1.

Пусть $C=C[a,b]$ есть (банахово) пространство непрерывных (вещественных) функций на отрезке $[a,b]$ с нормой $\Vert f\Vert _C=\max\{\vert f(t)\vert:t\in [a,b]\},$ а $l=l_1$ - (банахово) пространство суммируемых последовательностей $x=\{x_k\}_{k=1}^{\infty}$ вещественных чисел с нормой $\Vert x\Vert _l=\sum_{k=1}^{\infty} \vert x_k\vert.$ Пусть ${\cal R}=\{R_k\}_{k=1}^{\infty}$ есть равномерно ограниченная последовательность непрерывных функций на $[a,b]$. Введем множество $G$ последовательностей $x=\{x_k\}_{k=1}^{\infty}\in l$ с неотрицательными элементами $x_k\ge 0, k\ge 1,$ таких, что функция

$$f(t)=f(t,x)=1+\sum_{k=1}^{\infty} x_k R_k(t)$$ (1.1)

является неположительной на $[a,b];$ будем предполагать, что множество $G$ непусто. Нас интересует задача исследования величины

$$u=\inf \left\{\sum_{k=1}^\infty x_k:\ x=\{x_k\}_{k=1}^{\infty}\in G\right\};$$ (1.2)

эту задачу мы будем называть в дальнейшем также задачей $(u).$ Запишем ее в несколько иной, более удобной для изучения, форме.

Обозначим через $C^+=C^+[a,b]$ конус неотрицательных функций в пространстве $C=C[a,b]$. Относительно функции $f\in С^+[a,b]$ будем писать, что $f\ge 0;$ если же $-f\in С^+[a,b],$ то будем писать, что $f\le 0.$ В пространстве $l=l_1$ выделим конус $l^+$ неотрицательных элементов, а точнее, элементов $x=\{x_k\}_{k=1}^{\infty},$ удовлетворяющих ограничению $x_k\ge 0, k\ge 1.$ Условимся писать $x\ge 0$ или $x\le 0,$ если соответственно $x\in l^+$ или $-x\in l^+.$ Пусть $A: l \to C$ есть линейный оператор, определенный формулой

$$(Ax)(t)= \sum_{k=1}^\infty x_k R_k(t).$$ (1.3)

Задачу $(u)$ можно переписать в следующем виде

$$u=\inf \left\{\sum_{k=1}^\infty x_k:\ x\ge 0, Ax+1\le 0\right\}.$$ (1.4)

Видно, что это есть задача (бесконечномерного) линейного программирования (см., например, монографию [14]).

Выпишем для $(u)$ двойственную задачу. Сопряженное для $C[a,b]$ пространство $C^*=C^*[a,b]$ непрерывных линейных функционалов на $C[a,b]$ можно отождествить с пространством $V=V[a,b]$ функций ограниченной вариации на $[a,b],$ и при этом непрерывный линейный функционал на $C[a,b]$ определяется функцией $\mu \in V$ с помощью интеграла Римана-Стильтьеса по формуле

$$(\mu,f)=\int _a^b f(t)d\mu (t).$$ (1.5)

Сопряженным пространством $l^*$ для пространства $l=l_1$ суммируемых последовательностей является пространство $l_{\infty}$ ограниченных последовательностей $y=\{y_k\}_{k=1}^{\infty},$ и непрерывный линейный функционал на $l$ определяется элементом $y\in l_{\infty}$ по формуле

$$(y,x)=\sum_{k=1}^\infty x_k y_k.$$

Оператор $A,$ определенный формулой (1.3), является линейным ограниченным оператором из $l$ в $C.$ Сопряженный ему оператор $A^*$ является линейным ограниченным оператором из $V=C^*$ в $l_{\infty}=l^*;$ он определяется из соотношения

$$(\mu,Ax)=(A^*\mu,x),\quad \mu \in V, x\in l.$$

Нетрудно видеть, что этот оператор на функциях $\mu \in V$ задается формулой

$$A^*\mu=\{\mu _k\}_{k=1}^{\infty},$$

где

$$\mu _k=\int _a^b R_k(t)d\mu (t), k\ge 1.$$ (1.6)

