6. Некоторые свойства обобщенного сдвига.

В данном пункте приводятся известные свойства обобщенного сдвига $T_t$ (см. (1.5)), действующего в пространстве $L_{\alpha,\beta}^2$ при $\alpha>\beta>-1/2.$ Отметим, что в ультрасферическом случае $\alpha=\beta>-1/2$ важные свойства этого сдвига были установлены в 1817 году А.М.Лежандром (случай $\alpha=\beta=0$) [41, с.262, формула ($x$)] и в 1874 году - Л.Гегенбауэром (случай $\alpha=\beta>-1/2$) (см. [42, с.402]). А именно, ими была доказана так называемая формула умножения для ультрасферических полиномов $\phi_k^{\alpha,\alpha}(x)=R_k^{\alpha,\alpha}(\cos x), k\in{\bf Z}^+,$

$$T_t\phi_k^{\alpha,\alpha}(x) = \phi_k^{\alpha,\alpha}(t)\phi_k^{\alpha,\alpha}(x)=$$

$$= \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\sqrt{\pi} \Gamma\left(\alpha+\frac{1}{2}... ... R_k^{\alpha,\alpha}(\cos x\cos t+\sin x\sin t\cos\xi) (\sin\xi)^{2\alpha}d\xi.$$ (6.1)

Почти сто лет спустя Дж.Гаспер получил аналог этого результата для косинус-полиномов Якоби $\phi_k^{\alpha,\beta},\ \alpha>\beta>-1/2,\ k\in{\bf Z}^+,$ в следующей истокообразной форме [35], [36] (см. также [38, пункт 5])

$$T_t\phi_k^{\alpha,\beta}(2x) = \phi_k^{\alpha,\beta}(2t)\phi_k^{\alpha,\beta}(2x)=$$

$$= \int_0^\pi \phi_k^{\alpha,\beta}(2\xi){\cal F}^{\alpha,\beta} (\sin t\sin x,\cos t\cos x,\cos\xi)(\cos\xi)^{2\beta+1}\sin\xi d\xi,$$ (6.2)

здесь $0<t,\ x<\pi/2$ и ядро ${\cal F}^{\alpha,\beta}$ задается формулой

$${\cal F}^{\alpha,\beta}(a,b,c)= \frac{2\Gamma(\alpha+1)a^{-2... ...a^2-b^2-c^2+2bc\cos v)^{\alpha-\beta-1}_+ (\sin v)^{2\beta}dv,$$ (6.3)

$$(x)_+^\lambda=\left\{\begin{array}{ll} x^\lambda, & {\mbox если} \ x>0,\\ 0, & {\mbox если} \ x\le 0. \end{array}\right.$$

Затем Т.Курнвиндер [37], [38] (см. также [39, пункты 4,5]) нашел эквивалентное выражение формулы умножения для косинус-полиномов Якоби $\phi_k^{\alpha,\beta}(x)=R_k^{\alpha,\beta}(\cos x),\ k\in{\bf Z}^+,$ по форме более близкой к формуле умножения Лежандра - Гегенбауэра (6.1)

$$T_t\phi_k^{\alpha,\beta}(x) = \phi_k^{\alpha,\beta}(t)\phi_k^{\alpha,\beta}(x)=$$

$$= \frac{2\Gamma(\alpha+1)}{\sqrt{\pi} \Gamma\left(\alpha-\beta\righ... ...s \Psi)(1-\rho^2)^{\alpha-\beta-1} \rho^{2\beta+1}(\sin\xi)^{2\beta}d\xi d\rho,$$ (6.4)

здесь

$$\cos\Psi={\cos t}{\cos x}+\rho{\sin t}{\sin x}{\cos\xi} +\frac{1}{2}(\rho^2-1)(1-\cos t)(1-\cos x),$$ (6.5)

$t,x\in{\bf R},\ k\in{\bf Z}^+,\ \alpha>\beta>-1/2.$ Следовательно, в этом случае действие сдвига (1.5) на произвольную функцию $F(x)=f(\cos x)\in L_{\alpha,\beta}^2$ при $\alpha>\beta>-1/2$ выражается в следующей интегральной форме

$$T_tF(x) =\frac{2\Gamma(\alpha+1)}{\sqrt{\pi} \Gamma\left(\al... ...^{\alpha-\beta-1} \rho^{2\beta+1}(\sin\xi)^{2\beta}d\xi d\rho,$$ (6.6)

где $t,x\in{\bf R}$ и $\cos \Psi$ вычисляется по формуле (6.5). Другое эквивалентное истокообразное представление этого сдвига получается с помощью ядра (6.3) в формуле умножения (6.2) [38, пункт 5], [39, пункт 4].

