3.

Ниже в данной работе будет дано решение задач (0.7), (0.14) и (2.1) для $m=4.$ При $m=4$ многочлены $R_k=R_k^{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}$ являются многочленами Чебышева второго рода, нормированными условием $R_k(1)=1;$ здесь эти многочлены будут обозначаться символами $P_k.$ Итак, нас интересует величина

$$w=w_4=\inf\left\{\frac{f(1)}{f_0}: f\in{\cal F}_4\right\}$$ (3.1)

на множестве ${\cal F}={\cal F}_4$ функций $f,$ представимых рядами

$$f(t)=\sum_{k=0}^\infty f_k P_k(t)$$ (3.2)

(по многочленам Чебышева второго рода), коэффициенты которых неотрицательные, а точнее, $f_0>0, \quad f_k\ge 0, k=1,2,\ldots,$ и удовлетворяющих условию $f(1)=\sum_{k=0}^\infty f_k<\infty$; кроме того, предполагается, что функции $f\in {\cal F}_4$ неположительные на отрезке $J=[-1,\frac {1}{2} ].$

Как уже отмечалось, $24\le \tau_4\le 25.$ Оценка снизу $\tau_4\ge 24$ известна давно; эту оценку дают конкретные классические сферические коды $W\subset {\bf S}^3\subset {\bf R}^4,$ которые можно найти, например, в монографии [8, Т.1, гл.1, §2, п.2.4]. Оценка сверху $\tau_4\le 25$ была получена Э.Одлыжко и Н.Слоэном [4] (см. также [8, гл.13]) с помощью неравенства (0.12). Для обоснования этой оценки они нашли конкретную функцию $f\in F_4,$ а точнее, многочлен девятой степени

$$f(t)=1+ \sum_{k=1}^9 a_kP^*_k(t),$$ (3.3)

в разложении которого по многочленам Чебышева второго рода $P^*_k,$ нормированных условием

$$P^*_k(1)={k+\frac{1}{2} \choose k}= \frac{\left(1+\frac{1}{2... ...{2}\right)\ldots \left(k+\frac{1}{2}\right)}{k!},\quad k\ge 1,$$

коэффициенты $a_k$ имеют следующие значения $a_1=2.412237, a_2=3.261973, a_3=3.217960, a_4=2.040011,\ a_5=0.853848,$ $a_6=a_7=a_8=0, a_9=0.128520.$ Для этой функции $f(1)\le 25.5585,$ а отсюда следует, что $\tau_4\le 25.$

Приведенный только что результат Э.Одлыжко и Н.Слоэна влечет оценку

$$w_4\le 25.5585.$$ (3.4)

Из дальнейшего будет видно, что эта оценка дает практически точное значение величины $w_4,$ и многочлен (3.3) весьма близок к решению задачи (3.1).

Точное решение задачи (3.1) было нами получено по следующей схеме. Вначале мы провели эксперимент на компьютере, численно решая задачу линейного программирования, являющуюся дискретизацией задачи (3.1); дискретизация состояла в том, что бесконечная сумма (3.2) была заменена на довольно большую конечную (до 40 слагаемых), и условие неположительности функции $f$ на отрезке $J=[-1,\frac {1}{2} ]$ было заменено аналогичным условием на достаточно густой сетке из отрезка $J.$ В результате был получен многочлен

$$f^*(t)=\sum_{k=0}^9 f^*_kP_k(t),$$ (3.5)

практически совпадающий с многочленом (3.3). Многочлен $f^*$ обладает следующими особенностями:

1) его коэффициенты $f^*_k$ с номерами $k=6,7,8$ равны нулю:

$$f^*_6=f^*_7=f^*_8=0,$$ (3.6)

а остальные - положительные,

2) многочлен $f^*$ имеет на отрезке $J$ три двойных корня $a,b,c$ и простой корень $d=\frac {1}{2},$

$$-1<a<b<c<d=\frac {1}{2},$$ (3.7)

кроме того, $f^*$ имеет пару комплексно сопряженных корней.

Допустим теперь, что точное решение $f^*$ задачи $w_4$ имеет указанный здесь вид (3.5) - (3.7). В силу теоремы 2.1 можно утверждать, что решение $\mu ^*\in V^+[J]$ соответствующей двойственной задачи (т.е. задачи (2.1) для $m=4$) есть мера, сосредоточенная в точках $a,b,c,d,$ и, значит, на функциях $f\in C(J)$ имеет место формула

$$(\mu^*,f)=\int _{-1}^{\frac{1}{2}} f(t)d\mu^* (t)= {\cal A}f(a)+{\cal B}f(b)+{\cal C}f(c)+{\cal D}f(d),$$ (3.8)

где ${\cal A},{\cal B},{\cal C},{\cal D}$ - неотрицательные вещественные числа, являющиеся значениями меры $\mu^*$ точек $a,b,c,d$ и называемые далее весами. При сделанных предположениях функция $f^*$ и мера $\mu^*$ будут удовлетворять следующим условиям.

1) Функция $f^*$ имеет вид

$$f^*(t)=(t-a)^2 (t-b)^2 (t-c)^2 \left(t-\frac{1}{2}\right) g_2(t),$$

где $g_2(t)=t^2+qt+r$ есть многочлен второго порядка с двумя комплексно сопряженными корнями.