Кроме того, определим величину $\mu_0$ следующим образом

$$\mu_0=\int _a^b 1d\mu(t).$$

Пусть $V^+=V^+[a,b]$ есть конус в $V$, сопряженный конусу $C^+,$ образованный элементами $\mu \in V,$ удовлетворяющими условию $(\mu,f)\ge 0$ для любой функции $f\in C^+.$ Нетрудно понять, что $V^+$ состоит из неубывающих на отрезке $[a,b]$ функций. Функцию $\mu \in V^+[a,b]$ мы будем называть иногда в дальнейшем мерой (на $[a,b]$). Множество $l^+_{\infty},$ состоящее из последовательностей $y=\{y_k\}_{k=1}^{\infty}\in l_{\infty}$ с неотрицательными координатами $y_k$ является конусом в $l_{\infty}$, сопряженным конусу $l^+.$ Если $y\in l^+_\infty$ или $-y\in l^+_\infty,$ то будем соответственно писать $y\ge 0$ и $y\le 0.$

Положим

$$v=\sup \left\{\mu _0: \mu \in V^+,\ A^*\mu +e\ge 0\right\},$$ (1.7)

где $e=\{1\}_{k=1}^\infty$ есть последовательность из $l_\infty$, каждый элемент которой равен 1; в дальнейшем последовательность $e$ будет обозначаться символом 1. Задачу исследования величины (1.7) будем называть также задачей $(v).$ Это есть классическая двойственная задача для задачи $(u)$ (см., например, [14, гл.2, п.2.3]).

Исходя из дальнейших применений взаимосвязи прямой и двойственной задач, приведем схему возникновения двойственной задачи $(v).$

Лемма 1.1   Если допустимое множество $G$ задачи $(u)$ непусто, то

1) для любой функции $\mu\in V^+, \mu \ne {\rm const},$ величина

$$\mu_\infty=\inf\{\mu_k, k\ge 1\}$$ (1.8)

отрицательная: $\mu_\infty<0,$

2) для (1.7) имеет место представление

$$v=\sup \left\{\frac{\mu _0}{-\mu_\infty}: \mu \in V^+, \mu\ne{\rm const}\right\}.$$ (1.9)

Доказательство. Для функции $\mu \in V^+$ и последовательности $x\in G,$ то есть последовательности $x=\{x_k\}_{k=1}^\infty$ из конуса $l^+,$ для которой функция $f,$ определенная формулой (1.1), неположительна на отрезке $[a,b],$ будем иметь следующие соотношения

$$0\ge (\mu,f)=\int _a^b f(t)d\mu (t)= \mu _0+ \sum_{k=1}^\infty \mu _kx_k,$$ (1.10)

$$\mu_0=\int _a^b 1d\mu (t)=\mu (b)-\mu (a).$$

Из (1.10) следует неравенство

$$0\ge \mu _0+ \mu _{\infty} \sum_{k=1}^\infty x_k;$$ (1.11)

напомним, что величина $\mu _{\infty}$ определена в (1.8).

Если $\mu={\rm const},$ то последнее неравенство превращается в бессодержательное равенство $0=0.$ Допустим, что $\mu\in V^+, \mu \ne {\rm const},$ и, значит, $\mu_0>0.$ Любой элемент $x=\{x_k\}_{k=1}^\infty \in G,$ очевидно, ненулевой, и потому для него $\sum_{k=1}^\infty x_k>0.$ В силу этого из (1.11) следует, что $\mu_\infty<0.$ Неравенство (1.11) можно переписать теперь в виде

$$\sum_{k=1}^\infty x_k\ge \frac{\mu_0}{-\mu_{\infty}},$$ (1.12)

а это влечет оценку

$$u\ge v,$$ (1.13)

в которой величина $v$ определена, пока, соотношением (1.9).

