2. Редукция к одномерной задаче для функций Бесселя.

Функция Бесселя индекса определяется так (см. стр. 51, формула (8) в [25], стр. 12, формула (2) в [26])

Нормированной функцией Бесселя индекса называется функция

Как известно (см. [25]; § 7.3, стр. 23, формула (4) и § 7.13, стр. 98, формула (3) в [26]), она обладает следующими свойствами



Приведем два важных примера таких функций

С помощью формулы Планшереля (2) нетрудно убедится, что величина наилучшего приближения функции классом выражается через преобразование Фурье функции f формулой

Зафиксируем произвольный вектор и положим Известно (см. гл. 4, стр. 72, формулы (4.1)-(4.4) в [11]), что оператор сферического сдвига с шагом (см. (3)) действует на функцию следующим образом



На последнем шаге в (24) мы воспользовались известными соотношениями для усреднения экспоненты по сфере (см. [11, гл. 1, стр. 15-16,], [16], [27, гл. 3, § 8,], [13]). Таким образом, для функции имеем, окончательно, формулу

Применив k раз к обеим частям равенства (1) оператор сферического сдвига и воспользовавшись соотношением (25), получим

Это соотношение в силу свойства (21), влечет равенство единице нормы оператора (как оператора из в ) при любых в частности (при k=1) имеем

Исходя из определения (4) разностного оператора, с помощью формулы (26) получим представление

для любых Отсюда в силу формулы Планшереля следует, что

Формулы (29) и (23) сводят многомерную задачу (6) к одномерной экстремальной задаче о точной константе в неравенстве

при на множестве всех неотрицательных функций (верхняя грань по множеству в правой части (30) заменена на верхнюю грань по множеству исходя из свойства четности нормированной функции Бесселя ). Для точной константы в неравенстве (30) справедлива формула

где

есть множество функций ненулевых, неотрицательных и суммируемых на полуоси . При этом константы (6) и (31) связаны соотношением

для

Убедимся, что величина не зависит от В интегралах, участвующих в (31), произведем замену переменных В результате получим



Для функции рассмотрим функцию ясно, что Построенное отображение осуществляет взаимно однозначное соответствие между множествами и Поэтому имеем

здесь была введена новая переменная Таким образом, принимая во внимание равенство (32), получаем, что при выполняются равенства