,\beta}(x)=R_{k}^{\alpha,\beta}(\cos x), \quad \phi_k(0)=1,\ k \in {\bf Z^+},$$ (1.1)

является ортогональной на отрезке $[0,\pi]$ c весом $\left(\sin \displaystyle{\frac{x}{2}}\right)^{2\alpha +1} \left(\cos \displaystyle{\frac{x}{2}}\right)^{2\beta +1}$

$$\int_{0}^{\pi} \phi_k(x)\phi_l(x) \left(\sin {\frac{x}{2}}\ri... ...right)^{2\beta +1}dx=0, \quad k\neq l,\quad k,l \in {\bf Z^+}.$$

Приведем известные примеры таких полиномов (см. [3, с.72, (4.1.7), (4.1.8)])

$$\phi_{k}^{-1/2,-1/2}(x)=\cos kx; \quad \phi_{k}^{1/2,1/2}(x)=\frac{\sin (k+1)x}{(k+1)\sin x};$$

$$\phi_{k}^{1/2,-1/2}(x)= \frac{\sin {\frac{2k+1}{2}}x}{(2k+1)... .../2,1/2}(x)= \frac{\cos {\frac{2k+1}{2}}x}{\cos {\frac{x}{2}}}.$$

Косинус-полиномы Якоби обладают следующими замечательными свойствами (см. [3, с.71, (4.1.5)]): при любых $\alpha>-1, \ k \in {\bf Z^+}$ справедливы равенства

$$\phi_{k}^{\alpha,-1/2}(x)=\phi_{2k}^{\alpha,\alpha}\left(\fr... ...ac{x}{2}} \phi_{2k+1}^{\alpha,\alpha}\left(\frac{x}{2}\right).$$ (1.2)

Обозначим через $L^{2}=L^{2}_{\alpha,\beta}$ пространство вещественных измеримых четных $2\pi$-периодических функций вида $F(x)=f(\cos x),\ x \in {\bf R},$ со скалярным произведением

$$(F,G)=\int_{0}^{\pi}F(x)G(x) \left(\sin {\frac{x}{2}}\right)^{2\alpha +1} \left(\cos {\frac{x}{2}}\right)^{2\beta +1}dx$$

и нормой $\Vert F\Vert=(F,F)^{1/2}.$ Наилучшим приближением функции $F \in L^2$ пространством

$$C_{n-1}=\left\{G:\ G(x)=\sum_{k=0}^{n-1} a_k \cos kx,\quad a_k\in{\bf R}\right\}$$

косинус-полиномов порядка $n-1$ называется величина

$$E_{n-1}(F)=\min\{\Vert F-G\Vert:\ G \in C_{n-1}\}.$$ (1.3)

Для оценки сверху этой величины нам понадобится важное обобщение понятия сдвига (см. [5]) произвольной функции $F \in L^2,$ основанное на ее разложении в ряд Фурье по косинус-полиномам Якоби

$$F(x)=\sum_{\nu=0}^{\infty}F_\nu\phi_\nu(x), \quad F_\nu=\frac{(F,\phi_\nu)}{(\phi_\nu,\phi_\nu)}.$$ (1.4)

А именно, оператором (обобщенного) сдвига с шагом $t \in {\bf R}$ называется линейный оператор $T_t,$ который действует на функции $F \in L^2$ вида (1.4) по закону

$$T_tF(x)=\sum_{\nu=0}^{\infty}F_\nu\phi_\nu(t)\phi_\nu(x).$$ (1.5)

Поскольку $\phi_0(t)=1,$ то, как нетрудно заметить, оператор сдвига (с любым фиксированным шагом $t \in {\bf R}$) переводит постоянные функции в себя, например, $T_t1=1.$ Кроме того, известно (см. [3, с.175, (7.32.2)]), что в случае

$$\alpha \ge \beta > -1,\quad \alpha \ge -\frac{1}{2}$$ (1.6)

косинус-полиномы Якоби $\phi_{k}=\phi_{k}^{\alpha,\beta}$ удовлетворяют следующим соотношениям

$$\max_{t \in {\bf R}}\vert\phi_k(t)\vert=\phi_k(0)=1,\quad k \in{\bf Z^+}.$$ (1.7)