Убедимся, что для величины $v$ имеет место также формула (1.7). Действительно, в (1.9), очевидно, можно ограничиться функциями $\mu \in V^+$ с $\mu_\infty=-1,$ т.е. $v=\sup \left\{\mu _0: \mu \in V^+, \mu_\infty =-1\right \}.$ Допустим, что функция $\mu\in V^+, \mu \ne {\rm const},$ такова, что $\mu_\infty>-1$ (напомним, что при этом $\mu_\infty<0$). Тогда функция $\lambda=(-\mu_\infty)^{-1}{\mu}$ принадлежит множеству $V^+$ и для нее $\lambda_\infty=-1, \lambda_0>\mu_0.$ Поэтому для $v$ имеет место формула

$$v=\sup \left\{\mu _0: \mu \in V^+, \mu_\infty\ge-1\right \},$$ (1.14)

совпадающая, очевидно, с (1.7). Лемма доказана.

Замечание 1.1 Из приведенных только что рассуждений видно, что если на функции $\mu \in V^+$ достигается верхняя грань в (1.7) или, то же самое, в (1.14) (т.е. если $\mu$ есть решение этих задач), то $\mu_\infty=-1.$

Следующее утверждение, как мы увидим, вытекает из общих фактов теории двойственности задач (бесконечномерного) линейного программирования.

Теорема 1.1   Предположим, что допустимое множество $G$ задачи $(u)$ непусто. Тогда

1) задачи $(u)$ и $(v)$ связаны соотношением двойственности

$$u= v;$$ (1.15)

2) каждая из задач $(u)$ и $(v)$ имеет решение, т.е. существуют последовательность $x\in G$ и функция $\mu\in V^+, \mu \ne {\rm const},$ на которых в (1.4) и (1.9) достигаются соответственно нижняя и верхняя грани;

3) последовательность $x=\{x_k\}_{k=1}^{\infty}\in G$ и функция $\mu\in V^+,$ являются решениями соответственно задач (1.4) и (1.9) в том и только том случае, если они обладают следующими свойствами:

$$(\mu,f)=\int _a^b f(t)d\mu (t)=0,\quad \mbox{где}\quad f(t)=1+\sum_{k=1}^{\infty} x_k R_k(t),$$

и если номер $k\ge 1$ таков, что

$$\mu_k=\int _a^b R_k(t)d\mu (t)> \mu_\infty=\min\{\mu_k: k\ge 1\},$$

то $x_k=0.$

Доказательство теоремы будет проведено с использованием результатов, приведенных во второй и третьей главах монографии [14], причем формально эти результаты следует применять не к задачам $(u), (v),$ а к эквивалентным им задачам

$$-u =\sup\left\{-\sum_{k=1}^\infty x_k:\ x\ge 0, Ax+1\le 0\right\},$$

$$-v=\inf\left\{-\mu _0: \mu \in V^+, A^*\mu + {\bf 1}\ge 0\right\}.$$

Для $\varepsilon>0$ рассмотрим задачу

$$u(\varepsilon)= \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty x_k:\ x\ge 0, Ax+1\le\varepsilon\right\},$$

являющуюся $\varepsilon$-расширением задачи $(u).$ Легко убедиться, что если $0<\varepsilon<1,$ то $u(\varepsilon)=(1-\varepsilon)u,$ а потому величина $\overline u= \lim\limits_{\varepsilon\to+0} u(\varepsilon)$ совпадает с $u;$ этот факт означает, что исходная задача $(u)$ корректна. Отсюда (см. теорему 1.1 главы 3 книги [14]) следует равенство (1.15).

