4. Вспомогательные утверждения.

Рассмотрим следующее множество функций

$$\Phi _n^{\lambda } = \left\{ F(x) = \sum_{k\geq n}\rho_k R_k... ...{k\geq n}\rho_k =1,\quad {\mbox все} \rho_k \geq 0 \right\} ,$$ (4.1)

где $\lambda \geq 0,\ n\in \mbox{\bf N},\ R_k=R_{k,\lambda }$ - косинус-полиномы (3.4) Гегенбауэра. Это множество является выпуклым подмножеством пространства $C[0, \pi]$ непрерывных на $[0,\pi]$ функций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Положительное число $\sigma = \sigma (\Phi ^{\lambda }_n)$ назовем точкой Черныха для множества $\Phi ^{\lambda }_n,$ если одновременно выполняются следующие два условия

(a)

для любой функции $F\in \Phi ^{\lambda }_n$ найдется точка $x^{\ast} \in (0, \sigma)$, в которой $F(x^{\ast} ) <0$;

(b)

для любого $\delta \in (0,\sigma)$ найдутся функция $F_{\delta} \in \Phi ^{\lambda }_n$ и число $\mbox{$\varepsilon$}>0$, такие что $F_{\delta}(x) \geq \mbox{$\varepsilon$}$ при всех $x \in [0, \delta ]$.

Результаты (2.1), (2.2) Н.И. Черных эквивалентны равенству

$$\sigma (\Phi ^0_n) = \pi / n,\quad n=1,2, \ldots .$$ (4.2)

В.Ю. Попов [25, теорема 3] получил результат, из которого вытекает неравенство

$$\sigma (\Phi ^{\lambda }_n) \leq 2 \pi / (n+1),\ \ \ \ \lambda =1/2,\ \ \lambda = 1,\ \ \ \ n=1,2, \ldots .$$ (4.3)

Одним из основных результатов этого пункта является

ЛЕММА 4.1   Пусть $\lambda \geq 0,\ n=1,2, \ldots$. Тогда справедливы оценки

$$\tau_{n,\lambda } \leq \sigma (\Phi ^{\lambda }_n) \leq 2\tau_{n,\lambda },$$ (4.4)

где $\tau_{n, \lambda }$ есть первый положительный нуль полинома $R_n(x)$ (см. (3.4), (2.5)).

ЗАМЕЧАНИЕ 4.1. При $\lambda =0$, в силу равенства (4.2) Н.И. Черных, $\sigma (\Phi ^0_n) = 2\tau_{n,0}$. При $\lambda =1/2,\ n=1$ и при $\lambda =1, \ n\geq 1$ оценка сверху в (4.4) совпадает с неравенством (4.3) В.Ю. Попова, а при $\lambda =1/2, n \geq 2\ -$ уточняет его, т.к. $2\tau_{n, 1/2} < 2\pi /(n+1)$ (см. [40, с.147, (6.6.4)]).

Доказательство леммы 4.1. Оценка снизу $\tau _{n,\lambda } \leq \sigma (\Phi ^{\lambda } _n)$ вытекает из того, что функция $R_n$ принадлежит множеству $\Phi ^{\lambda } _n$ и удовлетворяет неравенству $R_n(x) \geq R_n(\delta) >0$ при всех $x \in (0, \delta )$ и $\delta \in (0, \tau _{n,\lambda })$. Доказательство оценки сверху

$$\sigma (\Phi ^{\lambda }_n) \leq 2\tau_{n,\lambda }$$ (4.5)

будем проводить по схеме Н.И. Черных [6]. А именно, построим вес - неотрицательную, ненулевую и интегрируемую на $[0,2 \tau_{n,\lambda }]$ функцию $v=v_{n,\lambda }$, удовлетворяющую условиям

$$\int _0^{2 \tau_{n, \lambda }} R_k(x) \, v(x) \, dx \leq 0,\ \ \ \ \ k\geq n.$$ (4.6)

Эти условия дадут нам неравенство (4.5), т.к. для каждой функции

$$F(x)=\sum_{k\geq n}\rho _k \, R_k(x),\quad F(0)=1,\quad\rho_k\geq 0,\quad k\geq n$$

из $\Phi ^{\lambda } _n$ мы имели бы

$$\int _0^{2 \tau_{n, \lambda }} F(x) \, v(x) \, dx = \sum_{k\g... ...rho_k\int_0^{2 \tau_{n, \lambda }} R_k(x) \, v(x) \, dx \leq 0.$$

Отсюда, ввиду нетривиальности и неотрицательности $v$, следовало бы существование точки $x^{\ast} =x^{\ast}(F)$ из открытого интервала $(0,2\tau_{n,\lambda })$, в которой $F(x^{\ast} ) <0$.

