2. Формулировка основного результата.

В данной работе найдена точная константа ${\cal K}={\cal K}_{n}^{\alpha,\beta}(\tau,r)$ в неравенстве Джексона-Стечкина (1.12) в пространстве $L^{2}_{\alpha,\beta}$ при $\alpha>\beta\ge -1/2,\ r \ge 1, \tau\ge 2x_{n}^{\alpha,\beta}, \ n \ge \max\left\{2,1+\displaystyle{\frac{\alpha-\beta}{2}}\right\}$ при $\beta>-1/2,\ n\ge 1$ при $\beta=-1/2,$ и локализована точка Черныха (1.19) в этом неравенстве. Приведена многомерная интерпретация этого результата на примере $L^2$-приближений функций, заданных на проективных пространствах, а также дополнен результат В.В.Арестова об оценке снизу для константы Джексона - Стечкина на многомерной сфере.

Теорема 2.1   Пусть $\alpha>\beta\ge -1/2$. Тогда выполняются следующие утверждения

(A)

для каждого натурального $\ n \ge \max\left\{2,1+\displaystyle{\frac{\alpha-\beta}{2}}\right\}$ и произвольной функции $F$ из пространства $L^2_{\alpha,\beta}$ справедливы неравенства

$$E_{n-1} (F) \le \omega_r (F, 2x_{n}^{\alpha,\beta}),\quad r\geq 1,$$ (2.1)

$$E_{n-1}(F)\le 2^{(1-r)/2}\omega_r(F,2x_{n}^{\alpha,\beta}),\quad 0<r<1;$$ (2.2)

(B)

для каждого натурального числа $n\in{\bf N}$ и любого положительного числа $\tau > 0$ существует последовательность функций $G_k, \ k\in {\bf N},$ из $L^2_{\alpha,\beta},$ такая, что

$$\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{E_{n-1} (G_k)} {\omega_r(G_k, \tau)} \geq 1,\ \ \ r>0.$$

Замечание 2.1. Пункты 1), 5) замечания 1.1 остаются в силе и для теоремы 2.1.

Замечание 2.2. Ниже (см. следствие 4.1) будет показано, что при $\alpha>\beta=-1/2$ утверждение ${\rm (A)}$ теоремы 2.1 справедливо для любого натурального $n\ge 1.$

Замечание 2.3. В случае $\alpha>\beta>-1/2$ утверждения теоремы 2.1 были анонсированы автором [2] в иной эквивалентной форме.

С помощью теоремы 2.1, замечания 2.2 и предложения 1.1 получаем

Следствие 2.1   Пусть $\alpha>\beta\ge -1/2, \ n \ge \max\left\{2,1+\displaystyle{\frac{\alpha-\beta}{2}}\right\}, \ \tau\ge 2x_{n}^{\alpha,\beta}.$ Тогда для точной константы (1.13) и точки Черныха (1.19) в неравенстве Джексона-Стечкина (1.12) в пространстве $L^{2}_{\alpha,\beta}$ выполняются соотношения

$${\cal K}_{n}^{\alpha,\beta} (\tau,r)=1,\quad r\ge 1;$$ (2.3)

$$1 \le {\cal K}_{n}^{\alpha,\beta} (\tau,r) \le 2^{(1-r)/2}, \quad 0<r<1;$$

$$x_{n}^{\alpha,\beta} \le \tau_{n}^{\alpha,\beta}(r) \le 2x_{n}^{\alpha,\beta}.$$

Следствие 2.2   Пусть $\alpha> - 1/2, \ n \in{\bf N}, \ \tau\ge \min\{\pi,2x_{n}^{\alpha,-1/2}\}$. Тогда имеют место соотношения

$${\cal K}_{n}^{\alpha,-1/2} (\tau,r)=1,\quad r\ge 1;$$

$$1 \le {\cal K}_{n}^{\alpha,-1/2} (\tau,r) \le 2^{(1-r)/2}, \quad 0<r<1;$$

$$x_{n}^{\alpha,-1/2} \le \tau_{n}^{\alpha,-1/2}(r) \le \min\{\pi,2x_{n}^{\alpha,-1/2}\}.$$

Доказательство теоремы 2.1 будет проведено поэтапно. Вначале мы покажем, как из результата В.В.Арестова [24, теорема 1], [1, лемма 4.2] и известных свойств полиномов Якоби следует оценка снизу для величины (1.13), а затем, применяя идеи, содержащиеся в работах Н.И. Черных [13], [14] и В.А.Юдина [16], по аналогии с тем, как это уже делалось в ультрасферическом случае в статье автора [1], построим вес (допустимую функцию в двойственной задаче), который даст нужную оценку сверху для искомой величины.