7. Оценка сверху.

В данном пункте будет построен вес $\mu\in V_0^+[0,\tau],$ на котором, при выполнении условий (5.5), достигается минимум в двойственной задаче (5.2).

Рассмотрим следующее множество функций

$${\cal C}_n^{\alpha,\beta}=\left\{ F(x)=\sum_{k=n}^\infty\rho... ...F(0)=\sum_{k=n}^\infty\rho_k=1,\ \rho_k\ge 0,\ k\ge n\right\},$$ (7.1)

где $\alpha\ge\beta>-1,\ \alpha\ge-1/2,\ n\in{\bf N}, \phi_k^{\alpha,\beta}$ - косинус-полином Якоби (1.1). Это множество является выпуклым подмножеством пространства $C[0,\pi]$ непрерывных на $[0,\pi]$ функций. Так же, как и в ультрасферическом случае [1, пункт 4], введем следующее

Определение 7.1   Положительное число $\sigma=\sigma({\cal C}_n^{\alpha,\beta})$ назовем точкой Черныха для множества ${\cal C}_n^{\alpha,\beta},$ если одновременно выполняются следующие два условия

(a)

для любой функции $F\in {\cal C}_n^{\alpha,\beta}$ найдется точка $x^*\in(0,\sigma),$ в которой $F(x^*)<0;$

(b)

для любого $\delta\in(0,\sigma)$ найдутся функция $F_\delta\in {\cal C}_n^{\alpha,\beta}$ и число $\varepsilon >0,$ такие, что $F_\delta(x)\ge\varepsilon$ при всех $x\in[0,\delta].$

Результаты Н.И.Черных [14], [15] (см. (1.15), (1.16)) эквивалентны равенству

$$\sigma({\cal C}_n^{-1/2,-1/2})=\frac{\pi}{n},\quad n\in {\bf N}.$$

В.Ю.Попов [17, теорема 3] получил результат, из которого вытекает неравенство

$$\sigma({\cal C}_n^{\alpha,\alpha})\le \frac{2\pi}{n+1},\quad \alpha=0, \frac{1}{2},\quad n\in {\bf N}.$$

В работе автора [1, лемма 4.1] получены оценки

$$\tau_n^{\alpha,\alpha}\le \sigma({\cal C}_n^{\alpha,\alpha})... ...\alpha,\alpha},\quad \alpha\ge-\frac{1}{2},\quad n\in {\bf N}.$$

С помощью функции $\phi_n^{\alpha,\beta}$ легко доказать следующее утверждение.

Предложение 7.1   При $\alpha\ge \beta>-1,\ \alpha\ge-1/2, \ n\in {\bf N}$ имеет место оценка снизу

$$x_n^{\alpha,\beta}\le\sigma({\cal C}_n^{\alpha,\beta}),$$ (7.2)

где $x_n^{\alpha,\beta}$ есть первый положительный нуль косинус-полинома Якоби $\phi_n^{\alpha,\beta}$ (см. (1.20)).

В дальнейшем нам потребуются известные оценки для $x_n^{\alpha,\beta}$ (см. [3, § 6.2]).

Предложение 7.2   При $\alpha>-1,\ \beta>-1, n\ge\max\left\{2,1+\displaystyle{\frac{\alpha-\beta}{2}}\right\}$ выполняются неравенства

$$0<x_n^{\alpha,\beta}\le\frac{\pi}{2}.$$

Основным результатом данного пункта является

Лемма 7.1   Пусть $\alpha>\beta>-1/2, \ n\ge\max\left\{2,1+\displaystyle{\frac{\alpha-\beta}{2}}\right\}.$ Тогда справедлива оценка сверху

$$\sigma({\cal C}_n^{\alpha,\beta})\le 2 x_n^{\alpha,\beta}.$$ (7.3)

Доказательство. Доказательство будем проводить так же, как это сделано в ультрасферическом случае [1, лемма 4.1], внеся естественные изменения. Для краткости положим $x_n=x_n^{\alpha,\beta}, \ \phi_k=\phi_k^{\alpha,\beta},\ k\in{\bf Z}^+$. Пусть ${\cal V}={\cal V}_n^{\alpha,\beta}$ есть четная $2\pi$-периодическая функция, непрерывная на всей действительной оси ${\bf R},$ которую достаточно задать на отрезке $[0,\pi]:$

$${\cal V}(x)=\left\{\begin{array}{rl} \phi_n(x), & 0\le x\le x_n,\\ 0, & x_n<x\le\pi. \end{array}\right.$$ (7.4)