Пространство $l$ является сопряженным для банахова пространства $c_0$ сходящихся к нулю последовательностей $y=\{y_k\}_{k=1}^\infty$ вещественных чисел с нормой $\Vert y\Vert _{c_0}=\max\{\vert y_k\vert: k\ge 1\}.$ Конус $l^+$ является слабо$^*$ замкнутым множеством (т.е. замкнутым в топологии $\sigma(l,c_0)$ в стандартных обозначениях [15] и [16]) в пространстве $l.$ К задаче $(u)$ применима лемма 1.3 главы 3 из [14]. В силу этой леммы задача (1.4) имеет решение $x\in G.$

Допустим, что элемент $x=\{x_k\}_{k=1}^\infty$ принадлежит множеству $G,$ т.е. удовлетворяет ограничениям задачи (1.4). При любом $\varepsilon>1$ имеем

$$1+\sum_{k=1}^\infty \varepsilon x_k R_k(t) \le 1-\varepsilon,\quad t\in[a,b].$$

Следовательно, точка $\varepsilon x$ обладает тем свойством, что функция $g=-1-A(\varepsilon x)$ является внутренней точкой конуса $C^+.$ Таким образом, для задачи (1.4) выполняется условие Слейтера (см., например, [14, гл.3, §2]). Отсюда следует (см. теорему 2.1 и следствие 2.1 гл.3 из [14]), что существует функция $\mu,$ на которой в (1.7) достигается верхняя грань. Для этой функции, как мы видели выше (см. замечание 1.1), имеет место равенство $\mu_\infty=-1.$ Поэтому на функции $\mu$ достигается верхняя грань также и в (1.9).

Пусть элементы $x\in G$ и $\mu\in V^+, \mu \ne {\rm const},$ являются решениями задач (1.4) и (1.9) соответственно. На этих элементах неравенство (1.13) обращается в равенство. Из доказательства (1.13) легко сделать вывод, что эти $x$ и $\mu$ обладают свойствами, указанными в третьем утверждении теоремы. В частности, найдется номер $k^*\ge 1,$ на котором достигается минимум: $\mu_{k^*}=\min\{\mu_k: k\ge 1\}=\mu_\infty.$ Обратно, если пара $x\in G$ и $\mu\in V^+, \mu \ne {\rm const},$ обладает указанными в теореме свойствами, то на ней неравенство (1.13) обращается в равенство. В этом случае имеем

$$\sum_{k=1}^\infty x_k=u=v= \frac{\mu_0}{-\mu_{\infty}},$$

и, следовательно, последовательность $x$ и функция $\mu$ являются решениями задач (1.4) и (1.9) соответственно. Теорема доказана.

Меру $\mu=\mu^*\in V^+,$ являющуюся решением двойственной задачи $(v)$ и одновременно функцию

$$f(t)=f^*(t)=1+\sum_{k=1}^\infty x_k R_k(t) \in F,$$ (1.16)

являющуюся решением прямой задачи $(u)$ можно охарактеризовать в терминах "квадратурной формулы" с определенными экстремальными свойствами на классе $\Phi$ функций $\varphi\in C[a,b],$ представимых рядами

$$\varphi(t)=\varphi_0+\sum_{k=1}^\infty \varphi_k R_k(t)$$

с суммируемой последовательностью $\{\varphi_k\}_{k=0}^\infty$ вещественных (необязательно неотрицательных) коэффициентов: $\sum_{k=0}^\infty \vert\varphi_k\vert<\infty;$ эта характеризация, по существу, будет означать хорошо известный факт, что экстремальная пара $f\in F, \mu\in V^+$ характеризуется тем, что она является седловой точкой соответствующей функции Лагранжа.

Следствие 1.1   В предположении, что допустимое множество $G$ задачи $(u)$ непусто, справедливы следующие утверждения.

