5. Двойственная задача.

Большую роль при исследовании задачи (1.13) или эквивалентной ей задачи (3.3), (3.5) играет двойственная задача, которая для случая $\alpha=\beta=-1/2$, по существу, содержится и успешно применена в 1967 г. Н.И.Черных [14], [13]. Соотношение двойственности для более общей, чем (3.3), задачи было явно сформулировано и обосновано в совместной работе В.В.Арестова и В.Ю.Попова [24, леммы 1,2], которое мы приведем (для задачи (3.3)) в форме, близкой к той, которую использовал автор в [20, теорема 1] в случае $\alpha=\beta=-1/2.$

Именно, пусть $\tau>0,\ V^+_0=V^+_0[0,\tau]$ - множество ограниченных, неубывающих на отрезке $[0,\tau]$ функций $\mu\not \equiv {\rm const},$ непрерывных в нуле $(\mu (0)=\mu (+0)).$ Такие функции $\mu\in V^+_0$ будем называть весами.

Лемма 5.1   Пусть выполнены условия

$$\alpha \ge \beta > -1,\quad \alpha \ge -1/2,\quad \tau>0,\quad r>0,\quad n\in{\bf N}.$$ (5.1)

Тогда для величины (3.3) имеет место равенство

$$K^{\alpha,\beta}_{n}(\tau,r)=\min \left\{ \frac{\mu(\tau)-\m... ...tau}} \{1-\phi_k(t)\}^r d\mu (t)}: \ \mu\in V^+_0 \right\} \ .$$ (5.2)

Из этой леммы следует, что каждый вес $\mu \in V_0^+$ дает для величины (3.3), а следовательно (см. (3.4)), и для искомой величины (1.13), оценки сверху

$$K^{\alpha,\beta}_{n}(\tau,r) \le \Phi(\mu),\quad {\cal K}^{\alpha,\beta}_{n}(\tau,r) \le \sqrt{\Phi(\mu)},$$ (5.3)

где функционал $\Phi(\mu) = \Phi_n^{\alpha,\beta}(\mu,\tau,r)$ задается формулой

$$\Phi(\mu) = \frac{\mu(\tau) - \mu(0)} {\inf\limits_{k \ge n}{\displaystyle{\int_{0}^{\tau}}\{1-\phi_k(t)\}^r}d\mu(t)}.$$ (5.4)

Ниже (в пункте 6) при

$$\alpha > \beta > -\frac12,\quad n \ge \max\left\{2, 1+\frac{\alpha-\beta}{2}\right\},\quad \tau = 2x_n^{\alpha,\beta}$$ (5.5)

будет построен вес $\mu = \mu_{\tau} \in V_0^+[0,\tau]$, на котором значение функционала (5.4) равно единице $\Phi(\mu_{\tau}) = 1$. И, значит, (см. (5.3)) в этом случае мы получим оценку сверху для величины (1.13), совпадающую с оценкой снизу (3.6), т.е. найдем величину ${\cal K}^{\alpha,\beta}_{n}(\tau,r) = 1$ при выполнении условий (5.5). Для построения указанного веса нам понадобятся некоторые известные свойства обобщенного сдвига, вытекающие из его интегрального представления, которое, в свою очередь, следует из формулы умножения для полиномов Якоби $\phi_k^{\alpha,\beta}$ при $\alpha>\beta>-1/2$, установленной Дж. Гаспером [35], [36], а затем доказанной в другой эквивалентной форме Т. Курнвиндером [37], [38] (см. также [39, (4.2), (5.4), (5.5)]). При этом, как отмечается в [37], в случае $\alpha>\beta=0$ формула сложения (и, как следствие, формула умножения) для полиномов Якоби получена ранее Р.Л.Шапиро [40].