2) Разложение (3.5) функции $f^*$ по многочленам Чебышева второго рода имеет неотрицательные коэффициенты $f^*_k,$ и при этом $f^*_6=f^*_7=f^*_8=0.$

3) Параметры ${\cal A},{\cal B},{\cal C},{\cal D}$ меры $\mu^*$ таковы, что коэффициенты

$$\mu_k= \int _{-1}^{\frac{1}{2}} P_k(t) d\mu^* (t)= {\cal A}P_k(a)+{\cal B}P_k(b)+{\cal C}P_k(c)+{\cal D}P_k(d)$$

обладают свойствами

$$\mu_1 = \mu_2 =\mu_3 =\mu_4 =\mu_5 =\mu_9 (=\mu_\infty);$$

можно считать, что мера $\mu^*$ нормирована так, что это общее значение коэффициентов равно $-1:$ $\mu_1 = \mu_2 =\mu_3 =\mu_4 =\mu_5 =\mu_9 =-1.$

Перечисленные условия дают систему девяти (нелинейных) уравнений с девятью неизвестными, которыми являются параметры $a, b, c, {\cal A}, {\cal B}, {\cal C}, {\cal D}$ и два коэффициента $q,r$ многочлена $g_2(t)=t^2+qt+r.$ Полученную систему мы успешно решили на компьютере с помощью пакета аналитических вычислений Maple.

Расчеты на компьютере позволили нам построить функции $f^*$ и $\mu^*;$ экстремальность же этой пары функций обосновывается ниже аналитически, без привлечения компьютера. В приводимых рассуждениях мы выписываем приближенные значения всех встречающихся переменных (корней уравнений и необходимых функций этих корней), что позволит читателю, при необходимости, провести нужную локализацию этих переменных.

Численные расчеты на компьютере дискретного аналога задачи (3.1) были осуществлены авторами посредством программы решения задач линейного программирования с малым числом неизвестных и большим числом ограничений, любезно предоставленной нам Л.В.Петрак; при проведении аналитических расчетов на компьютере в пакете Maple большую помощь нам оказали С.В.Бердышев и М.В.Дейкалова. Всем им авторы весьма благодарны.

Для формулировки результатов оставшейся части работы нам понадобятся несколько определений и обозначений. Пусть $H$ есть следующий многочлен седьмой степени

$$H(z)=z^7+\frac{23}{8}z^6+\frac{29}{12}z^5-\frac{11}{96}z^4- ... ...{185}{144}z^3-\frac{877}{1152}z^2-\frac{3}{16}z-\frac{9}{512}.$$ (3.9)

Он имеет три вещественных и четыре комплексных корня:

$$\begin{eqnarray*} \xi_1 & =& -1.368502640\ldots,\\ \xi_2 & =& -0.320830326\ldot... ...i_{6,7} & = & -0.303547128\ldots\pm i\cdot 0.137565088\ldots.\\ \end{eqnarray*}$$

Особую роль в дальнейшем будет играть наименьший вещественный корень; нам удобно обозначить его через $\xi.$ Таким образом,

$$\xi=\xi_1=-1.368502640\ldots.\\$$ (3.10)

Введем четыре числа, которые выражаются через $\xi$ по формулам

$$\eta=\frac{-33-100\xi+36\xi^2+96\xi^3}{48+144\xi}=0.501597587\ldots,$$ (3.11)

$$\zeta=-\frac{1}{4}-\frac{\xi}{3}-\frac{\eta}{2}=-0.044631247\ldots,$$ (3.12)

$$q=2\xi+\frac{1}{2}=-2.237005280\ldots,$$ (3.13)

$$r=3\xi^2+\xi-2\eta-\frac{7}{4}=1.496700613\ldots.$$ (3.14)

Теперь с помощью чисел $\xi, \eta, \zeta, q, r$ определим многочлен девятой степени

$$f^*(t)=\left(t-\frac{1}{2}\right)(t^3-\xi t^2+\eta t-\zeta)^2 (t^2+qt+r);$$ (3.15)

обозначим через $f_k^*$ коэффициенты в разложении

$$f^*(t)=\sum_{k=0}^9 f_k^* P_k(t)$$ (3.16)

$f^*$ по многочленам Чебышева второго рода. Пусть, наконец, $a<b<c$ есть корни многочлена

$$z^3-\xi z^2+\eta z-\zeta;$$ (3.17)

эти корни имеют следующие приближенные значения

$$a=-0.827548728\ldots,\ b=-0.409134511\ldots,\ c=-0.131819400\ldots.$$ (3.18)

Одним из основных результатов данной работы является следующее утверждение.

Теорема 3.1   Функция $f^*,$ определенная с помощью соотношений (3.9)-(3.16), принадлежит множеству ${\cal F}_4$ и является единственной $($с точностью до положительного множителя$)$ экстремальной функцией $($решением$)$ задачи (3.1); помимо того, справедливы равенства

$$w_4=\frac{f^*(1)}{f_0^*}=\frac{8\xi-18\eta-15}{\xi}=25.558429097\ldots.$$ (3.19)

Соответствующая двойственная задача $($т.е. задача (2.1) при m=4) имеет единственное $($с точностью до положительного множителя$)$ решение $\mu^*,$ являющееся мерой, сосредоточенной в точках $a,b,c$ и $\frac{1}{2},$ которая задает на пространстве непрерывных на отрезке $[-1,\frac{1}{2}]$ функций $f$ функционал

$$(\mu^*,f)=\int_{-1}^{\frac{1}{2}}f(t)d\mu^*(t)= {\cal M}(a)f... ...(c) +{\cal M}\left(\frac{1}{2}\right)f\left(\frac{1}{2}\right)$$ (3.20)

