3. Некоторые свойства ультрасферического сдвига.

В этом пункте приводятся необходимые в дальнейшем известные свойства (см. [34,35]) оператора

$$T_t\, F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{1... ...a -1} \varphi \, d \varphi , & \lambda >0, \end{array}\right.$$ (3.1)

$$\mu (\lambda ) =1/ \int_0^{\pi} \sin ^{2\lambda -1} \varphi \, d \varphi$$

ультрасферического сдвига с шагом $t\in{\bf R}$, действующего на функции $F(x)$ вида

$$F(x)= f(\cos x),\ \ \ x \in {\bf R}.$$

ЛЕММА 3.1   Пусть $\lambda \geq 0,\ 0<\tau \leq \pi/2$, функция $F(x)=f(\cos x)$ непрерывна при всех $x\in {\bf R}$ и

$$F(x)=0,\ \ \ \ \ x\in [\tau, \pi].$$

Тогда функция $G(x) = T_{\tau} F(x)$ является непрерывной при всех $x\in {\bf R}$ и

$$G(x)=0,\ \ \ \ \ x\in [2\tau, \pi].$$

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При $\lambda =0$ утверждения леммы легко проверяются. Пусть $\lambda >0$. Непрерывность функции $G$ очевидна. По условию леммы имеем

$$f(u)=0,\ \ \ \ u \in [-1, \cos \tau ].$$ (3.2)

Функция $A(x, \tau, \varphi )=\cos x \, \cos \tau + \sin x \, \sin \tau \, \cos \varphi$ принимает свои значения в отрезке $[-1, \cos \tau ]$, если

$$0< \tau \leq \pi /2,\ \ \ 0 \leq \varphi \leq \pi, 2\tau \leq x \leq \pi.$$ (3.3)

Действительно, в этом случае $\sin x \, \sin \tau \geq 0$, поэтому при фиксированных $\tau \in (0, \pi/2],\ x \in [2\tau, \pi]$ функция $A(x,\tau, \varphi )$ монотонно изменяется в отрезке $[\cos (x+\tau),\ \cos(x-\tau)]$, когда $\varphi$ меняется от $\pi$ до $0$, при этом $[\cos (x+\tau ),\ \cos(x-\tau)] \subseteq [-1, \cos \tau]$. Поэтому $-1 \leq A(x,\tau, \varphi )\leq \cos \tau$, если выполнено (3.3). Отсюда, (3.1) и (3.2) получаем утверждение леммы.

Напомним, что через $R_k=R_{k,\lambda },\ k=0,1,2 ,\ldots,\ \ \lambda \geq 0$ мы обозначали полиномы

$$R_{k,0}(x)= \cos kx, R_{k,\lambda }(x)= C^{\lambda }_k (\cos x)/ C^{\lambda }_k(1),\ \ \lambda >0,$$ (3.4)

где

$$C^{\lambda }_k (u)=\sum^{[k/2]}_{l=0}\frac{(-1)^l \Gamma (k-l... ...^{k-2l}} {\Gamma (\lambda ) \, \Gamma (l+1) \, \Gamma (k-2l+1)}$$

есть многочлен Гегенбауэра (ультрасферический многочлен) (см. [40, стр. 96, формула (4.7.31)]). Известны (см. [40, с.91,92,175], [38, с.399]) следующие свойства полиномов (3.4)

$$R_k(t) = (-1)^k R_k(\pi - t),$$ (3.5)

$$\mid R_k(t) \mid \leq R_k(0) = 1,$$ (3.6)

$$\int _0^{\pi} R_k(x) R_l(x) \sin^{2\lambda } x \, dx = 0, \ \ \ k\neq l,$$ (3.7)

где $k,l \in \mbox{\bf Z}_+,\ \ t\in {\bf R},\quad \lambda \geq 0$. В частности, в пространстве $L^2_{\lambda }$ функций со скалярным произведением

$$(F,G)_{\lambda } = \int_0^{\pi} F(x) G(x) \sin ^{2\lambda } x \, dx,\ \ \ \lambda \geq 0$$ (3.8)

полиномы $R_k, k\in \mbox{\bf Z}_+$ образуют ортогональную систему.

В 1954 году С. Бохнер [34] (см. также [35]) ввел понятие ультрасферической свертки для функций $F(x) = f(\cos x), G(x) = g(\cos x)$ из $L^2_{\lambda },\ \lambda \geq 0$

$$(F \ast G)_{\lambda } (t) = \int_0^{\pi} \{ T_x F(t) \} G(x) \sin^{2\lambda } x \, dx$$

и, опираясь на результат (1.22) Л. Гегенбауэра, доказал коммутативность этой операции

$$(F \ast G)_{\lambda } (t) = (G \ast F)_{\lambda } (t), t \in {\bf R}.$$ (3.9)

Поскольку $T_x F(t) = T_t F(x)$ для любых $x,\ t$ из ${\bf R}$, то равенство (3.9) означает самосопряженность ультрасферического сдвига. То есть справедлива

ЛЕММА 3.2   Пусть $\lambda \geq 0,\ \ t \in {\bf R}$ и функции $F(x) = f(\cos x), G(x) = g(\cos x)$ принадлежат пространству $L^2_{\lambda }$. Тогда справедливо равенство

$$(T_tF,G)_{\lambda } = (F,T_tG)_{\lambda }.$$ (3.10)