8. Доказательство теоремы 2.1.

Следствие 4.1 влечет утверждения теоремы 2.1 при $\alpha>\beta=-1/2.$ Пусть теперь $\alpha>\beta>-1/2.$ В этом случае пункт (В) теоремы 2.1 содержится в следствии 3.1. В силу неравенства $1-ru\le(1-u)^r$ при $\vert u\vert\le 1, \ r\ge 1,$ и соотношений (3.3) - (3.5) для доказательства неравенства (2.1) достаточно доказать неравенство

$$\sum_{k=n}^\infty\rho_k<\max_{0\le t\le 2x_n^{\alpha,\beta}}... ...\sum_{k=n}^\infty\rho_k=1,\quad \rho_k\ge 0,\quad k\in{\bf N}.$$ (8.1)

Ряд в правой части (8.1) можно представить в виде

$$\sum_{k=n}^\infty\rho_k\{1-r\phi_k(t)\}= \sum_{k=n}^\infty\rho_k -rF(t),$$

где $F\in {\cal C}_n^{\alpha,\beta}$ (см. (7.1)). В силу (7.3) и определения 7.1 найдется точка $x^*\in (0,2x_n^{\alpha,\beta}),$ в которой $F(x^*)<0,$ что эквивалентно (8.1).

Утверждение (2.2) доказывается аналогично с помощью неравенства $2^{r-1}(1-u)\le(1-u)^r$ при $0<r<1, \ \vert u\vert\le 1.$ Теорема 2.1 доказана.

Как уже отмечалось выше, неравенство Джексона-Стечкина в пространстве $L^2_{\alpha,\beta}$ при $\alpha=\beta=(m-3)/2, m=2,3,\ldots,$ тесно связано с аналогичным неравенством в пространстве $L^2({\bf S}^{m-1})$ комплексных функций, заданных на единичной сфере ${\bf S}^{m-1}$ вещественного евклидова пространства ${\bf R}^m.$ В случае, когда ${\alpha,\beta}$ различные, указанное неравенство связано с аналогичным неравенством в пространстве $L^2$ комплексных функций, заданных на проективных пространствах ${\bf P}^{m-1}({\bf R})$ (при $\alpha=(m-3)/2, \beta=-1/2,\ m\ge 3$) и ${\bf P}^{m-1}({\bf C})$ (при $\alpha=m-2, \beta=0,\ m\ge 3$) над полями ${\bf R}$ и ${\bf С}$ вещественных и комплексных чисел, соответственно.