Next: 7. Оценка сверху.
Up: ТОЧНОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЖЕКСОНА-СТЕЧКИНА ДЛЯ
Previous: 5. Двойственная задача.
В данном пункте
приводятся известные свойства обобщенного сдвига
(см.
(1.5)), действующего в пространстве
при
Отметим, что в ультрасферическом случае
важные свойства этого сдвига были установлены в
1817 году А.М.Лежандром (случай
) [41, с.262,
формула (
)] и в 1874 году - Л.Гегенбауэром (случай
) (см. [42, с.402]). А именно, ими была
доказана так называемая формула умножения для ультрасферических
полиномов
Почти сто лет спустя Дж.Гаспер получил аналог этого результата для
косинус-полиномов Якоби
в следующей истокообразной форме
[35], [36] (см. также [38, пункт 5])
здесь
и ядро
задается формулой
![\begin{displaymath}
{\cal F}^{\alpha,\beta}(a,b,c)=
\frac{2\Gamma(\alpha+1)a^{-2...
...a^2-b^2-c^2+2bc\cos v)^{\alpha-\beta-1}_+
(\sin v)^{2\beta}dv,
\end{displaymath}](img224.gif) |
(6.3) |
Затем Т.Курнвиндер [37], [38]
(см. также [39, пункты 4,5]) нашел эквивалентное
выражение формулы умножения для косинус-полиномов Якоби
по форме более близкой к формуле умножения Лежандра - Гегенбауэра (6.1)
здесь
![\begin{displaymath}
\cos\Psi={\cos t}{\cos x}+\rho{\sin t}{\sin x}{\cos\xi}
+\frac{1}{2}(\rho^2-1)(1-\cos t)(1-\cos x),
\end{displaymath}](img229.gif) |
(6.5) |
Следовательно, в этом случае действие сдвига (1.5) на произвольную
функцию
при
выражается в следующей интегральной форме
![\begin{displaymath}
T_tF(x) =\frac{2\Gamma(\alpha+1)}{\sqrt{\pi}
\Gamma\left(\al...
...^{\alpha-\beta-1}
\rho^{2\beta+1}(\sin\xi)^{2\beta}d\xi d\rho,
\end{displaymath}](img232.gif) |
(6.6) |
где
и
вычисляется по формуле (6.5).
Другое эквивалентное истокообразное представление этого сдвига получается с
помощью ядра (6.3) в формуле умножения (6.2)
[38, пункт 5], [39, пункт 4].
Необходимо сказать, что указанным выше результатам Дж.Гаспера и
Т.Курнвиндера, как отмечается в работе [37],
предшествовал результат Р.Л.Шапиро [40] (1968 г.) о
формуле сложения для полиномов Якоби, из которого следует
(6.6) при
Приведем несколько свойств сдвига, вытекающих из его интегрального
представления. Эти свойства нам потребуются в следующем пункте.
Лемма 6.1
Пусть
![$\alpha>\beta>-1/2,\ 0\le\tau\le \pi/2,$](img236.gif)
функция
![$F(x)=f(\cos x)$](img237.gif)
непрерывна при всех
![$x\in {\bf R}$](img238.gif)
и
Тогда функция
![$G(x)=T_\tau F(x)$](img240.gif)
является непрерывной при всех
![$x\in {\bf R}$](img238.gif)
и
Доказательство.
Непрерывность функции
легко следует из интегрального представления
(6.6), (6.5) оператора сдвига.
По условию леммы имеем
В силу интегрального представления (6.6), (6.5) сдвига для
доказательства леммы достаточно показать, что функция
удовлетворяет неравенствам
![\begin{displaymath}
-1\le A(x,\tau,\rho,\xi)\le\cos\tau,
\end{displaymath}](img245.gif) |
(6.7) |
если выполнены условия
![\begin{displaymath}
0<\tau\le\frac{\pi}{2},\quad 0\le\xi\le\pi,\quad 2\tau\le x\le\pi,\quad
0\le\rho\le 1.
\end{displaymath}](img246.gif) |
(6.8) |
Вначале докажем первое неравенство в (6.7). Ясно, что из (6.8)
следует, что
Поэтому имеем
Заметим, что функция
по третьей переменной
является параболой, причем ее глобальный минимум по этому аргументу
достигается в точке
То есть
и, значит, первое неравенство в (6.7) доказано.
Перейдем к доказательству второго неравенства в (6.7).
Условия (6.8) влекут неравенство
а также
Имеем
Лемма доказана.
В работе Дж.Гаспера [35] содержится следующее
определение свертки двух функций
из
(а на самом
деле - и для функций из
), которое можно записать в
виде
![\begin{displaymath}
(F\ast G)(t)=\int_0^\pi
\{T_x F(t)\}G(x)\left(\sin\frac{x}{2}\right)^{2\alpha+1}
\left(\cos\frac{x}{2}\right)^{2\beta+1}dx.
\end{displaymath}](img259.gif) |
(6.9) |
Кроме того, в указанной работе приведено свойство коммутативности этой
операции
![\begin{displaymath}
(F\ast G)(t)=(G\ast F)(t),\quad t\in{\bf R}.
\end{displaymath}](img260.gif) |
(6.10) |
Поскольку
для любых
то равенство
(6.10) означает самосопряженность оператора сдвига. То есть
справедлива лемма.
Лемма 6.2
Пусть
![$\alpha>\beta>-1/2,\ t\in{\bf R}.$](img263.gif)
Тогда для любых двух функций
![$F,G\in L_{\alpha,\beta}^2$](img264.gif)
выполняется равенство
![\begin{displaymath}
(T_t F,G)=(F,T_t G).
\end{displaymath}](img265.gif) |
(6.11) |
Next: 7. Оценка сверху.
Up: ТОЧНОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЖЕКСОНА-СТЕЧКИНА ДЛЯ
Previous: 5. Двойственная задача.