Следовательно, в этом случае норма оператора $T_t,$ как оператора из $L^2$ в $L^2,$ равна единице. Поэтому применима схема Грюнвальда - Летникова [6], [7] (см. также [8, § 20], [9], [10]) построения соответствующего разностного оператора (вещественного) порядка $r>0$ с шагом $t \in {\bf R}$

$$\Delta_t^r = (I-T_t)^{r/2} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k{r/2 \choose k}T^k_t,$$ (1.8)

где $I$ - тождественный оператор, $${{a \choose 0}}=1,\ \displaystyle{{a \choose k}}= \displaystyle{\frac{a(a-1)\ldots (a-k+1)}{k!}}, \ k=1,2,\ldots,$$ - биномиальные коэффициенты. Модулем непрерывности порядка $r>0$ функции $F \in L^2$ называется следующая функция переменного $\tau > 0$

$$\omega_r(F,\tau) =\sup \{ \Vert \Delta ^r_t F\Vert :\ \vert t\vert\leq \tau \}.$$

Следующая взаимосвязь между модулями непрерывности различных порядков получается путем повторения рассуждений, содержащихся в работах С.Б.Стечкина [11, лемма 2], Х.П.Рустамова [9, с.130, неравенство (1.8) и его обоснование]. Пусть $\alpha \ge \beta > -1,\ \alpha \ge -1/2,\ \tau>0$. Тогда для любой функции $F \in L^{2}_{\alpha,\beta}$ выполняется неравенство

$$\omega _{q}(F,\tau)\le 2^{(q-r)/2}\omega _r(F,\tau),\quad 0<r<q.$$ (1.9)

Кроме того, из определений (1.8), (1.5) и равенства Парсеваля следует, что для каждой функции $F\in L^2_{\alpha,\beta}$ вида (1.4) справедливо соотношение

$$\Vert \Delta ^r_t F \Vert^2= \sum_{k=1}^{\infty}F^2_k\{1-\phi_k(t)\}^r,\quad t\in {\bf R},\quad r>0,$$ (1.10)

из которого следует, что при $r>0$

$$\omega _r(F,\tau)\le\omega _r(F,\pi),\quad 0<\tau\le\pi; \quad \omega _r(F,\tau)=\omega _r(F,\pi),\quad \tau\ge\pi.$$ (1.11)

Зафиксируем числа $\alpha,\beta,$ удовлетворяющие условиям (1.6), а также числа $\tau>0,$ $r>0,\ n \in {\bf N}$ и рассмотрим классическую задачу о точной константе ${\cal K}={\cal K}_{n}^{\alpha,\beta}(\tau,r)$ в неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве $L^2=L^{2}_{\alpha,\beta}$

$$E_{n-1}(F) \leq {\cal K} \omega _r(F,\tau),\quad F \in L^2,$$ (1.12)

т.е. задачу о вычислении величины

$${\cal K}_n^{\alpha,\beta}(\tau,r)=\sup\left\{\frac{E_{n-1}(F... ...ight)}:\quad F\in L^2, \quad F\not \equiv {\rm const}\right\}.$$ (1.13)

Величину (1.13) мы будем иногда называть константой Джексона-Стечкина. Эта задача имеет большую историю, информация о качественной картине в этой области (вопросы ограниченности констант) содержится в работах М.К.Потапова [12], Х.П.Рустамова [10]. Что касается точных результатов в этой тематике, то соответствующие исторические сведения можно найти в работе автора [1]. Ниже мы перечислим лишь те из них, которые имеют непосредственное отношение к теме исследований данной статьи. Хотя некоторые авторы приводимых ниже результатов применяли иные модули непрерывности, но при доказательстве они переходили к задачам, которые возникают и в данной работе. Учитывая это обстоятельство, мы сформулируем указанные результаты в обозначениях, принятых здесь.

