3. Неравенство Джексона - Стечкина в ,

К задаче (31) приводит также вопрос о точном неравенстве Джексона - Стечкина в пространстве вещественных функций на полуоси со следующим скалярным произведением и нормой

Для функций из нам понадобятся известные (см. [28, стр. 112, 113,], комментарии Н.И.Ахиезера к книге [29], стр. 211, 212, формулы (1), (2)) формулы разложения в интеграл Фурье - Ганкеля по нормированным функциям Бесселя

где есть преобразование Ганкеля функции т.е.

В случае преобразование Ганкеля переходит в обычное косинус-преобразование Фурье, т.е. для справедливы формулы

Для определим класс функций у которых преобразование Ганкеля сосредоточено на отрезке т.е.

В пространстве имеет место следующее равенство Парсеваля

Из этого равенства следует, что для величины

наилучшего приближения функции классом справедлива формула

Рассмотрим оператор сдвига с шагом действующий на функции по правилу

где Зафиксируем и рассмотрим действие этого оператора на функцию В 1875 году Л.Гегенбауэр (см. [25, стр. 400,]) доказал важное тождество, именуемое формулой умножения

т.е.

В случае формула (41) переходит в хорошо известную формулу из тригонометрии

Свойства оператора сдвига (40) исследовал Б.М.Левитан, который, в частности, доказал [28, стр. 125,] его самосопряженность, при этом существенную роль сыграла формула умножения (41).

Лемма А ([28]). Для любых функций F, G из пространства справедливо следующее равенство

Применяя равенства (37), (41), а также соображения п.1 выше, определим оператор конечной разности порядка r>0 с шагом

где I - тождественный оператор и . Соответствующий модуль непрерывности порядка r>0 функции есть

Применяя формулу умножения (41) и равенство Парсеваля (38) для преобразования Ганкеля, приходим к соотношению

Отсюда и соотношения (39) видно, что при величина

являющаяся точной константой в неравенстве Джексона - Стечкина в пространстве 

удовлетворяет равенству

Следовательно (см. (32)), при имеем