с весами

$${\cal M}(a)=\frac{2+3(b+c)+6bc}{8(a-1)\left(a-\frac{1}{2}\right) (a-b)(a-c)}\cdot\frac{8\xi-18\eta-15}{\xi}=3.169774489\ldots,$$

$${\cal M}(b)=\frac{2+3(a+c)+6ac}{8(b-1)\left(b-\frac{1}{2}\right) (b-a)(b-c)}\cdot\frac{8\xi-18\eta-15}{\xi}=4.805310571\ldots,$$

$${\cal M}(c)=\frac{2+3(a+b)+6ab}{8(c-1)\left(c-\frac{1}{2}\right) (c-a)(c-b)}\cdot\frac{8\xi-18\eta-15}{\xi}=7.442808460\ldots,$$

$${\cal M}\left(\frac{1}{2}\right) = 2\cdot\frac{3+2\xi+6\eta}{9+2\xi+24\eta}\cdot \frac{8\xi-18\eta-15}{\xi}=9.140535577\ldots;$$ (3.21)

для меры $\mu^*$ коэффициенты Фурье $\mu^*_k=\int _{-1}^{\frac{1}{2}} P_k(t)d\mu^*(t)$ и величина $\mu^*_\infty=\min \{\mu^*_k: k\ge 1\}$ обладают свойствами

$$\mu^*_1 = \mu^*_2 =\mu^*_3 =\mu^*_4 =\mu^*_5 =\mu^*_9 =\mu^*_\infty=-1,$$ (3.22)

$$\mu^*_k> \mu^*_\infty=-1,\quad k\ge 1, k\ne 1, 2, 3, 4, 5, 9.$$ (3.23)

Предварительно докажем несколько вспомогательных утверждений. Ниже будут использоваться следующие известные (см., например, [21, с.30]) разложения степеней переменной через многочлены

$$U_n(t)=(n+1)P_n(t)=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta},\quad t=\cos\theta,\quad n=0,1,2,\ldots,$$ (3.24)

Чебышева второго рода:

$$1 = U_0(t),$$

$$t = \frac{1}{2}U_1(t),$$

$$t^2 = \frac{1}{4}\biggl(U_2(t)+U_0(t)\biggr),$$

$$t^3 = \frac{1}{8}\biggl(U_3(t)+2U_1(t)\biggr),$$

$$t^4 = \frac{1}{16}\biggl(U_4(t)+3U_2(t)+2U_0(t)\biggr),$$

$$t^5 = \frac{1}{32}\biggl(U_5(t)+4U_3(t)+5U_1(t)\biggr),$$ (3.25)

$$t^6 = \frac{1}{64}\biggl(U_6(t)+5U_4(t)+9U_2(t)+5U_0(t)\biggr),$$

$$t^7 = \frac{1}{128}\biggl(U_7(t)+6U_5(t)+14U_3(t)+14U_1(t)\biggr),$$

$$t^8 = \frac{1}{256}\biggl(U_8(t)+7U_6(t)+20U_4(t)+28U_2(t)+14U_0(t)\biggr),$$

$$t^9 = \frac{1}{512}\biggl(U_9(t)+8U_7(t)+27U_5(t)+48U_3(t)+42U_1(t)\biggr).$$

Лемма 3.1   Функция $f^*,$ определенная с помощью соотношений (3.9)-(3.15), принадлежит множеству ${\cal F}_4.$

Доказательство. В правой части (3.15) многочлен $g_2(t)=t^2+qt+r$ положительный на всей вещественной оси, ибо $\min \{g_2(t): t\in{\bf R}\}=r-\left(\frac{q}{2}\right)^2=0.245652457 \ldots>0.$ Поэтому

$$f^*(t)\le 0,\quad -1\le t\le\frac{1}{2}.$$ (3.26)

Нам осталось доказать, что в разложении (3.16) функции (3.15) по многочленам Чебышева второго рода коэффициенты $f_k^*$ неотрицательные, причем $f^*_0>0.$ Вначале разложим $f^*$ по степеням переменной $t:$

$$f^*(t)=\sum_{k=0}^9 c_k t^k.$$ (3.27)

С помощью формул (3.9) - (3.15) получаем

$$c_9 = 1,\quad c_8=0,\quad c_7=-2,\quad c_6=0,$$

$$c_5 = -2\zeta\xi-3\eta^2-2\xi \eta-4\eta+3\xi^3-\xi^2- \frac{7\xi}{4}+3\xi^4 =1.844949212\ldots,$$

$$c_4 = 2\eta^2+2\zeta\eta-2\zeta\xi^2+6\eta^2\xi+4\zeta-2\eta\xi^2+ 3\eta\xi-6\eta\xi^3+\frac{7\eta}{4}- \frac{3\xi^4}{2}-\frac{\xi^3}{2}+$$

$$+ \frac{7\xi^2}{8}=0.693337331\ldots,$$

$$c_3 = -2\zeta\eta+\zeta^2+3\zeta\xi^2-3\zeta\xi-2\eta^2\xi-2\eta^2- 8\zeta\eta\xi+6\zeta\xi^3-2\eta^3+3\eta^2\xi^2-$$

$$- \frac{7\zeta}{4}+3\eta\xi^3+\eta\xi^2-\frac{7\eta\xi}{4} =-0.237297380\ldots,$$ (3.28)

$$c_2 = 2\zeta\eta\xi+4\zeta\eta+2\zeta^2\xi-3\zeta\xi^3-\zeta\xi^2+ \fra... ...ta\xi}{4}+\eta^3-\frac{3\eta^2\xi^2}{2}- \frac{\eta^2\xi}{2}+\frac{7\eta^2}{8}+$$

$$+ 4\zeta\eta^2-6\zeta\eta\xi^2=-0.168059741\ldots,$$

$$c_1 = -2\zeta^2-2\zeta\eta^2+3\zeta\eta\xi^2+\zeta\eta\xi- \frac{7\zeta\eta}{4}-2\zeta^2\eta+3\zeta^2\xi^2 =-0.028297176\ldots,$$

$$c_0 = \zeta^2\eta-\frac{\zeta^2\xi}{2}+\frac{7\zeta^2}{8}- \frac{3\zeta^2\xi^2}{2} =-0.001490675\ldots.$$

