Next: 3.
Up: О схеме Дельсарта оценки
Previous: 1.
Задача (0.14) есть частный случай задачи (1.4);
двойственной для (0.14) будет являться задача
вычисления величины
![\begin{displaymath}
v_m=\sup \left\{\frac{\mu _0}{-\mu_\infty}: \mu
\in V^+\left[-1,\frac{1}{2}\right], \mu\ne{\rm const}\right\},
\end{displaymath}](img327.gif) |
(2.1) |
где
Как мы уже отмечали выше,
множество
при каждом
непусто [3]. Поэтому
для задач (0.14) и (2.1) имеет место следующее
утверждение, содержащееся в теореме 1.1.
Теорема 2.1
При любом

для задач (
0.14) и (
2.1)
справедливы утверждения.
I. Задачи (0.14) и (2.1) связаны
соотношением двойственности
 |
(2.2) |
II. Каждая из задач (0.14) и (2.1) имеет решение,
т.е. существуют функция
 |
(2.3) |
принадлежащая множеству

т.е.
удовлетворяющая ограничениям (
0.4) - (
0.6)),
и функция
![$\mu\in V^+=V^+[-1,\frac{1}{2}],
\mu\ne{\rm const},$](img330.gif)
на которых в (
0.14) и (
2.1) достигаются соответственно
нижняя и верхняя грани.
III. Функции
и
являются решениями соответственно задач (0.14) и (2.1)
в том и только том случае, если они обладают следующими свойствами:
1) определяемая функцией
мера сосредоточена на множестве
нулей функции
из отрезка
2) если номер
таков, что
то соответствующий коэффициент
в разложении (2.3) равен нулю: 
Замечание 2.1
Многочлены
являются четными или нечетными
в соответствии с тем, будет ли число
четным или нечетным,
что, в частности, влечет свойство
Кроме того, известно (см., например, [20, с.175]), что
для
Поэтому, согласно
лемме 1.2, для любой функции
и, в частности, для экстремальной функции
имеем
 |
(2.4) |
Далее, согласно лемме 1.1, справедливо свойство
и, значит, равенство
может выполняться лишь
для конечного числа четных номеров
Отсюда, в силу третьего утверждения теоремы 2.1,
следует, что при любом
экстремальная функция (2.3)
задачи (0.14) может иметь лишь конечное число ненулевых слагаемых
с четными номерами
В связи с этим полезно отметить, что
любая функция
а значит, и экстремальная функция (2.3)
задачи (0.14) обязательно имеет ненулевые слагаемые как с
нечетными,
так и с четными номерами
Действительно, функция
не может быть четной, ибо у нее
Точно так же,
функция
не может быть нечетной, ибо в этом случае
и, как следствие,
что противоречит предположению
Next: 3.
Up: О схеме Дельсарта оценки
Previous: 1.