2. Основные результаты.

Остановимся вначале на случае $L^2({\bf S}^1)$. В этом случае $\lambda =0,\ {\bf S}^1 \ -$ обычная окружность. Функции $f$ из $L^2({\bf S}^1)$ можно отождествить с $2\pi$-периодическими функциями $F(u)=f(e^{iu})$ из $L^2_{2\pi}.$ Задача (1.4), (1.5) сводится к задаче о наименьшей константе $K=K(\tau,n,r,0)={\cal K}^2(\tau,n,r,2)$ в неравенстве

$$\sum_{k\geq n}\rho_k \leq K\, \sup _{0<t\leq \tau} \sum_{k\geq 1}\rho _k \{ 1-\cos \, kt \} ^r,$$

$$\sum_{k\geq 1}\rho_k <\infty ,\quad \rho_k\geq 0,\quad k=1,2,\ldots.$$

Первые точные результаты в этой задаче получил Н.И. Черных [6,7,9], которые в терминах, принятых здесь, можно записать в следующем виде

$$K(\tau,n,1,0)=1,\quad \tau\geq \pi/n,\quad n=1,2, \ldots ,$$ (2.1)

$$K(\tau,n,1,0)>1,\quad 0<\tau < \pi/n,\quad n=1,2, \ldots ,$$ (2.2)

$$K(\tau,n,r,0)=\frac{2^r}{{{2r}\choose r}}= \frac{2^r\{\Gamma... ...2r+1)},\quad \tau\geq 2\pi/n,\quad n>r,\quad r=2,3, \ldots\, .$$ (2.3)

В работах автора [12,13] найдена $K \left( \displaystyle {\frac{\pi}{ln}}, n, 1, 0 \right)$ для натуральных $l \geq 1+3n/2, \ \ n=1,2, \ldots$, а также для натуральных $l \in [3n/4,\ 3n/2], n \geq 10$. В работе М.Ж.Шакеновой [14] содержится утверждение, равносильное тому, что равенство (2.3) остается верным и в случае вещественного $r>0,\ \tau=2\pi/n.$

Перейдем к многомерному случаю $L^2({\bf S}^{m-1}),\ \ m \geq 3, \lambda =(m-2)/2$. Минимальное положительное значение аргумента функции $R_n=R_{n,\lambda }$, при котором она достигает локального минимума, локального максимума, обозначим через $h_{n,\lambda }$ и $t_{n,\lambda }$ соответственно. Единственный корень уравнения $R_n(u)=R_n(t_{n,\lambda }),\ \ u\in (0,h_{n,\lambda })$ обозначим через $v_{n,\lambda }$. В.Ю. Попов [29] установил, что

$$K^2 (\tau,n,r,m)=\{ 1-R_n(\tau) \}^{-r}$$

при $m=3,4, \ldots ,\ r=2,4, \ldots ,\ n=1,2,\ldots, \ 0< \tau \leq v_{n,\lambda }$, хотя его доказательство проходит и в случае вещественного $r>0$. В совместной работе [27] В.В. Арестова и В.Ю. Попова был анонсирован следующий результат для случая $m=3,4$

$${\cal K}\left( \frac{2\pi}{n+1} , n, 2r, m \right) = 1,\ \ \ r=1,2, \ldots , \ \ \ n=1,2, \ldots .$$ (2.4)

Для $\lambda \geq 0,\ n=1,2, \ldots$ обозначим через $\tau_{n, \lambda }$ первый положительный нуль косинус-полинома Гегенбауэра $C_n^{\lambda } (\cos \tau)$

$$\tau_{ n, \lambda } = \min \{ \tau >0:\ C^{\lambda }_n (\cos \tau) =0 \}.$$ (2.5)

В настоящей статье доказана

ТЕОРЕМА 2.1   Пусть $n=1,2, \ldots$. Тогда выполняются следующие утверждения

(A)

при $\lambda \geq 0$ для каждой функции $F\in L^2_{\lambda },\ F\not \equiv {\rm const}$ справедливы неравенства

$$E_{n-1} (F)_{\lambda } < \omega_r (F, 2\tau_{n, \lambda } )_{\lambda };\quad r\geq 1,$$ (2.6)

$$E_{n-1}(F)_{\lambda }<2^{(1-r)/2}\omega_r(F,2\tau_{n,\lambda })_{\lambda },\quad 0< r < 1;$$ (2.7)

(B)

