Вычисление значения s₄(24).

Определим многочлен

h(z) = 6068404224 z²⁴ - 5559746560 z²³ - 32435331072 z²² + 30162632704 z²¹ +

+ 76657888256 z²⁰ - 69950994432 z¹⁹ - 105547058176 z¹⁸ + 90905438208 z¹⁷ +

+ 93805633312 z¹⁶ - 72899067584 z¹⁵ - 56276296952 z¹⁴ + 37463407248 z¹³ +

+ 23144486195 z¹² - 12425086062 z¹¹ - 6505367271 z¹⁰ + 2613609108 z⁹ +

+ 1227229561 z⁸ - 331172622 z⁷ - 149222121 z⁶ + 22205608 z⁵ +

+ 10721860 z⁴ - 490544 z³ - 368104 z² - 10880 z + 2432. (3.1)

По выше примененной схеме можно доказать следующее утверждение.

Теорема 3.1   На полуинтервале [- 1, 1) уравнение w₄(s) = 24 имеет единственное решение: s = x₁₂, где x₁₂ = 0.4785451836... есть двенадцатый (по возрастанию) вещественный корень полинома (3.1).

Обоснование этой теоремы базируется на приводимых ниже трех утверждениях. В формулировке этих утверждений используются обозначения

d = x₁₂ = 0.4785451836...

есть двенадцатый (по возрастанию) вещественный корень полинома h, заданного формулой (3.1);

u = - 1.5458619083...

есть единственный вещественный корень многочлена

$$\left(\vphantom{ 3040\,{d}^{5}+2304\,{d}^{4}-1264\,{d}^{3}-832\,{d}^{2}+144\,d+64 }\right. \left.\vphantom{ 3040\,{d}^{5}+2304\,{d}^{4}-1264\,{d}^{3}-832\,{d}^{2}+144\,d+64 }\right)$$ G(z) =

$$\left(\vphantom{ 3040\,{d}^{6}+2784\,{d}^{5}-416\,{d}^{4}-720\,{d}^{3}-120\,{d}^{2}+32\,d+8 }\right. \left.\vphantom{ 3040\,{d}^{6}+2784\,{d}^{5}-416\,{d}^{4}-720\,{d}^{3}-120\,{d}^{2}+32\,d+8 }\right)$$ +

$$\left(\vphantom{ 3040\,{d}^{7}+2304\,{d}^{6}-4184\,{d}^{5}-2464\,{d}^{4}+1732\,{d}^{3}+ 704\,{d}^{2}-204\,d-64 }\right. \left.\vphantom{ 3040\,{d}^{7}+2304\,{d}^{6}-4184\,{d}^{5}-2464\,{d}^{4}+1732\,{d}^{3}+ 704\,{d}^{2}-204\,d-64 }\right)$$ +

+ 1824 d⁷ + 288 d⁶ - 2856 d⁵ - 753 d⁴ + 1050 d³ + 255 d² - 108 d - 24;

v = $${\frac{6\,d-3+15\,{d}^{2}+7\,du-u+6\,{d}^{2}u}{2(4-19\,{d}^{2}-3\,d)}}$$ = 0.6856630844... ;

w = $${\frac{du+v-u-d-3\,dv}{3-7\,d}}$$ = - 0.082479688... ;

q = $${\frac{8\,vu+16\,d{u}^{2}+8\,{d}^{2}u+d+2\,u+8\,{u}^{3}-8\,w}{8\,du-8 \,v+12\,{u}^{2}+4\,{d}^{2}-7}}$$ = - 2.1915353439... ;

r = {14 + 30 v + 16 v² - 16 wu - 13 u² + 8 duv + 4 u⁴ + 8 du³ + 12 d²u² - 8 vd² -

- 8 dw + 2 du - 7 d²}/{8 du - 8 v + 12 u² + 4 d² - 7} = 1.4453876673... ;

и наконец

a = - 0.8602964888... ,    b = - 0.4898419662... ,    c = - 0.1957234532...

есть корни многочлена z³ - uz² + vz - w.

Теорема 3.2   Функция

$$\left(\vphantom{t-d}\right. \left.\vphantom{t-d}\right) \left(\vphantom{{t}^{3}-u{t}^{2}+vt-w}\right. \left.\vphantom{{t}^{3}-u{t}^{2}+vt-w}\right)^{2}_{} \left(\vphantom{{t}^{ 2}+qt+r}\right. \left.\vphantom{{t}^{ 2}+qt+r}\right)$$ (3.2)

принадлежит множеству $\cal {F}$₄(d ) и является единственной (с точностью до положительного постоянного множителя) экстремальной функцией (решением) задачи (1.7) при m = 4,    s = d; помимо того, справедливы равенства

w₄(d )= $${\frac{f^*(1)}{f_0^*}}$$ = 24.

При доказательстве этой теоремы используются следующие два утверждения.

Лемма 3.1   Функция f^*, определенная формулой (3.2), принадлежит множеству $\cal {F}$₄(d ). Точнее, функция f^* имеет неотрицательные коэффициенты в ее разложении f^*(t) = $$\sum_{k=0}^{9}$$f_k^*R_k(t) по многочленам Чебышева второго рода, причем,

f^*_k > 0    при    0$$\le$$k$$\le$$9, k $$\not=$$6, 7;    f^*₆ = f^*₇ = 0.

Кроме того,      f^*(t)$\le$0    при    t $\in$ [- 1, d],    f^*(t) > 0    при    t $\in$ (d, 1].

Лемма 3.2   Для каждой функции f (t) = $$\sum_{k=0}^{\infty}$$f_kR_k(t) $$\in$$ $$\Phi_{4}^{}$$ имеет место квадратурная формула

f₀ = $${\frac{2}{\pi}}$$$$\int_{-1}^{1}$$f (t)$$\sqrt{1-t^2}$$dt = L(f )- $$\sum_{\nu\ge 1}^{}$$L(R_$\nu$)f_$\nu$,

в которой L есть функционал

L(f )= $${\textstyle\frac{1}{24}}$$f (1) + $$\lambda$$(a)f (a) + $$\lambda$$(b)f (b) + $$\lambda$$(c)f (c) + $$\lambda$$(d )f (d )

с коэффициентами

$$\lambda$$(a) = $$\Lambda$$(a, b, c, d )= 0.0996029075... ,    $$\lambda$$(b) = $$\Lambda$$(b, c, d, a) = 0.1465314359... ,

$$\lambda$$(c) = $$\Lambda$$(c, d, a, b) = 0.3337257176... ,    $$\lambda$$(d )= $$\Lambda$$(d, a, b, c) = 0.3784732721... ,

где функция $\Lambda$ определена формулой (2.19). Кроме того, функционал L обладает свойствами

L(1) = 1;    L(R_$\nu$) = 0    при    $$\nu$$ = 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9;

L(R_$\nu$) > 0    при    $$\nu$$$$\ge$$6,   $$\nu$$ $$\not=$$8, 9.