1. Введение.

Пусть $\mbox{\bf R}^k$ есть $k$-мерное ($k \geq 1$) вещественное евклидово пространство со скалярным произведением $x\cdot y = x_1 y_1+ \ldots + x_ny_n$ и расстоянием $\vert x-y\vert=\sqrt{(x-y) \cdot (x-y)}$, определенными для точек $x=(x_1, \ldots , x_k),\ y=(y_1, \ldots , y_k)$ из ${\bf R}^k$. Обозначим через ${\bf S}^{k-1}=\{x\in {\bf R}^k:\ \vert x\vert=1\}$ единичную сферу пространства ${\bf R}^k$ с центром в нуле, а через $\vert{\bf S}^{k-1}\vert=2\pi^{k/2}/\Gamma(k/2)$ - ее площадь, в частности, $\vert{\bf S}^0\vert=2.$

На протяжении всей работы будем считать, что $m$ есть натуральное число не меньше $2,\ L^2=L^2({\bf S}^{m-1})\ -$ пространство комплексных функций, заданных на ${\bf S}^{m-1}$ со скалярным произведением

$$(f,g) = \frac{1}{\mid {\bf S}^{m-1} \mid } \int_{{\bf S}^{m-1}} f(\xi ) \overline {g}(\xi) \, d\xi$$ (1.1)

и нормой $\Vert f \Vert = (f,f)^{1/2}$. Многочленом степени не выше $n$ называется функция

$$p(x) =\sum c_{\alpha_1,\ldots , \alpha_m} \, x_1^{\alpha_1} \... ...s \cdot x^{\alpha_m}_m,\ \ \ \alpha_1+ \ldots + \alpha_m \leq n$$

с комплексными коэффициентами $c_{\alpha_1,\ldots , \alpha_m}\ \ (\alpha_1,\ldots , \alpha_m\ -$ целые неотрицательные числа). Множество сужений таких многочленов на ${\bf S}^{m-1}$ обозначим через $\mbox{\bf P}_n=\mbox{\bf P}_{n,m}.$ Наилучшим приближением функции $f \in L^2$ пространством $\mbox{\bf P}_n$ называют расстояние от $f$ до $\mbox{\bf P}_n$, т.е.

$$E_n(f) =\min \{ \Vert f-p \Vert :\ p\in \mbox{\bf P}_n \}.$$

Сдвигом с шагом $t\in{\bf R}$ называется (см., например, [19, формулы (1.1), (1.19)]) оператор $s_t$, действующий из $L^2$ в $L^2$ по правилу

$$s_t f(x)=\frac{1}{\vert{\bf S}^{m-2}\vert}\int_{{\bf S}^{m-2}}f(x\cos t+\xi\sin t)d\xi,$$ (1.2)

здесь $x\in{\bf S}^{m-1}$ и интеграл берется по сфере ${\bf S}^{m-2}={\bf S}^{m-2}_x=\{\xi \in {\bf S}^{m-1}:\ x\cdot\xi=0\}.$ В частности, при $m=2$ имеем $s_t f(e^{iu}) = \displaystyle{\frac{1}{2}} \{ F(u+t) + F(u-t)\},\ \ F(u) = f(e^{iu}), \ \ 0\leq u \leq 2\pi$.

Пусть $I$ есть тождественный оператор, $r$ - положительное число, $\psi_r(u)=(1-u)^{r/2}$. Следуя Х.П. Рустамову [23], оператор

$$\Delta_t^r = (I-s_t)^{r/2} = \sum_{k\geq 0}\frac{1}{k!}\psi_r^{(k)}(0)s^k_t$$ (1.3)

будем называть разностным оператором порядка $r$, а модулем непрерывности порядка $r$ функции $f \in L^2$ назовем следующую функцию переменного $\tau>0$

$$\omega_r(f,\tau) =\sup \{ \Vert \Delta ^r_t f\Vert :\ 0<t\leq \tau \}.$$

Отметим, что в случае обычного сдвига разностный оператор дробного порядка был введен и изучался в 1867 - 1868 гг. А.К.Грюнвальдом и А.В.Летниковым (см. [30, § 20]).