Применив теперь в разложении (3.27) формулы (3.25), (3.24) и (3.28), находим коэффициенты $f_k^*$ в разложении (3.16)

$$f_9^* = \frac{5}{256},\quad f_8^*=f_7^*=f_6^*=0,$$

$$f_5^* = \frac{3}{16}\left(c_5-\frac{21}{16}\right) =0.099834227\ldots,$$

$$f_4^* = \frac{5}{16}c_4=0.216667916\ldots,$$

$$f_3^* = \frac{1}{2}(c_5+c_3-1)=0.303825915\ldots,$$

$$f_2^* = \frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}c_4+c_2\right) =0.263957443\ldots,$$

$$f_1^* = c_1+\frac{1}{2}c_3+\frac{5}{16}c_5-\frac{35}{128} =0.156163262\ldots,$$

$$f_0^* = c_0+\frac{1}{4}c_2+\frac{1}{8}c_4=0.043161556\ldots.$$ (3.29)

Таким образом, разложение (3.16) функции $f^*$ имеет неотрицательные коэффициенты и $f_0^*>0.$ Лемма 3.1 доказана.

Доказанная только что лемма дает оценку сверху величины $w_4,$ и, как мы увидим в дальнейшем, эта оценка точная. Для обоснования нужной оценки снизу величины $w_4$ мы сейчас построим специальную квадратурную формулу, содержащую не только значения функции, но и ее коэффициенты Фурье по многочленам Чебышева второго рода; по существу эта формула является формулой (1.17) для задач $u_4, v_4$.

Лемма 3.2   На множестве ${\Phi}_4$ функций $f\in C[-1,1],$ представимых рядами

$$f(t)=\sum_{k=0}^\infty f_k P_k(t)$$ (3.30)

с суммируемой последовательностью $\{f_k\}_{k=0}^\infty$ вещественных $($необязательно неотрицательных$)$ коэффициентов: $\sum_{k=0}^\infty \vert f_k\vert<\infty,$ имеет место квадратурная формула

$$f_0=\frac{2}{\pi}\int _{-1}^1 f(t)\sqrt{1-t^2}dt = L(f)-\sum_{\nu\ge 1} L(P_\nu)f_\nu,$$ (3.31)

в которой функционал $L$ задан соотношением

$$L(f)=\lambda(1)f(1)+\lambda\left(\frac{1}{2}\right)f\left(\frac{1}{2}\right) +\lambda(a)f(a)+\lambda(b)f(b)+\lambda(c)f(c)$$ (3.32)

с коэффициентами

$$\lambda(1)=\frac{\xi}{8\xi-18\eta-15}=0.039126035\ldots,$$ (3.33)

$$\lambda\left(\frac{1}{2}\right)=2\frac{3+2\xi+6\eta}{9+2\xi+24\eta} =0.357632917\ldots,$$ (3.34)

$$\lambda(a)=\frac{2+3(b+c)+6bc}{8(a-1)\left(a-\frac{1}{2}\right)(a-b)(a-c)} =0.124020708\ldots,$$ (3.35)

$$\lambda(b)=\frac{2+3(a+c)+6ac}{8(b-1)\left(b-\frac{1}{2}\right)(b-a)(b-c)} =0.188012751\ldots,$$ (3.36)

$$\lambda(c)=\frac{2+3(a+b)+6ab}{8(c-1)\left(c-\frac{1}{2}\right)(c-a)(c-b)} =0.291207586\ldots,$$ (3.37)

где числа $\xi, \eta, a, b, c$ определены формулами (3.9)-(3.18). Кроме того, функционал $L$ обладает свойствами

$$L(1)=1;$$ (3.38)

$$L(P_\nu)=0\quad {\mbox при }\quad \nu= 1, 2, 3, 4, 5, 9;$$ (3.39)

$$L(P_\nu)>0\quad {\mbox при }\quad \nu\ge 1, \nu\ne 1, 2, 3, 4, 5, 9.$$ (3.40)

Доказательство. Вначале найдем достаточные условия на вещественные узлы

$$-1<A<B<C<\frac{1}{2}$$ (3.41)

и коэффициенты $\lambda_1,\lambda_{1/2},\lambda_A,\lambda_B,\lambda_C,\gamma_6,\gamma_7, \gamma_8$ для существования квадратурной формулы вида

$$f_0=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^1 f(t)\sqrt{1-t^2}dt = {\cal L}(f)-\sum_{\nu=6}^8 \gamma_\nu f_\nu,$$ (3.42)

$${\cal L}(f)=\lambda_1 f(1)+\lambda_{1/2}f\left(\frac{1}{2}\right) +\lambda_A f(A)+\lambda_B f(B)+\lambda_C f(C),$$ (3.43)

на множестве всех полиномов девятой степени

$$f(t)=\sum_{k=0}^9 f_k P_k(t).$$ (3.44)

Большинство из этих условий будут также и необходимыми; с них и начнем. Положим

$$U=A+B+C,\quad V=AB+AC+BC,\quad W=ABC.$$ (3.45)

Из теоремы Виета следует, что $A,B,C$ являются корнями многочлена

$$t^3-Ut^2+Vt-W.$$ (3.46)

Рассмотрим многочлен пятой степени

$$\sigma(t)=(t-1)\left(t-\frac{1}{2}\right)(t^3-Ut^2+Vt-W).$$ (3.47)