Определим четную $2\pi$-периодическую функцию $v,$ задав ее на отрезке $[0,\pi]$ формулой

$$v(x)=\left(\sin\frac{x}{2}\right)^{2\alpha+1} \left(\cos\frac{x}{2}\right)^{2\beta+1} T_{x_n}{\cal V}(x), \quad x\in[0,\pi],$$ (7.5)

где $T_t$ есть оператор (обобщенного) сдвига с шагом $t$ (см. (1.5), (6.6)). Из определения (7.4), предложения 7.2, леммы 6.1 и формулы (6.6) следует, что

$$v(x)\ge 0,\quad x\in{\bf R};\quad v(x)\not\equiv 0;\quad v(x)=0,\quad x\in[2x_n^{\alpha,\beta},\pi].$$ (7.6)

Используя самосопряженность оператора сдвига (см. лемму 6.2) найдем следующие коэффициенты

$$a_k = \int_0^{2x_n} v(x)\phi_k(x)dx= \int_0^{\pi} v(x)\phi_k(x)dx= (T_{x_n}{\cal V},\phi_k)= ({\cal V},T_{x_n}\phi_k)=$$

$$= \phi_k(x_n)({\cal V},\phi_k)= \phi_k(x_n)\int_0^{x_n} \phi_n(x)\p... ...(\sin\frac{x}{2}\right)^{2\alpha+1} \left(\cos\frac{x}{2}\right)^{2\beta+1} dx=$$

$$= \phi_k(x_n)\int_0^{x_n} \varphi _n(x)\varphi _k(x)dx,$$ (7.7)

где

$$\varphi _k(x)=\phi_k(x) \left(\sin\frac{x}{2}\right)^{\alpha... ...cos\frac{x}{2}\right)^{\beta+\frac{1}{2}},\quad k\in{\bf Z}^+.$$ (7.8)

Функции $\varphi _k$ удовлетворяют дифференциальному уравнению (см. [3, с.79,§ 4.24])

$$\varphi ''_k(x)-q(x)\varphi _k(x)=-\left(k+\frac{\alpha+\beta+1}{2}\right)^2\varphi _k(x), \quad k\in{\bf Z}^+,$$ (7.9)

где

$$q(x)=\frac{\alpha^2-\displaystyle{\frac{1}{4}}}{4\left(\sin\... ...\frac{1}{4}}}{4\left(\cos\displaystyle{\frac{x}{2}}\right)^2}.$$

Рассмотрим выражение

$$c_k=\left\{\left(n+\frac{\alpha+\beta+1}{2}\right)^2- \left(... ...2}\right)^2\right\} \int_0^{x_n} \varphi _n(x)\varphi _k(x)dx.$$ (7.10)

С помощью уравнения (7.9) получаем

$$c_k = \int_0^{x_n} \{ \varphi ''_k(x)\varphi _n(x) - \varphi _k(x)\varphi ''_n(x) \}dx=$$

$$= \{ \varphi '_k(x)\varphi _n(x) - \varphi _k(x)\varphi '_n(x) \}\Biggr\vert _0^{x_n}= -\varphi _k(x_n)\varphi '_n(x_n)=$$

$$= -\phi_k(x_n)\phi'_n(x_n) \left(\sin\frac{x_n}{2}\right)^{2\alpha+1} \left(\cos\frac{x_n}{2}\right)^{2\beta+1}.$$ (7.11)

Из (7.7) - (7.11) видно, что

$$a_n=0,\quad a_k\le 0\quad {\mbox при}\quad k>n, \quad a_k\ge 0\quad {\mbox при}\quad k=0,1,2,\ldots,n-1,$$ (7.12)

так как $\phi'_n(x_n)<0,$ и при $k\ne n$ имеем

$$a_k = \frac{c_k} {\left(n+\displaystyle{\frac{\alpha+\beta+1... ...^2- \left(n+\displaystyle{\frac{\alpha+\beta+1}{2}}\right)^2},$$

Учитывая свойства (7.6) и (7.12), получаем, что для каждой функции $F(x)=\sum\limits_{k=n}^\infty\rho_k\phi_k(x)$ из множества ${\cal C}_n^{\alpha,\beta}$ (см. (7.1)) выполняется соотношение

$$\int_0^{2x_n} F(x)v(x)dx= \sum\limits_{k=n}^\infty\rho_k \in... ...x_n} \phi_k(x)v(x)dx= \sum\limits_{k=n}^\infty\rho_k a_k\le 0,$$

и, значит, найдется точка $x^*\in(0,2x_n),$ в которой $F(x^*)<0.$ Отсюда следует (7.3). Лемма доказана.