В данной работе изучается вопрос о точной константе ${\cal K}={\cal K}(\tau,n,r,m),\ \tau>0,\ n\in{\bf N},\ r>0,\ m=2,3,\ldots$ в неравенстве Джексона-Стечкина

$$E_{n-1}(f) \leq {\cal K} \omega _r(f,\tau),\quad f \in L^2,$$ (1.4)

т.е. величина

$${\cal K} (\tau,n,r,m) =\sup \left\{ \frac{E_{n-1}(f)}{\omega_r(f,\tau)}:\ f\in L^2,\quad f\not \equiv {\rm const} \right\} .$$ (1.5)

Сферической гармоникой порядка $k$ называют сужение на сферу ${\bf S}^{m-1}$ однородного гармонического многочлена степени $k$

$$q(x) = \sum c_{\alpha _1,\ldots,\alpha _m} x_1^{\alpha _1}\cd... ...quad \sum_{l=1}^m\frac{\partial ^2 q}{\partial x_l^2} \equiv 0.$$

Множество всех гармоник порядка $k$ обозначим символом $H_k$. Известно (см. [31, гл.4]), что при $k\neq l$ пространства $H_k,\ H_l$ ортогональны в смысле скалярного произведения (1.1), кроме того, пространство $\mbox{\bf P}_n$ совпадает с ортогональной прямой суммой $\sum_{k=0}^n \oplus H_k$. Справедливо также разложение пространства $L^2$ в ортогональную прямую сумму $L^2=\sum_{k\geq 0}\oplus H_k$ и оператор ортогонального проектирования $Y_k:\ L^2 \rightarrow H_k$ имеет вид (см. [32, с.206], [31, гл.4,§ 2])

$$Y_k f(x) =\frac{(k+\lambda ) \Gamma(\lambda )}{2 \pi^{\lambda... ...}} C^{\lambda }_k (x\cdot \xi) f(\xi) \, d \xi,\ \ \ \ m\geq 3,$$

где $\lambda = (m-2)/2,\ \ C^{\lambda }_0 (u)\equiv 1,\ \ C^{\lambda }_k (u),\ \ k=1,2, \ldots \ -$ многочлены Гегенбауэра, нормированные условием

$$C_k^{\lambda }(1) = \left( \begin{array}{c} k+2\lambda -1\\ k... ... k -1)(2\lambda +k-2)\ldots (2\lambda )} {k!},\ \ k=1,2,\ldots;$$

$$Y_k f(x) = \frac{k}{2\pi} \int _{{\bf S}^1} C^0_k (x\cdot \xi) f(\xi) \, d\xi,\ \ m=2,$$

где $C_0^0(u)\equiv 1, \ C_k^0(\cos t) = \displaystyle{\frac{2}{k}} \cos kt,\ k=1,2,\ldots .$ Многочлены $C^{\lambda }_k(u), \lambda \geq 0,\ k=0,1, \ldots$ образуют ортогональную систему на отрезке $[-1,1]$ с весом $(1-u^2)^{\lambda -1/2}$.

Каждая функция $f \in L^2$ единственным образом разлагается в ряд Фурье-Лапласа, сходящийся к ней в $L^2$

$$f=\sum_{k\geq 0}Y_k f.$$

Частичная сумма этого ряда $S_{n-1} f=\sum^{n-1}_{k=0} Y_k f$ является ближайшим элементом в $\mbox{\bf P}_{n-1}$ для $f$ в метрике пространства $L^2$, т.е.

$$E_{n-1}^2(f) = \Vert f-S_{n-1} f \Vert^2= \sum_{k\geq n}\Vert Y_k f \Vert^2.$$ (1.6)

Известны следующие свойства сдвига $s_t,$ разностного оператора $\Delta^r_t$ и модуля непрерывности $\omega _r(f,\tau),\ r>0,\ t\in{\bf R},\ \tau>0,$ которые выполняются для любой функции $f$ из $L^2({\bf S}^{m-1}), m\geq 2$

$$Y_k s_t f=R_k(t) Y_kf,\ \ \ \ k=0,1,\ldots,$$ (1.7)

$$Y_k \Delta_t^r f=\{ 1-R_k(t) \} ^{r/2} Y_k f, \ \ k=0,1,\ldots,$$ (1.8)

$$\Vert \Delta_t^r f \Vert ^2 = \sum_{k\geq 1}\{ 1-R_k(t) \} ^r \Vert Y_k f\Vert ^2,$$ (1.9)

$$\Vert \Delta_{lt}^r f \Vert \leq l^r \Vert \Delta ^r_t f \Vert,\ \ \ \ l\in{\bf N},$$ (1.10)

$$\omega _r(f,\tau)\le2^{(r-\alpha )/2}\omega _\alpha (f,\tau),\quad 0<\alpha <r,$$ (1.11)