Он будет иметь следующее разложение по степеням $t$

$$\begin{eqnarray*} \sigma(t) & = & t^5-\left(\frac{3}{2}+U\right)t^4+ \left(\frac... ...\\ & + & \left(\frac{1}{2}V+\frac{3}{2}W\right)t- \frac{1}{2}W. \end{eqnarray*}$$

С помощью формул (3.25) и (3.24) найдем коэффициент $\sigma_0$ в разложении

$$\sigma(t)=\sum_{k=0}^5 \sigma_k P_k(t)$$

многочлена $\sigma$ по многочленам $P_k;$ при этом мы воспользуемся тем, что коэффициент $\sigma_0$ совпадает с коэффициентом при $U_0$ в разложении многочлена $\sigma$ по многочленам Чебышева второго рода $U_k$ (этот факт будет нами использоваться и ниже)

$$\sigma_0=-\frac{1}{8}\left(\frac{3}{2}+U\right) -\frac{1}{4}... ...ac{3}{4}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}U+\frac{1}{2}V+ W\right).$$

Подставив многочлен $\sigma$ в формулу (3.42), получаем первое необходимое условие существования этой формулы: $\sigma_0=0$ или, что то же самое, - условие (сравните с (3.12))

$$W=-\frac{1}{4}-\frac{U}{3}-\frac{V}{2}.$$ (3.48)

Сейчас мы выразим коэффициенты $\lambda_1, \lambda_{1/2}$ квадратурной формулы (3.42) - (3.43) через $U$ и $V.$ Начнем с $\lambda_1.$ Рассмотрим многочлен четвертой степени

$$\varphi(t) = \left(t-\frac{1}{2}\right)(t^3-Ut^2+Vt-W)=$$

$$= t^4-\left(U+\frac{1}{2}\right)t^3+ \left(\frac{1}{2}U+V\right)t^2- \left(\frac{1}{2}V+W\right)t+ \frac{1}{2}W=$$ (3.49)

$$= \sum_{k=0}^4 \varphi_k P_k(t);$$

легко убедиться, что

$$\varphi_0=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}U+V\right)+\frac{1}{2}W, \quad \varphi(1)=\frac{1}{2}(1-U+V-W).$$ (3.50)

Вновь подставляя теперь уже многочлен $\varphi$ в формулу (3.42), получаем второе необходимое условие существования этой формулы: $\varphi_0=\lambda_1 \varphi(1),$ которое в силу (3.50), (3.48) эквивалентно равенству

$$\lambda_1=\frac{U}{8U-18V-15}.$$ (3.51)

Аналогично, используя многочлен

$$\chi(t)=(t-1)(t^3-Ut^2+Vt-W)=\sum_{k=0}^4 \chi_k P_k(t),$$ (3.52)

у которого, как нетрудно проверить,

$$\chi_0=\frac{1}{8}(1+2U+2V+8W),\quad \chi\left(\frac{1}{2}\r... ...ac{1}{2}\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{4}U+ \frac{1}{2}V-W\right),$$

получаем третье необходимое условие

$$\lambda_{1/2}=2\frac{3+2U+6V}{9+2U+24V}.$$ (3.53)

По этой же схеме с помощью многочленов

$$(t-1)\left(t-\frac{1}{2}\right)(t-B)(t-C),$$

$$(t-1)\left(t-\frac{1}{2}\right)(t-A)(t-C),$$ (3.54)

$$(t-1)\left(t-\frac{1}{2}\right)(t-A)(t-B)$$

получаем условия

$$\lambda_A=\frac{2+3(B+C)+6BC}{8(A-1)\left(A-\frac{1}{2}\right)(A-B)(A-C)},$$

$$\lambda_B=\frac{2+3(A+C)+6AC}{8(B-1)\left(B-\frac{1}{2}\right)(B-A)(B-C)},$$ (3.55)

$$\lambda_C=\frac{2+3(A+B)+6AB}{8(C-1)\left(C-\frac{1}{2}\right)(C-A)(C-B)}.$$

Подставляя в (3.42) многочлены $P_\nu, \nu=6,7,8,$ получим еще три необходимых условия

$$\gamma_\nu={\cal L}(P_\nu)\quad {\mbox при}\quad \nu=6,7,8.$$ (3.56)

Построим теперь многочлен $\psi(t)=\sum_{k=0}^9 \psi_k P_k(t),$ на котором зануляются все функционалы, стоящие в правой части формулы (3.42), кроме значения в точке $t=1,$ т.е. многочлен со свойствами

$$\psi\left(\frac{1}{2}\right)= \psi(A)=\psi(B)=\psi(C)=\psi_6=\psi_7=\psi_8=0.$$

Положим

$$Q=2U+\frac{1}{2},$$ (3.57)

$$R=3U^2+U-2V-\frac{7}{4}$$ (3.58)

и рассмотрим многочлен девятой степени

$$\psi(t)=\left(t-\frac{1}{2}\right)(t^3-Ut^2+Vt-W)^2(t^2+Qt+R).$$ (3.59)

Для этого многочлена имеем

$$\psi(t)=t^9-2t^7+\sum_{k=0}^6 C_k t^k,$$ (3.60)

