2.

Задача (0.14) есть частный случай задачи (1.4); двойственной для (0.14) будет являться задача вычисления величины

$$v_m=\sup \left\{\frac{\mu _0}{-\mu_\infty}: \mu \in V^+\left[-1,\frac{1}{2}\right], \mu\ne{\rm const}\right\},$$ (2.1)

где

$$\mu_\infty=\inf\{\mu_k: k\ge 1\}, \quad \mu_k=\int _{-1}^{\f... ...{2}} R_k^{\alpha,\alpha}(t)d\mu(t),\quad \alpha=\frac{m-3}{2}.$$

Как мы уже отмечали выше, множество $F=F_m$ при каждом $m\ge 2$ непусто [3]. Поэтому для задач (0.14) и (2.1) имеет место следующее утверждение, содержащееся в теореме 1.1.

Теорема 2.1   При любом $m\ge 2$ для задач (0.14) и (2.1) справедливы утверждения.

I. Задачи (0.14) и (2.1) связаны соотношением двойственности

$$u_m=v_m.$$ (2.2)

II. Каждая из задач (0.14) и (2.1) имеет решение, т.е. существуют функция

$$f(t)=1+\sum_{k=1}^\infty x_k R_k^{\alpha,\alpha}(t), \quad \alpha=\frac{m-3}{2},$$ (2.3)

принадлежащая множеству $F=F_m$ $($т.е. удовлетворяющая ограничениям (0.4) - (0.6)), и функция $\mu\in V^+=V^+[-1,\frac{1}{2}], \mu\ne{\rm const},$ на которых в (0.14) и (2.1) достигаются соответственно нижняя и верхняя грани.

III. Функции $f\in F_m$ и $\mu \in V^+$ являются решениями соответственно задач (0.14) и (2.1) в том и только том случае, если они обладают следующими свойствами:

1) определяемая функцией $\mu$ мера сосредоточена на множестве нулей функции $f$ из отрезка $[-1,\frac{1}{2}],$

2) если номер $k\ge 1$ таков, что $\mu_k> \mu_\infty,$ то соответствующий коэффициент $x_k$ в разложении (2.3) равен нулю: $x_k=0.$

Замечание 2.1 Многочлены $R_k= R_k^{\alpha,\alpha}$ являются четными или нечетными в соответствии с тем, будет ли число $k$ четным или нечетным, что, в частности, влечет свойство $R_k(-1)=(-1)^k.$ Кроме того, известно (см., например, [20, с.175]), что $R_k(t)\to 0, k\to \infty,$ для $t\in (-1,1), \alpha>-1/2.$ Поэтому, согласно лемме 1.2, для любой функции $\mu \in V[-1,\frac{1}{2}]$ и, в частности, для экстремальной функции $\mu \in V^+$ имеем

$$\mu_k=(-1)^k\Bigl(\mu(-1+0)-\mu(-1)\Bigr) +o(1), k\to \infty.$$ (2.4)

Далее, согласно лемме 1.1, справедливо свойство $\mu_\infty<0,$ и, значит, равенство $\mu_k=\mu_\infty$ может выполняться лишь для конечного числа четных номеров $k.$ Отсюда, в силу третьего утверждения теоремы 2.1, следует, что при любом $m\ge 3$ экстремальная функция (2.3) задачи (0.14) может иметь лишь конечное число ненулевых слагаемых с четными номерами $k.$ В связи с этим полезно отметить, что любая функция $f\in F_m,$ а значит, и экстремальная функция (2.3) задачи (0.14) обязательно имеет ненулевые слагаемые как с нечетными, так и с четными номерами $k\ge 1.$ Действительно, функция $f\in F_m$ не может быть четной, ибо у нее $f(-1)\le 0, f(1)>0.$ Точно так же, функция $f(t)-1$ не может быть нечетной, ибо в этом случае $f(0)-1=0,$ и, как следствие, $f(0)=1,$ что противоречит предположению $f(0)\le 0.$