Необходимо сказать, что указанным выше результатам Дж.Гаспера и Т.Курнвиндера, как отмечается в работе [37], предшествовал результат Р.Л.Шапиро [40] (1968 г.) о формуле сложения для полиномов Якоби, из которого следует (6.6) при $\alpha>\beta=0.$

Приведем несколько свойств сдвига, вытекающих из его интегрального представления. Эти свойства нам потребуются в следующем пункте.

Лемма 6.1   Пусть $\alpha>\beta>-1/2,\ 0\le\tau\le \pi/2,$ функция $F(x)=f(\cos x)$ непрерывна при всех $x\in {\bf R}$ и

$$F(x)=0,\quad x\in[\tau,\pi].$$

Тогда функция $G(x)=T_\tau F(x)$ является непрерывной при всех $x\in {\bf R}$ и

$$G(x)=0,\quad x\in[2\tau,\pi].$$

Доказательство. Непрерывность функции $G$ легко следует из интегрального представления (6.6), (6.5) оператора сдвига. По условию леммы имеем

$$f(u)=0,\quad u\in[-1,\cos \tau].$$

В силу интегрального представления (6.6), (6.5) сдвига для доказательства леммы достаточно показать, что функция

$$A(x,\tau,\rho,\xi)=\cos\Psi= \cos\tau\cos x+\rho\sin\tau\sin x\cos\xi+\frac{1}{2}(\rho^2-1)(1-\cos\tau) (1-\cos x)$$

удовлетворяет неравенствам

$$-1\le A(x,\tau,\rho,\xi)\le\cos\tau,$$ (6.7)

если выполнены условия

$$0<\tau\le\frac{\pi}{2},\quad 0\le\xi\le\pi,\quad 2\tau\le x\le\pi,\quad 0\le\rho\le 1.$$ (6.8)

Вначале докажем первое неравенство в (6.7). Ясно, что из (6.8) следует, что $\sin\tau\sin x\ge 0.$ Поэтому имеем

$$A(x,\tau,\rho,\xi)\ge A(x,\tau,\rho,\pi)=A_1(x,\tau,\rho)= \... ...o\sin\tau\sin x+\frac{1}{2}(\rho^2-1) (1-\cos\tau) (1-\cos x).$$

Заметим, что функция $A_1(x,\tau,\rho)$ по третьей переменной $\rho$ является параболой, причем ее глобальный минимум по этому аргументу достигается в точке

$$\rho^*=\frac{\sin\tau\sin x}{(1-\cos\tau) (1-\cos x)}.$$

То есть

$$A_1(x,\tau,\rho)\ge A_1(x,\tau,\rho^*)=-1,$$

и, значит, первое неравенство в (6.7) доказано.

Перейдем к доказательству второго неравенства в (6.7). Условия (6.8) влекут неравенство

$$A(x,\tau,\rho,\xi)\le A(x,\tau,\rho,0)=A_2(x,\tau,\rho)= \co... ...o\sin\tau\sin x+\frac{1}{2}(\rho^2-1) (1-\cos\tau) (1-\cos x),$$

а также

$$A_2(x,\tau,\rho)\le\max\{A_2(x,\tau,0),A_2(x,\tau,1)\}.$$

Имеем

$$A_2(x,\tau,0)=\cos\tau\cos x-\frac{1}{2}(1-\cos\tau) (1-\cos x)= \frac{1}{2}\{(1+\cos\tau)\cos x-1+\cos\tau\}\le\cos\tau;$$

$$A_2(x,\tau,1)=\cos\tau\cos x+\sin\tau\sin x= \cos(x-\tau) \le \cos \tau.$$

Лемма доказана.

В работе Дж.Гаспера [35] содержится следующее определение свертки двух функций $F,G$ из $L_{\alpha,\beta}^2$ (а на самом деле - и для функций из $L_{\alpha,\beta}^1$), которое можно записать в виде

$$(F\ast G)(t)=\int_0^\pi \{T_x F(t)\}G(x)\left(\sin\frac{x}{2}\right)^{2\alpha+1} \left(\cos\frac{x}{2}\right)^{2\beta+1}dx.$$ (6.9)

Кроме того, в указанной работе приведено свойство коммутативности этой операции

$$(F\ast G)(t)=(G\ast F)(t),\quad t\in{\bf R}.$$ (6.10)

Поскольку $T_x F(t)= T_t F(x)$ для любых $x,t\in{\bf R},$ то равенство (6.10) означает самосопряженность оператора сдвига. То есть справедлива лемма.

Лемма 6.2   Пусть $\alpha>\beta>-1/2,\ t\in{\bf R}.$ Тогда для любых двух функций $F,G\in L_{\alpha,\beta}^2$ выполняется равенство

$$(T_t F,G)=(F,T_t G).$$ (6.11)