где

$$C_6 = -2W+6UV+V-\frac{3U^2}{2}+\frac{7U}{2}-4U^3+\frac{7}{8},$$

$$C_5 = -2WU-3V^2-2UV-4V+3U^3-U^2-\frac{7U}{4}+3U^4,$$

$$C_4 = 2V^2+2WV-2WU^2+6V^2U+4W-2VU^2+3VU-6VU^3+\frac{7V}{4}-$$

$$- \frac{3U^4}{2}-\frac{U^3}{2}+\frac{7U^2}{8},$$

$$C_3 = -2WV+W^2+3WU^2-3WU-2V^2U-2V^2-8WVU+6WU^3-$$

$$- 2V^3+3V^2U^2-\frac{7W}{4}+3VU^3+VU^2-\frac{7VU}{4},$$ (3.61)

$$C_2 = 2WVU+4WV+2W^2U-3WU^3-WU^2+\frac{7WU}{4}+V^3-\frac{3V^2U^2}{2}-$$

$$- \frac{V^2U}{2}+\frac{7V^2}{8}+4WV^2-6WVU^2,$$

$$C_1 = -2W^2-2WV^2+3WVU^2+WVU-\frac{7WV}{4}-2W^2V+3W^2U^2,$$

$$C_0 = W^2V-\frac{W^2U}{2}+\frac{7W^2}{8}-\frac{3W^2U^2}{2}.$$

Отсюда с помощью формул (3.25) и (3.24) находим четыре старших коэффициента

$$\psi_9=\frac{5}{256},\quad \psi_8=\psi_7=0, \quad \psi_6=\frac{7}{64}C_6$$ (3.62)

в разложении

$$\psi(t)=\sum_{k=0}^9 \psi_k P_k(t)$$ (3.63)

многочлена $\psi$ по многочленам Чебышева второго рода $P_k.$

В квадратурной формуле (3.42) имеется 11 параметров, в то время как любой многочлен девятой степени определяется с помощью 10 коэффициентов. В связи с этим мы имеем возможность наложить на параметры квадратурной формулы условие

$$\psi_6=0.$$ (3.64)

Это условие выбрано из соображений согласования прямой и двойственной задачи и гипотезы (3.6) относительно экстремальной функции задачи $w_4$. В силу (3.62), (3.61) и (3.48) условие (3.64) можно переписать в виде

$$\frac{25}{6}U + 2V + \frac{11}{8} + 6VU - \frac{3}{2}U^2- 4U^3 =0.$$ (3.65)

Отсюда параметр $V$ выражается через $U$ формулой

$$V=\frac{96U^3+36U^2-100U-33}{48(1+3U)}.$$ (3.66)

Исходя из формул (3.60), (3.61), (3.25), (3.24), с учетом равенства $C_6=0$ (см. (3.62), (3.64)) найдем коэффициент с нулевым индексом в разложении (3.63) многочлена (3.59)

$$\psi_0 = \frac{7}{32}V+ \frac{1}{2}W +\frac{1}{2}WVU +\frac{7}{8}W^2 + \frac{7}{64}U^2 + \frac{15}{32}V^2 -\frac {3}{2}W^2 U^2 +W^2 V +$$

$$+ \frac{5}{4}VW +\frac{3}{8}UV - \frac{1}{16} U^3 +\frac{7}{16}UW +\frac{1}{4}V^3 -\frac{3}{16} U^4 -\frac{1}{2} WU^2 -$$

$$- \frac{3}{2}WVU^2 - \frac{3}{4}WU^3 -\frac{3}{8}V^2 U^2 + WV^2 -\frac{1}{4}VU^2 +\frac{5}{8}V^2U -\frac{3}{4}VU^3.$$ (3.67)

Нетрудно найти значение функции (3.59) в единице

$$\psi(1) = \frac{1}{2}(1-U+V-W)^2(1+Q+R)=$$

$$= \frac{1}{2}(1-U+V-W)^2\left(3U^2+3U-2V-\frac{1}{4}\right).$$ (3.68)

Формула (3.42) с дополнительным условием (3.64) (или, что то же самое, (3.65)) на ее параметры на многочлене $\psi$ принимает вид

$$\psi_0=\lambda_1 \psi(1).$$

Подставляя сюда выражение (3.51) для $\lambda_1$ и выражения (3.67), (3.68) для $\psi_0, \psi(1),$ найдем еще одно уравнение для параметров $U, V, W$

$$\begin{eqnarray*} \lambda_1\psi(1)-\psi_0 & = & \frac{U(1-U+V-W)^2 \left(3U^2+3U... ...{8} - W V^2+ \frac{VU^2}{4}- \frac{5V^2U}{8} +\frac{3VU^3}{4}=0. \end{eqnarray*}$$

Заменив в нем $W$ его выражением (3.48) через $U, V,$ получим соотношение

$$\frac{3U^4}{16}-\frac{11U^3}{96}+\frac{3VU^3}{16}-\frac{3VU^... ...+\frac{55U}{384}+ \frac{9}{128}-\frac{V^2}{16}+\frac{V}{16}=0.$$

Подставив в это соотношение выражение (3.66) параметра $V$ через $U$, придем к следующему уравнению для параметра $U$

$$\frac{4608U^7+13248U^6+11136U^5-528U^4-5920U^3-3508U^2-864U-81} {36864(1+3U)^2} =$$

$$= \frac{H(U)}{8(1+3U)^2} = 0,$$ (3.69)

где $H$ задано формулой (3.9).