Идея построения искомого веса $v$ близка к той, которая применялась В.А. Юдиным в работе [24]. Предварительно мы определим четную $2\pi$-периодическую непрерывную функцию $V=V_{n,\lambda }$, которую достаточно задать на отрезке $[0,\pi]$

$$V(x)=R_n(x),\ \ \ 0\leq x \leq \tau_{n,\lambda }; V(x)=0,\ \ \ \tau_{n,\lambda }<x\leq \pi.$$ (4.7)

Искомый вес $v=v_{n,\lambda }$ определим по формуле

$$v(x) =(\sin ^{2\lambda }x)T_{ \tau_{n,\lambda }} V(x),\ \ \ \ x \in {\bf R},$$ (4.8)

где $T_t$ есть (3.1) ультрасферический сдвиг с шагом $t$. Из определения (3.1) видно, что $v$ является ненулевой, неотрицательной и непрерывной на замкнутом отрезке $[0,\pi]$ функцией. При $n=1,2, \ldots$, в силу свойств (3.5)-(3.7), первый положительный нуль полинома $R_n$ удовлетворяет неравенствам $0< \tau_{n,\lambda } \leq \pi/2$. Отсюда по лемме 3.1 имеем

$$v(x) = 0,\ \ \ x \in [2 \tau_{n,\lambda }, \pi].$$ (4.9)

Используя (3.10) - самосопряженность оператора $T_t$, получаем

$$a_k(v) = \int_0^{2 \tau_{n,\lambda }} v(x) \, R_k(x)\, dx= \int^{\pi}_0 v(x) \, R_k(x)\, dx =$$

$$= (T_{\tau_{n,\lambda }}V, R_k) _{\lambda } = (V, T_{\tau_{n,\lambda }} R_k)_{\lambda }=$$

$$=R_k(\tau_{n,\lambda }) \int ^{\tau_{n,\lambda }}_0 R_n(x)\, R_k(x)\, \sin ^{2\lambda } x \, dx.$$ (4.10)

Известно (см. [40, с.79]), что функции

$$\varphi _l(x)= R_l(x)\, \sin ^{\lambda } x,\quad l=1,2, \ldots$$

удовлетворяют уравнению

$$\varphi _l^{\prime \prime} (x) -q(x , \lambda ) \varphi _l(x) = - (l+\lambda )^2 \varphi _l(x),$$ (4.11)

$$q(x,\lambda ) =\lambda (\lambda -1) \sin ^{-2} x.$$

Рассмотрим выражение

$$c(n,k) =\{ (n+\lambda )^2 -( k+ \lambda )^2 \} \int _0^{\tau_{n,\lambda }} \varphi _n(x) \, \varphi _k(x) \, dx.$$

Применяя стандартный прием с использованием уравнения (4.11), получим

$$c(n,k) = \int _0^{\tau_{n,\lambda }} \{ \varphi _k^{\prime \p... ...i _n(x) - \varphi _k(x)\, \varphi _n^{\prime \prime} (x) \} dx=$$

$$=\{ \varphi _k^{\prime} (x) \varphi _n(x) -\varphi _k(x) \varphi _n^{\prime}(x) \} \left\vert _0^{\tau_{n, \lambda }} =\right.$$

$$= - \varphi _k(\tau_{n,\lambda }) \varphi _n^{\prime}(\tau_{n... ...ht) R_k(\tau_{n, \lambda } ) R_n^{\prime}(\tau_{n, \lambda } ).$$

Отсюда и (4.10) вытекает, что

$$a_n(v)=0,$$

$$a_k(v) = R_k(\tau_{n, \lambda }) \left \{ (n+\lambda )^2 -(k+\lambda )^2 \right\} ^{-1} c(k,n)=$$

$$=\left \{ (k+\lambda )^2 -(n+\lambda )^2 \right\} ^{-1} \left... ... (\tau_{n, \lambda }) R^{\prime} _n (\tau_{n, \lambda }) \leq 0$$

при $k>n$, т.к. $R^{\prime}_n(\tau_{n, \lambda })<0, \ n=1,2, \ldots$ (поскольку все нули полинома $R_n$ вещественные, простые и при переходе через точку $\tau_{n, \lambda }$ функция $R_n$ меняет знак с $+$ на $-$). То есть мы нашли вес $v$, удовлетворяющий условиям (4.6). Лемма доказана.

Второе основное утверждение этого пункта принадлежит В.В. Арестову и публикуется здесь с его разрешения.