где

$$R_k(t)=R_{k,\lambda }(t)= C^{\lambda }_k(\cos t) /C^{\lambda }_k (1),\ \ \ \lambda =(m-2)/2,\ \ \ \ k=0,1, \ldots .$$ (1.12)

Свойство (1.10) при $r=2$ доказал В.А.Иванов [33], в общем случае оно доказывается так же, остальные свойства можно найти в работе Х.П.Рустамова [23]. Полиномы (1.12) образуют ортогональную систему на отрезке $[0,\pi]$ с весом $\sin^{2\lambda } t$

$$\int_0^{\pi } R_k(t) R_l(t) \sin ^{2\lambda } t \, dt =0,\ \ \ \ k\neq l,\ \ \ \ k,l \in {\bf Z}_+.$$ (1.13)

Кроме того, они удовлетворяют соотношениям $\max_{t\in {\bf R}}\vert R_k(t)\vert=R_k(0)=(-1)^k R_k(\pi)=1,\ k=0,1,\ldots.$

Соотношения (1.6), (1.9) позволяют свести многомерную задачу (1.5) о точной константе ${\cal K}(\tau, n,r,m)$ в неравенстве Джексона-Стечкина (1.4) к одномерной задаче для полиномов (1.12). А именно, квадрат этой константы совпадает с наименьшей константой $K=K(\tau,n,r,\lambda ),\ \lambda =(m-2)/2$ в неравенстве

$$\sum_{k\geq n}\rho_k\le K\sup_{0<t\le \tau}\sum_{k\geq 1}\{ 1-R_k(t)\} ^r \rho_k,$$ (1.14)

$$\sum_{k\geq 1}\rho_k <\infty ,\quad \rho_k\geq 0,\quad k=1,2,\ldots.$$

Таким образом,

$$K(\tau,n,r,\lambda )=\sup \left\{ \sum_{k\geq n}\rho_k \left/... ...le\tau}\right. \sum_{k\geq 1}\{ 1-R_k(t) \}^r \rho_k : \right.$$

$$\left. 0<\sum_{k\geq 1}\rho_k<\infty ,\quad\rho_k\geq 0,\quad k=1,2, \ldots \right\},$$ (1.15)

причем для константы (1.5) справедливо равенство

$${\cal K}^2(\tau,n,r,m)=K(\tau,n,r,\lambda ),\quad \lambda =(m-2)/2$$ (1.16)

при $\tau>0,\quad n=1,2,\ldots ,\quad r>0,\quad m=2,3,\ldots$.

К задаче (1.15) также сводится (как видно из работ [34]-[35]) вопрос о точном неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве $L^2_{\lambda }$ вещественных четных $2\pi$-периодических функций со скалярным произведением

$$(F,G)_{\lambda } = \int_0^{\pi} F(x) G(x) \sin^{2\lambda } x \, dx,\quad \lambda \geq 0$$ (1.17)

и нормой $\Vert F\Vert _{\lambda } = (F,F)^{1/2}_{\lambda }$. Как уже отмечалось выше (см. (1.13)) система (1.12) косинус-полиномов Гегенбауэра является ортогональной в смысле скалярного произведения (1.17). Каждая функция $F$ из $L^2_{\lambda }$ разлагается в ряд Фурье по этим полиномам

$$F(x)=\sum_{k\ge 0}a_k R_k(x),\quad a_k=(F,R_k)_{\lambda } \Vert R_k \Vert^{-2}_{\lambda },$$

а частичная сумма этого ряда $S_{n-1} F(x)=\sum_{k=0}^{n-1}a_k R_k(x)$ является ближайшей к $F$ (в смысле нормы $\Vert \ \ \Vert _{\lambda }$) косинус-полиномом порядка $\leq n-1$. То есть минимум

$$E_{n-1}(F)_{\lambda } = \min \{ \Vert F-P \Vert _{\lambda } ... ...\sum_{k=0}^{n-1}c_k R_k(x) ,\ \ c_0, \ldots, c_k \in {\bf R}\}$$ (1.18)