Как уже говорилось выше, многочлен $H$ (а значит, и уравнение (3.69)) имеет три вещественных корня. Нас интересует решение, обеспечивающее выполнение условий (3.41); этим свойством обладает лишь решение (3.10). В связи с этим, с данного момента предполaгается, что $U=\xi.$ При этом предположении, в силу формул (3.66), (3.48), (3.57), (3.58), (3.11) - (3.14) имеем $V=\eta, W=\zeta, Q=q, R=r.$ Отсюда следует, что многочлен (3.46) совпадет с многочленом (3.17), а потому

$$A=a,\quad B=b,\quad C=c.$$ (3.70)

Это, в частности, влечет, что функция $\psi,$ заданная формулой (3.59), и функция $f^*,$ указанная в лемме 3.1, совпадают: $\psi=f^*.$ Кроме того, из формул (3.51), (3.53), (3.55) вытекает, что коэффициенты $\lambda_1,\lambda_{1/2},\lambda_A,\lambda_B,\lambda_C$ функционала $\cal L$ (см. (3.43)) совпадают с коэффициентами (3.33) - (3.37) функционала $L,$ определенного в (3.32). Следовательно, формула (3.42) примет вид

$$f_0=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^1 f(t)\sqrt{1-t^2}dt = L(f)-\sum_{\nu=6}^8 L(P_\nu) f_\nu.$$ (3.71)

На данном этапе рассуждений можно утверждать, что формула (3.71) выполняется на многочленах (3.47), (3.49), (3.52), (3.54), а также на многочленах $P_6, P_7, P_8$ и $\psi=f^*.$ Указанные десять многочленов образуют базис во множестве ${\cal P}_9$ многочленов степени не выше девяти. Поэтому квадратурная формула (3.71) выполняется для любого многочлена из ${\cal P}_9.$ Из нее, в частности, следует, что $L(P_\nu)=0$ при $\nu= 1, 2, 3, 4, 5, 9,$ т.е. имеет место (3.39). Подставив в формулу (3.71) многочлен $f(t)\equiv 1,$ получаем также утверждение (3.38).

Очевидно, формулу (3.71) можно распространить на весь класс функций $\Phi_4,$ если записать ее в форме (3.31) - (3.37). Нам осталось проверить неравенства (3.40). Для обоснования этих неравенств воспользуемся следующими двумя свойствами многочленов Чебышева второго рода: 1)  $P_\nu(1)=1, \nu\ge 0,$ 2) многочлены $P_\nu$ на интервале $(-1,1)$ поточечно стремятся к нулю при $\nu\to\infty.$ Как следствие этих свойств имеем (ср. с леммой 1.2) $L\left(P_\nu\right)\to \lambda(1)>0 \quad {\mbox при}\quad \nu\to\infty;$ в силу чего неравенства (3.40) нужно проверить лишь для конечного числа индексов $\nu.$ Подробнее, воспользовавшись соотношениями (3.24), имеем

$$L(P_\nu) = \lambda(1)+ \lambda\left(\frac{1}{2}\right) \frac{\sin(\nu+1)\fra... ...\nu+1)\sin\theta_1}+ \lambda(b)\frac{\sin(\nu+1)\theta_2}{(\nu+1)\sin\theta_2}+$$

$$+ \lambda(c)\frac{\sin(\nu+1)\theta_3}{(\nu+1)\sin\theta_3},$$ (3.72)

где

$$\begin{eqnarray*} \theta_1 & = & {\rm arccos}\,a=2.545523452\ldots,\\ \theta_2 ... ...1679\ldots,\\ \theta_3 & = & {\rm arccos}\,c=1.703000500\ldots. \end{eqnarray*}$$

Поэтому для любого $\nu\ge 1$ справедлива оценка

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ L\left(P_\nu\right) \ge}\\ & \ge & \lambda(1)-\left... ...}=\\ & = & \lambda(1)-\frac{1-\lambda(1)}{(\nu+1)\sin\theta_1}. \end{eqnarray*}$$

Отсюда легко получить, что $L\left(P_\nu\right)>0$ при $\nu\ge 45.$ Для $\nu\le 45$ условия (3.40) проверяются вычислениями. Лемма 3.2 доказана.

Доказательство теоремы 3.1. Для функции, а на самом деле, - многочлена девятой степени $f^*(t)=\sum_{k=0}^9f_kP_k(t),$ определенного соотношением (3.15), выполняются свойства

$$f^*\left(\frac{1}{2}\right)=f^*(a)=f^*(b)=f^*(c)=f^*_6=f^*_7=f^*_8=0.$$

Поэтому на функции $f^*$ формула (3.31) превращается в равенство

$$f^*_0=\lambda(1)f^*(1),$$

из которого следует, что

$$\frac{f^*(1)}{f^*_0}=\frac{1}{\lambda(1)}=\frac{8\xi-18\eta-15}{\xi}.$$

В силу леммы 3.1 для доказательства (3.19) достаточно показать, что

$$w_4\ge\frac{1}{\lambda(1)}.$$ (3.73)

Для обоснования этого неравенства можно воспользоваться утверждениями леммы 3.2 и следствия 1.1. Однако будет короче привести непосредственное обоснование неравенства (3.73).

Для произвольной функции $f\in {\cal F}_4$ справедлива квадратурная формула (3.31) -  (3.32). Коэффициенты $\lambda(1), \lambda\left(\frac{1}{2}\right), \lambda(a), \lambda(b), \lambda(c)$ этой формулы положительные, а коэффициенты $L(P_\nu), \nu\ge 1,$ - неотрицательные (точнее, $L(P_\nu)>0, \nu\ne 1,2,3,4,5,9$ и $L(P_\nu)=0, \nu=1,2,3,4,5,9$). В силу свойств (0.3) - (0.6) функции $f\in {\cal F}_4$ отсюда следует оценка

$$f_0\le \lambda(1)f(1),$$ (3.74)

которая влечет неравенство (3.73). Тем самым обосновано утверждение (3.19) и одновременно доказано, что функция $f^*$ является экстремальной в задаче $w_4$. Нетрудно понять, что неравенство (3.74) обращается в равенство в том и только в том случае, если функция $f$ лишь положительным множителем отличается от функции $f^*,$ поэтому функция $f^*$ является единственной экстремальной (с точностью до положительного множителя).