I. Если мера $\mu\in V^+, \mu \ne {\rm const},$ является решением задачи (1.9), то на множестве функций $\varphi\in {\Phi}$ имеет место формула

$$\varphi_0=\Omega\int _a^b \varphi(t)d\mu (t) +\Gamma\sum_{k=... ...k- \sum_{k=1}^\infty\gamma_k\varphi_k,\quad \varphi\in {\Phi},$$ (1.17)

с коэффициентами

$$\Omega=\frac{1}{\mu_0}>0,\quad \Gamma=\frac{1}{u}>0,\quad \gamma_k=\frac{\mu_k-\mu_\infty}{\mu _0}\ge 0\quad (k\ge 1),$$ (1.18)

и при этом для экстремальной функции (1.16) задачи (1.2) выполняются условия

$$\int_a^b f(t) d\mu(t)=0,$$ (1.19)

$$x_k=0,\quad \mbox{если }\quad \gamma_ k>0, k\ge 1.$$ (1.20)

II. Обратно, если мера $\mu\in V^+, \mu \ne {\rm const},$ такова, что на классе функций $\varphi\in {\Phi}$ имеет место формула (1.17) с неотрицательными коэффициентами $\Omega, \Gamma, \gamma_k (k\ge 1),$ и, кроме того, существует функция $f\in F,$ разложение (1.16) которой обладает свойствами (1.19) - (1.20), то

$1)$ мера $\mu$ является решением двойственной задачи (1.9),

$2)$ для коэффициентов $\Omega, \Gamma, \gamma_k (k\ge 1)$ формулы (1.17) выполняются соотношения (1.18),

3) функция $f$ является решением прямой задачи (1.2).

Доказательство. Для любой пары функций $\varphi\in \Phi, \mu \in V$ имеем

$$(\mu,\varphi)=\int _a^b \varphi(t)d\mu (t)= \sum_{k=0}^\inft... ...\infty\varphi_k+ \sum_{k=1}^\infty(\mu_k-\mu_\infty)\varphi_k,$$ (1.21)

где $\mu_\infty=\inf\left\{\mu_k: k\ge 1\right\}.$ Отсюда следует, что каждая мера $\mu\in V^+, \mu \ne {\rm const},$ порождает на множестве функций $\varphi\in {\Phi}$ формулу

$$\varphi_0=\frac{1}{\mu _0}\int _a^b \varphi(t)d\mu (t) -\fra... ..._k- \sum_{k=1}^\infty\frac{\mu_k-\mu_\infty}{\mu _0}\varphi_k.$$ (1.22)

Если мера $\mu=\mu^* \in V^+, \mu\ne {\rm const},$ является решением задачи (1.9), то формула (1.22) принимает вид (1.17) - (1.18). Свойства (1.19) - (1.20) экстремальной функции $f\in F$ содержатся в третьем утверждении теоремы 1.1.

Докажем обратное утверждение. Итак, допустим, что для функций $\varphi\in \Phi$ имеет место формула (1.17) с неотрицательными коэффициентами. Если $\varphi\in {\cal F},$ то в формуле (1.17)

$$\int_a^b \varphi(t) d\mu(t)\le 0,\quad \sum_{k=1}^\infty\gamma_k\varphi_k\ge 0,$$

и, как следствие, справедливо неравенство

$$\varphi_0\le \Gamma\sum_{k=1}^\infty\varphi_k.$$

Отсюда вытекает, что $\Gamma > 0,$ и для любой функции $\varphi\in {\cal F}$ имеет место оценка

$$\frac{1}{\varphi_0}\sum_{k=1}^\infty\varphi_k\ge \frac{1}{\Gamma}.$$

На функции $f\in F$ со свойствами (1.19) - (1.20) последняя оценка достигается. Поэтому имеют место равенства

$$\inf\left\{\frac{1}{\varphi_0}\sum_{k=1}^\infty\varphi_k: \... ...\in {\cal F}\right\}=\frac{1}{\Gamma}=u=\sum_{k=1}^\infty x_k;$$