Точную константу в неравенстве Джексона-Стечкина (1.12) в пространстве $L^{2}_{-1/2,-1/2}$ нашел Н.И.Черных в 1967 году [13]

$${\cal K}_n^{-1/2,-1/2}(\tau,r)=\sqrt{\frac{2^r}{{{2r}\choose... ...quad \tau\geq \frac{2\pi}{n},\quad n>r,\quad r=2,3, \ldots\, .$$ (1.14)

Для случая $r=1$ он получил [14], [15] более тонкое утверждение относительно поведения величины ${\cal K}_n^{-1/2,-1/2}(\tau,1)$ по $\tau.$ Подробнее, Н.И.Черных нашел точку $\tau=\tau^{-1/2,-1/2}_{n}(1)=$ $=\pi/n,$ начиная с которой указанная величина выходит на свой глобальный минимум, равный единице

$${\cal K}_n^{-1/2,-1/2}(\tau,1)=1,\quad \tau\geq \frac{\pi}{n},\quad n=1,2,3, \ldots\, ;$$ (1.15)

$${\cal K}_n^{-1/2,-1/2}(\tau,1)>1,\quad 0<\tau<\frac{\pi}{n},\quad n=1,2,3, \ldots\, .$$ (1.16)

Положим

$${\cal K}_n^{\alpha,\beta}(r)= \min_{\tau>0} {\cal K}_n^{\alpha,\beta}(\tau,r).$$ (1.17)

Используя определение (1.13) и свойство (1.11), легко заметить, что

$${\cal K}_n^{\alpha,\beta}(r)={\cal K}_n^{\alpha,\beta}(\pi,r) ={\cal K}_n^{\alpha,\beta}(\tau,r),\quad \tau \ge \pi.$$ (1.18)

Сейчас естественно ввести следующее

Определение 1.1   Точкой Черныха в неравенстве Джексона-Стечкина (1.12) в пространстве $L^{2}_{\alpha,\beta}$ называется точная нижняя грань положительных значений $\tau>0,$ для которых величина ${\cal K}_n^{\alpha,\beta}(\tau,r)$ (как функция переменной $\tau$ ) принимает свое минимальное значение ${\cal K}_n^{\alpha,\beta}(r)$

$$\tau^{\alpha,\beta}_{n}(r)=\inf \{\tau>0 : \ {\cal K}_n^{\alpha,\beta}(\tau,r)={\cal K}_n^{\alpha,\beta}(r)\}.$$ (1.19)

Следующий существенный шаг в этом направлении был сделан В.А.Юдиным [16], который получил точное неравенство Джексона (с первым модулем непрерывности) в пространстве $L^2({\bf T}^m)$ функций на многомерном торе ${\bf T}^m,\ m\ge 2.$ Ряд точных неравенств Джексона-Стечкина между наилучшим среднеквадратичным приближением функции (одной или нескольких переменных) и значением ее $r$-го модуля непрерывности в одной точке был получен в работах [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [1], [25], [](Gorbachev), [27]. В частности, в работе автора [1, теоремы 2.1, 2.2, замечания 2.1 - 2.5] содержится результат (см. теорему 1.1 ниже), относящийся к ультрасферическому случаю задачи (1.13) о точной константе в неравенстве Джексона-Стечкина (1.12) в пространстве $L^{2}_{\alpha,\alpha},\ \alpha \ge -1/2,$ который тесно связан с аналогичной задачей в пространстве $L^2({\bf S}^{m-1})$ функций на единичной сфере ${\bf S}^{m-1}$ вещественного евклидова пространства ${\bf R}^m$ размерности $m\ge 2.$

При $\alpha>-1,\ \beta>-1,\ n \in {\bf N}$ обозначим через $x^{\alpha,\beta}_{n}$ первый положительный нуль косинус-полинома Якоби $\phi_{n}^{\alpha,\beta}$ (см. (1.1))

$$x^{\alpha,\beta}_{n}= \min \{x>0:\ \phi_{n}^{\alpha,\beta}(x)=0\}.$$ (1.20)

Теорема 1.1   Пусть $n=1,2, \ldots .$ Тогда выполняются следующие утверждения

(A)

при $\alpha \geq -1/2$ для каждой функции $F\in L^2_{\alpha,\alpha},\ F\not \equiv {\rm const}$ справедливы неравенства

$$E_{n-1} (F) < \omega_r (F, 2x_{n}^{\alpha,\alpha}),\quad r\geq 1,$$ (1.21)

$$E_{n-1}(F)<2^{(1-r)/2}\omega_r(F,2x_{n}^{\alpha,\alpha}),\quad 0<r<1;$$ (1.22)