реализует полином $P=S_{n-1} F$

$$E_{n-1}^2 (F)_{\lambda } = \Vert F-S_{n-1}F \Vert ^2_{\lambda } =\sum_{k\geq n}\Vert a_k R_k \Vert^2_{\lambda }.$$ (1.19)

Для функций $F(x)=f(\cos x)$ из $L^2_{\lambda },\ \lambda \geq 0$ определим понятие ультрасферического сдвига с шагом $t\in{\bf R}$ (см. [34]-[36]), т.е. введем оператор $T_t=T_{t,\lambda }$, действующий из $L^2_{\lambda }$ в $L^2_{\lambda }$ следующим образом

$$T_t F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{1}{... ...da -1} \varphi \, d \varphi , & \lambda >0, \end{array}\right.$$ (1.20)

$$\mu(\lambda )=1/\int_0^{\pi} \sin^{2\lambda -1}\varphi \, d\varphi .$$

В 1817 году, а возможно, еще раньше, А.М.Лежандр [37, с.262, формула (x)], при $\lambda =\frac{1}{2},$ а затем в 1874 году Л. Гегенбауэр (см. [38, с.402]) при $\lambda >0$ установили важное свойство этой операции, именуемой формулой умножения,

$$T_t R_k (x) = R_k(t) R_k(x),\quad k=0,1, \ldots , \quad t,x \in {\bf R},\quad \lambda \geq 0.$$ (1.21)

Также как и выше (см. (1.3)), определим $\delta_t^r=\delta_{t,\lambda } ^r$ - разностный оператор порядка $r>0$ с шагом $t\in{\bf R},$ соответствующий сдвигу $T_t$, по формуле

$$\delta_t^r=(I-T_t)^{r/2}= \sum_{k\geq 0}\frac{1}{k!}\, \,\psi_r^{(k)} (0) \, \, T^k_t.$$

Модулем непрерывности порядка $r$ функции $F$ из $L^2_{\lambda }$ назовем следующую функцию

$$\omega_r (F,\tau)_{\lambda } = \sup_{0<t\leq \tau} \Vert \del... ...\Vert _{\lambda } ,\quad \lambda \geq 0,\quad r>0,\quad \tau>0.$$

Из формулы умножения (1.21) вытекают свойства разностного оператора $\delta^r_t$, аналогичные свойствам (1.8) - (1.11) оператора $\Delta^r_t$. В частности, для каждой функции $F(x)=\sum_{k\geq 0} a_k R_k(x)$ из $L^2_{\lambda }$ имеем

$$\Vert \delta _t^r F \Vert ^2_{\lambda } = \sum_{k\geq 1} \{ ... ... \Vert ^2_{\lambda } ,\quad\lambda \geq 0,\quad r>0,\quad t>0.$$ (1.22)

Отсюда и (1.19) видно, что задача о точной константе $c=c(\tau, n,r, \lambda ), \tau>0,\ \ r>0,\ \ \lambda \geq 0,\ \ n=1,2, \ldots$ в неравенстве Джексона-Стечкина

$$E_{n-1}(F)_{\lambda } \leq c \cdot \omega _r (F, \tau)_{\lambda },\ \ \ F \in L^2_{\lambda }$$ (1.23)

сводится к задаче (1.15), причем

$$c^2(\tau,n,r, \lambda ) =K(\tau, n, r, \lambda ).$$ (1.24)

Следовательно (см. (1.16)),

$${\cal K}(\tau,n,r,m)=c \left( \tau,n,r,\frac{m-2}{2} \right),$$ (1.25)

$\tau>0,\ r>0,\ n\in{\bf N},\ m=2,3, \ldots.$ Это равенство означает, что в (1.5) верхнюю грань достаточно брать по зональным функциям $f \in L^2$, т.е. функциям $f(x) = F(x\cdot y)$, зависящих лишь от скалярного произведения переменной точки $x\in{\bf S}^{m-1}$ и фиксированной точки $y \in {\bf S}^{m-1}$ (см. [34], [32], [35]).