последнее равенство означает, что функция $f$ является экстремальной в задаче (1.2). Подставив в формулу (1.17) функцию $\varphi(t)\equiv 1\in \Phi,$ получаем соотношение $1=\Omega\mu_0$ или, то же самое, $\Omega=\frac{1}{\mu_0}.$ Взяв теперь в формуле (1.17) функцию $\varphi(t)=R_k(t), k\ge 1,$ получаем соотношение

$$0=\frac{\mu_k}{\mu_0}+\Gamma-\gamma_k$$ (1.23)

или $-\frac{\mu_k}{\mu_0}=\Gamma-\gamma_k.$ Поскольку по предположению $\gamma_k\ge 0,$ то имеем оценку $-\frac{\mu_k}{\mu_0}\le \Gamma$ и, как следствие, оценку $-\frac{\mu_\infty}{\mu_0}\le \Gamma.$ Эту оценку можно записать в виде $\frac{\mu_0}{-\mu_\infty}\ge \frac{1}{\Gamma}=u.$ Отсюда, в силу определения (1.9) величины $v$ и первого утверждения теоремы 1.1, следует, что $\frac{\mu_0}{-\mu_\infty}=v,$ и, таким образом, мера $\mu$ является экстремальной в задаче (1.9). Соотношение (1.23) влечет также третье соотношение в (1.18). Все утверждения следствия 1.1 доказаны.

Следствие 1.2   Допустим, что функции $R_k$ последовательности ${\cal R}=\{R_k\}^\infty_{k=1}\subset C[a,b]$ равномерно ограничены и $($поточечно$)$ сходятся к нулю на отрезке $[a,b].$ Тогда решение $x=\{x_k\}^\infty _{k=1}$ задач (1.2), (1.4) содержит лишь конечное число отличных от нуля элементов $x_k,$ и, значит, соответствующая функция $f(t)=1+\sum_{k=1}^{\infty} x_k R_k(t)$ также содержит лишь конечное число слагаемых.

Если последовательность функций $R_k$ равномерно сходится к нулю на отрезке $[a,b],$ и число $K$ выбрано так, чтобы при $k\ge K$ выполнялось неравенство

$$\rho_k=\Vert R_k\Vert _{C[a,b]}<\frac{1}{u},$$ (1.24)

где $u$ есть значение задачи (1.4), то $x_k=0$ для номеров $k\ge K,$ и, значит, соответствующая функция $f$ будет содержать не более, чем $K$ слагаемых: $f(t)=1+\sum_{k=1}^{K} x_k R_k(t)$.

Доказательство. По предположению функции $R_k$ равномерно ограничены и всюду на отрезке $[a,b]$ сходятся к нулю. Отсюда, в силу теоремы Лебега о мажорантной сходимости (см., например, [17, гл.V, §5, п.4]), следует, что для любой функции $\mu \in V$ и, в частности, для функции $\mu,$ являющейся решением двойственной задачи (1.9), будет иметь место свойство $\mu_k\to 0, k\to\infty.$ Поскольку при этом $\mu_\infty=\min\{\mu_k: k\ge 1\}<0,$ то существует лишь конечное число номеров $k,$ таких, что $\mu_\infty=\mu_k.$ В силу третьего утверждения теоремы 1.1 это влечет первое утверждение следствия. Далее, для экстремальной меры $\mu \in V^+$ при любом $k$ имеем

$$\vert\mu_k\vert=\left\vert\int _a^b R_k(t)d\mu (t)\right\vert\le \rho_k \mu_0 =\rho_k u\vert\mu_\infty\vert.$$

Поэтому, если для номера $k$ выполняется условие (1.24), то для этого номера $\vert\mu_k\vert<\vert\mu_\infty\vert$ и, тем более, $\mu_k>\mu_\infty.$ Утверждение следствия доказано полностью.