при $\lambda >0$ для любого $\tau \in (0, \pi)$ существует последовательность функций $F_k$ $(k=1,2,\ldots)$ из $L^2_{\lambda }$ такая, что

$$\lim_{k\rightarrow \infty} E_{n-1} (F_k)_{\lambda } / \omega _r(F_k, \tau)_{\lambda } \geq 1,\ \ \ r>0.$$

(C)

при $\lambda >0$ существует последовательность функций $F_k\ (k=1,2,\ldots)$ из $L^2_{\lambda }$ такая, что

$$\lim_{k\rightarrow \infty} E_{n-1}(F_k)_{\lambda }/\omega _r(F_k,\pi)_{\lambda } \ge 1, \quad 0<r\le 1.$$

ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Утверждение (B) теоремы 2.1 принадлежит В.В. Арестову (см. ниже лемму 4.2).

ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Для $\lambda =0,\ r=1$ утверждения теоремы 2.1 получены Н.И. Черных [6], а при $\lambda =0, r > 1$ утверждение (A) теоремы 2.1 доказано В.В. Шалаевым [39].

ЗАМЕЧАНИЕ 2.3. С помощью функции $F(x)=R_n(x)$ легко показать, что при $0<\tau<\tau_{n,\lambda },\ n\in{\bf N},\ r>0,\ \lambda \ge 0$ точная константа $c=c(\tau,n,r,\lambda )$ в неравенстве (1.23) будет строго больше единицы.

В силу равенства (1.25) следствием теоремы 2.1 является

ТЕОРЕМА 2.2   Пусть $n=1,2, \ldots$. Тогда справедливы следующие утверждения

(A)

при $m=2,3, \ldots,\ \lambda =(m-2)/2$ для каждой функции $f \in L^2({\bf S}^{m-1}),$ $f\not\equiv {\rm const}$ выполняются неравенства

$$E_{n-1} (f) < \omega_r (f, 2\tau_{n, \lambda } ),\quad r\geq 1,$$ (2.8)

$$E_{n-1} (f) < 2^{(1-r)/2} \omega_r (f, 2\tau_{n, \lambda } ),\quad 0<r< 1;$$ (2.9)

(B)

при $m=3,4, \ldots,\quad \tau \in(0, \pi)$ существует последовательность функций $f_k\ \ (k=1,2, \ldots)$ из $L^2({\bf S}^{m-1})$ такая, что

$$\lim_{k\rightarrow \infty} E_{n-1} (f_k) / \omega_r(f_k, \tau) \geq 1,\quad r>0.$$ (2.10)

(C)

при $m=3,4,\ldots$ существует последовательность функций $f_k\ \ (k=1,2, \ldots)$ из $L^2({\bf S}^{m-1})$ такая, что

$$\lim_{k\rightarrow \infty} E_{n-1} (f_k) / \omega _r(f_k,\pi)\ge 1,\quad 0<r\le 1.$$ (2.11)

Эта теорема и замечание 2.3 позволяют локализовать точку Черныха в неравенстве Джексона-Стечкина в многомерном случае.

СЛЕДСТВИЕ 2.1   Пусть $m=3,4,\ldots,\ \lambda =(m-2)/2.$ Тогда точная константа в неравенстве Джексона-Стечкина (1.4) в пространстве $L^2({\bf S}^{m-1})$ удовлетворяет соотношениям

$${\cal K}(\tau,n,r,m)>1,\quad 0<\tau<\tau_{n,\lambda },\quad r>0,\quad n\in{\bf N};$$

$${\cal K}(\tau,n,r,m)=1,\quad \tau\in[2\tau_{n,\lambda },\pi),\quad r\ge 1,\quad n=2,3,\ldots;$$

$${\cal K}(\tau,n,1,m)=1,\quad \tau\ge 2\tau_{n,\lambda },\quad n\in{\bf N}.$$

ЗАМЕЧАНИЕ 2.4. Теорема 2.2 для случая $m=3,\ n=1$ и $m=4,\ n \geq 1$ содержится в работе В.В. Арестова и В.Ю. Попова [27] (см. (2.4)), а при $m=3,\ n \geq 2$ уточняет результат (2.4), т.к. $2\tau_{n, 1/2} < 2\pi /(n+1)$ (см. [40, с.147, (6.6.4)]).

ЗАМЕЧАНИЕ 2.5. В силу известного свойства (1.11) [23, с.130] неравенство (2.9) является следствием неравенства (2.8).

Для доказательства утверждения (A) теоремы 2.1 применялись идеи, заложенные в работах Н.И. Черных [6,7] и В.А. Юдина [24] о построении экстремального веса (решения двойственной задачи).