ЛЕММА 4.2   Пусть на отрезке $[0, \tau]$ задана система непрерывных функций $P_k, \ \ k=1,2 ,\ldots$, удовлетворяющая следующим трем условиям

(a)

$P_k(0)=0,\ \ k=1,2 ,\ldots$;

(b)

существует абсолютная константа $M\geq 1$ такая, что $\mid P_k(t) \mid \leq M$ при $t \in [0,\tau], k=1,2 ,\ldots$;

(c)

для любого $\xi \in (0, \tau]$ выполняется неравенство

$$\url {\lim}_{k \rightarrow \infty } \{ \max_{t \in [\xi , \tau ]} P_k(t) \} \leq 1.$$

Тогда для любого $\mbox{$\varepsilon$}^{\ast} \in (0,1)$ найдется функция

$$F(t)=\sum_{k\geq 1}\rho_k\, P_k(t),\quad \sum_{k\geq 1}\rho_k=1$$

с неотрицательными коэффициентами $\rho _k \geq 0, \ \ k=1,2, \ldots$, такая, что

$$F(t)\leq 1+\mbox{$\varepsilon$}^{\ast},\quad t \in [0,\tau]$$ (4.12)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем $0< \mbox{$\varepsilon$}< \mbox{$\varepsilon$}^{\ast}$. Положим $F_1(t)=P_1(t)$. Пусть построена функция

$$F_n(t)=\sum^{N(n)}_{k=1}\rho_k P_k(t),\quad \sum^{N(n)}_{k=1}\rho_k=1,\quad \rho_k \geq 0.$$

Выберем число $\theta \in (0,1)$, удовлетворяющее условию $\theta M \leq 1 - \mbox{$\varepsilon$}$. Построим $F_{n+1}$ следующим образом. Возьмем такое число $\delta_n \in (0, \tau)$, чтобы выполнялось неравенство

$$(1-\theta ) F_n (t) \leq \mbox{$\varepsilon$},\ \ \ t \in [0, \delta _n ].$$

Теперь выберем $N(n+1)$ такое, чтобы

$$P_{N(n+1)} (t) \leq 1+\mbox{$\varepsilon$}=E,\ \ \ \ t \in [\delta_n, \tau ].$$

Положим $F_{n+1}(t)= \theta P_{N(n+1)} (t) + (1-\theta ) F_n(t).$ Для $t \in [0, \delta _n]$ имеем

$$F_{n+1}(t)\leq \theta M+(1-\theta) \mbox{$\varepsilon$}\leq 1... ...rac{1-\mbox{$\varepsilon$}}{M} \leq 1+\mbox{$\varepsilon$}= E.$$

Обозначим через $M_k = \max \, \{ F_k(t):\ 0\leq t \leq \tau \}, k=1,2, \ldots , n$, очевидно, что $M_k\leq M$. При $t \in [\delta _n, \tau]$ получаем

$$F_{n+1}(t)\leq \theta E + (1-\theta) M_n,$$

$$M_n \leq \max \{ E, \theta E + (1-\theta ) M_{n-1} \},$$

$$\vdots$$

$$M_2 \leq \max \{ E, \theta E + (1-\theta ) M_1 \}.$$

Поскольку выражение

$$\theta E + (1-\theta ) \{ \theta E + (1-\theta)\{ \theta E + (1 -\theta ) \{ \ldots (1-\theta) M_1 \} \} \ldots \} =$$

$$=\theta E \{ 1+ (1-\theta)+ (1-\theta)^2 + \ldots + (1-\theta)^{n-1} +(1-\theta)^n M_1 /(\theta E) \}$$

при $n\rightarrow \infty$ стремится к $\theta E /\{ 1-(1-\theta)\} =E = 1+\mbox{$\varepsilon$}$ и любая сумма вида

$$\theta E \{1+ (1-\theta)+\ldots + (1-\theta)^{k-1} + (1-\theta)^k /\theta \},\ \ k=1,2, \ldots , n$$

равна $E=1+\mbox{$\varepsilon$}$, то это влечет неравенство $\overline {\lim}_{n\rightarrow \infty } M_n \leq 1+\mbox{$\varepsilon$}$, что эквивалентно утверждению леммы.

В следующем пункте нам также понадобится очевидное утверждение.

Предложение 4.1. Если $r\geq 1,\ \mid u \mid \leq 1$, то $1-ru \leq (1-u)^r$. Если $0<r<1,\ \mid u \mid \leq 1,$ то $2^{r-1} (1-u) \leq (1-u)^r$.