Рассмотрим систему ${\cal R}={\cal R}^{\alpha,\beta}=\{R_k\}_{k=1}^\infty, \alpha>-1, \ \beta>-1,$ многочленов Якоби $R_k=R_k^{\alpha,\beta}$ порядка $k,$ ортогональных на отрезке $[-1,1]$ с весом $(1-t)^\alpha (1+t)^\beta$ и нормированных условием $R_k(1)=1.$ Соответствующая задача (1.2) для системы ${\cal R}$ на отрезке $[a,b]=[-1,s],$ где $-1<s<1,$ изучалась в работах [3], [6], [7] и в монографии [8, гл.9] в связи с исследованием верхних границ упаковок компактных римановых симметрических пространств ранга 1. Так в работе [3] доказано, что если пара индексов $\alpha, \beta$ такова, что произведение любых двух многочленов Якоби представимо в виде линейной комбинации многочленов Якоби с неотрицательными коэффициентами или, что то же самое,

$$\int_{-1}^1 R_k(t) R_l(t) R_n(t) (1-t)^\alpha (1+t)^\beta dt \ge 0 \quad \mbox{для всех натуральных} k, l, n,$$ (1.25)

то при любом $s\in(-1,1)$ допустимое множество $G=G^{\alpha,\beta}(s)$ задачи (1.2) (или, то же самое, соответствующее множество $F=F^{\alpha,\beta}(s)$ функций (1.1)) непусто. В частности, неравенство (1.25) выполняется [18] (см. также [19]) при $\alpha\ge\beta\ge -1/2.$ Известно (см. [20, с.175]), что при $\alpha>\beta\ge -1/2$ многочлены Якоби $R_k^{\alpha,\beta}$ равномерно сходятся к нулю на отрезке $[-1,s]$ для любого фиксированного $s\in(-1,1).$ Отсюда с помощью следствия 1.2 получаем такое утверждение.

Следствие 1.3   В случае

$${\cal R}={\cal R}^{\alpha,\beta}= \{R_k^{\alpha,\beta}\}_{k=1}^\infty, \quad \alpha>\beta\ge -\frac{1}{2},$$

в задаче (1.2) на отрезке $[-1,s], s\in(-1,1),$ экстремальная функция существует и является многочленом $($конечной степени$)$; существует также экстремальная мера $\mu=\mu^{\alpha,\beta}\in V^+[-1,s]$ в соответствующей двойственной задаче (1.9), и эта мера будет сосредоточена лишь в конечном числе точек.

Лемма 1.2   Допустим, что функции $R_k$ последовательности ${\cal R}=\{R_k\}^\infty_{k=1}\subset C[a,b]$ равномерно ограничены на отрезке $[a,b]$ и $($поточечно$)$ сходятся к нулю на полуинтервале $(a,b].$ Тогда для любой функции $\mu \in V[a,b]$ выполняется соотношение

$$\int _a^b R_k(t)d\mu(t)=R_k(a)\Bigl(\mu (a+0)-\mu(a)\Bigr)+o(1),\quad k\to \infty.$$ (1.26)

Доказательство. Пусть $\mu \in V[a,b].$ Обозначим через $\mu^*$ функцию, определенную следующим образом

$$\mu^*(a)=\mu(a+0),$$

$$\mu^*(t)=\mu(t), t\in (a,b].$$

Тогда имеем

$$\mu_k=\int _a^b R_k(t)d\mu(t)=R_k(a)\Bigl(\mu (a+0)-\mu(a)\Bigr) +\int _a^b R_k(t)d\mu^*(t).$$ (1.27)

По условию функции $R_k$ сходятся к нулю на полуинтервале $(a,b]$. Поскольку функция $\mu^*$ непрерывна в точке $a$ (справа), то, следовательно, последовательность $R_k$ сходится к нулю почти всюду на $[a,b]$ относительно меры $\mu^*$. Кроме того, предполагается, что функции $R_k$ равномерно ограничены. Поэтому, согласно теореме Лебега о мажорантной сходимости, можно утверждать, что

$$\int _a^b R_k(t)d\mu^*(t)\to 0, k\to \infty.$$ (1.28)

Из соотношений (1.28) и (1.27) следует утверждение (1.26).