(B)

при $\alpha>-1/2$ для любого $\tau \in (0, \pi)$ существует последовательность функций $G_k,$ $k=1,2,\ldots,$ из $L^2_{\alpha,\alpha},$ такая, что

$$\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{E_{n-1} (G_k)} {\omega_r(G_k, \tau)} \geq 1,\ \ \ r>0.$$

(C)

при $\alpha>-1/2$ существует последовательность функций $G_k,\ k=1,2,\ldots,$ из $L^2_{\alpha,\alpha},$ такая, что

$$\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{E_{n-1}(G_k)}{\omega_r(G_k,\pi)} \ge 1, \quad 0<r\le 1.$$

Замечание 1.1.

1) Пункт (B) теоремы 1.1 принадлежит В.В.Арестову, который на самом деле установил более общее утверждение [24, теорема 1], [1, лемма 4.2].

2) Для $\alpha=-1/2,\ r=1$ утверждения теоремы 1.1 получены Н.И.Черных [14].

3) При $\alpha=-1/2,\ r > 1$ неравенство (1.21) доказано В.В.Шалаевым [22].

4) В случаях $\alpha=0, 1/2,\ n \geq 1, r \geq 1$ В.Ю.Попов получил неравенство [24, (6.4), (6.6)]

$$E_{n-1}(F) < \omega _r\left(F,\frac{2\pi}{n+1}\right),\quad F \in L^2, \quad F\not \equiv {\rm const},$$

которое при $\alpha=0,\ n=1,\ r\ge 1$ и $\alpha=1/2,\ n \geq 1,\ r \geq 1$ совпадает с неравенством (1.21), а при $\alpha=0,\ n \geq 2, r \geq 1$ неравенство (1.21) уточняет указанный результат В.Ю.Попова, т.к. $2x_{n}^{0,0} < 2\pi /(n+1)$ (см. [3, с.147, (6.6.4)]).

5) В силу известного свойства (1.9) модуля непрерывности первое неравенство в пункте (A) влечет второе. В работе [1] содержится также иное доказательство неравенства (1.22).

Замечание 1.2. Ниже (см. первое утверждение следствия 4.1) будет показано, что утверждение (B) теоремы 1.1 выполняется и при $\tau=\pi$ (а значит, и при любом $\tau > 0$).

Предложение 1.1   Если $\alpha \ge \beta > -1,\ \alpha \ge -1/2, \ r>0,\ n \in {\bf N},$ то с помощью функции $\phi_{n}^{\alpha,\beta}(x)$ легко показать (см. (1.10), (3.1)), что при $0<\tau<x_{n}^{\alpha,\beta}$ точная константа ${\cal K}={\cal K}_{n}^{\alpha,\beta}(\tau,r)$ в неравенстве (1.12) будет строго больше единицы

$${\cal K}_{n}^{\alpha,\beta}(\tau,r)>1, \quad 0<\tau<x_{n}^{\alpha,\beta}.$$

Теорема 1.1, замечание 1.2 и предложение 1.1 позволяют локализовать точку Черныха (1.19) в неравенстве Джексона-Стечкина (1.12) в пространстве $L^{2}_{\alpha,\alpha},$ при $\alpha > -1/2,\ r\ge 1.$

Следствие 1.1   Пусть $\alpha > -1/2.$ Тогда точная константа в неравенстве Джексона-Стечкина (1.12) в пространстве $L^{2}_{\alpha,\alpha}$ удовлетворяет соотношениям

$${\cal K}_{n}^{\alpha,\alpha}(\tau,r)>1, \quad 0<\tau<x_{n}^{\alpha,\alpha},\quad r>0,\quad n\in{\bf N};$$

$${\cal K}_{n}^{\alpha,\alpha}(\tau,r)=1, \quad \tau\ge 2x_{n}^{\alpha,\alpha},\quad r\ge 1,\quad n\in{\bf N};$$

и потому имеют место оценки

$$x_{n}^{\alpha,\alpha} \le \tau_{n}^{\alpha,\alpha}(r) \le 2x_{n}^{\alpha,\alpha},\quad r\ge 1,\quad n\in{\bf N}.$$