Пусть $\mu$ есть мера на $[-1,\frac{1}{2}],$ сосредоточенная в точках $a,b,c$ и $\frac{1}{2}$ с весами (3.34) - (3.37). Очевидно, справедливо соотношение

$$\int_{-1}^{\frac{1}{2}} f(t)d\mu(t)= L(f)-\lambda(1)f(1),\quad f\in C[-1,1],$$

где $L(f)$ - функционал, определенный формулой (3.32). Поскольку $P_k(1)=1,$ то для коэффициентов Фурье $\mu_\nu=\int _{-1}^{\frac{1}{2}} P_\nu(t)d\mu(t)$ этой меры имеем представление $\mu_\nu=L(P_\nu)-\lambda(1).$ Из этого соотношения и (3.38) - (3.40) следует, что

$$\mu_0=1-\lambda(1),\quad \mu_\infty=-\lambda(1),$$

$$\mu_\nu=\mu_\infty, \nu= 1, 2, 3, 4, 5, 9,$$ (3.75)

$$\mu_\nu>\mu_\infty, \nu\ge 1, \nu\ne 1, 2, 3, 4, 5, 9.$$

Видно, что функция $f^*$ (изученная в лемме 3.1) и построенная только что мера $\mu$ удовлетворяют предположениям третьего утверждения теоремы 2.1. Поэтому мера $\mu$ будет экстремальной в задаче $v_4.$ В силу теоремы 2.1 любая экстремальная мера $\widetilde \mu$ задачи $v_4$ должна быть сосредоточена в точках $a,b,c,\frac{1}{2},$ а, кроме того, должна обладать свойствами $\widetilde \mu_1=\widetilde \mu_2= \widetilde \mu_3=\widetilde \mu_4 = \widetilde \mu_5=\widetilde \mu_9= \widetilde \mu_\infty.$ Отсюда нетрудно получить, что меры $\widetilde \mu$ и $\mu$ должны совпадать с точностью до положительного множителя. Именно так связаны между собой мера $\mu$ и мера $\mu^*,$ описанная в формулировке теоремы 3.1, а точнее

$$\mu^*=\frac{\mu}{-\mu_\infty}= \frac{\mu}{\lambda(1)}.$$

Таким образом, мера $\mu^*$ является единственной экстремальной (с точностью до положительного множителя) в задаче $v_4;$ свойства (3.22) и (3.23) этой меры следуют из свойств (3.75) меры $\mu.$ Теорема 3.1 полностью доказана.

Доказанная только что теорема 3.1 дает точное решение задач $w_4,u_4,v_4.$ Сейчас мы дадим довольно простую, в сравнении с точным решением, оценку снизу этих трех величин.

Теорема 3.2   На множестве ${\Phi}_4$ функций $f,$ представимых рядами

$$f(t)=\sum_{k=0}^\infty f_k P_k(t),\quad \sum_{k=0}^\infty \vert f_k\vert<\infty,$$

имеет место квадратурная формула

$$f_0=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^1 f(t)\sqrt{1-t^2}dt = \widetilde L(f)-\sum_{\nu\ge 6}\widetilde L(P_\nu)f_\nu,$$ (3.76)

в которой функционал $\widetilde L$ задан соотношением

$$\widetilde L(f) = \widetilde\lambda(1)f(1)+ \widetilde\lambda\left(\frac{1}{2}\righ... ...}\right)+ \widetilde\lambda\left(-\frac{2}{5}\right)f\left(-\frac{2}{5}\right)+$$

$$+ \widetilde\lambda\left(-\frac{24}{29}\right)f\left(-\frac{24}{29}\right)$$ (3.77)

с коэффициентами

$$\widetilde\lambda(1) = \frac{523}{13356},\quad \widetilde\la... ...widetilde\lambda\left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{2048}{7335},$$

$$\widetilde\lambda\left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{3125}{156... ...ambda\left(-\frac{24}{29}\right) = \frac{20511149}{164970344}.$$ (3.78)

Кроме того, функционал $\widetilde L$ обладает свойствами

$$\widetilde L(P_\nu)>0\quad {\mbox при }\quad \nu\ge 6.$$ (3.79)

Доказательство. Формула (3.76), очевидно, выполняется для многочленов $P_\nu$ при любом $\nu\ge 6.$ Справедливость этой формулы для многочленов $P_\nu$ при $0\le \nu\le 5$ нетрудно обосновать непосредственными вычислениями. Проверка неравенства (3.79) проводится по той же схеме, как это делалось в лемме 3.2 при доказательстве неравенств (3.40). Теорема 3.2 доказана.

Из формулы (3.76) легко следует (см. доказательство  (3.74)) неравенство $f_0\le \widetilde\lambda(1)f(1)$ и, как следствие, неравенство $w_4 \ge (\widetilde\lambda(1))^{-1}.$ Таким образом, теорема 3.2 дает оценку

$$w_4 \ge \frac{13356}{523}=25.537284894\ldots,$$

близкую к точному значению $w_4=25.558429097\ldots.$

4. Нам приятно выразить нашу признательность В.А.Юдину. Именно в результате неоднократных обсуждений данной тематики с В.А.Юдиным у авторов возник интерес к ней, и, как следствие, - появилась эта работа.

Научное и человеческое общение с С.Б.Стечкиным оказало огромное влияние на нас и наши научные интересы, за что мы всегда будем ему благодарны. Большое место в его научных исследованиях и исследованиях его учеников уделялось экстремальным задачам и, в частности, экстремальным задачам для функций, представимых рядами по различным системам, с ограничениями на значения функций и коэффициенты разложений, каковыми и являются обсуждаемые здесь задачи.