9. Неравенство Джексона-Стечкина в $L^2$ на сфере и проективных пространствах.

Прямые теоремы теории приближения функций многих переменных, в том числе - заданных на таких классических многообразиях как сфера, тор, евклидово и проективное пространство, изучались с начала этого века и до сих пор являются объектом интенсивных исследований. Некоторые исторические сведения по неравенствам Джексона-Стечкина на сфере и проективных пространствах содержатся в работах [43], [44], [45], [9], [1], [46].

Начнем со сферы. Здесь будет дополнен результат В.В.Арестова [1, утверждение (B) теоремы 2.2] об оценке снизу константы Джексона-Стечкина на сфере ${\bf S}^{m-1}, m\ge 3.$ При этом мы будем использовать, в основном, обозначения и известные факты из гармонического анализа, применявшиеся в [1].

Итак, пусть $L^2({\bf S}^{m-1}),\ m \ge 2,$ есть пространство комплексных функций, заданных на единичной сфере ${\bf S}^{m-1}$ пространства ${\bf R}^m,$ со скалярным произведением

$$(f,g) = \frac{1}{\mid {\bf S}^{m-1} \mid } \int_{{\bf S}^{m-1}} f(\xi ) \overline {g}(\xi) \, d\xi$$ (9.1)

и нормой $\Vert f \Vert = (f,f)^{1/2}$. Здесь $\vert{\bf S}^{m-1}\vert=\displaystyle{\frac{2\pi^{m/2}}{\Gamma(m/2)}}$ - площадь сферы ${\bf S}^{m-1}.$ Многочленом степени не выше $n$ называется функция

$$p(x) =\sum c_{\alpha_1,\ldots , \alpha_m} \, x_1^{\alpha_1} ... ...alpha_1+ \ldots + \alpha_m \leq n,\quad \alpha_k\in {\bf Z^+},$$

с комплексными коэффициентами $c_{\alpha_1,\ldots , \alpha_m}$. Множество сужений таких многочленов на ${\bf S}^{m-1}$ обозначим через $\mbox{\cal P}_n=\mbox{\cal P}_{n,m}.$ Наилучшим приближением функции $f \in L^2$ пространством $\mbox{\cal P}_n$ называется величина

$$E_n(f) =\min \{ \Vert f-p \Vert :\ p\in \mbox{\cal P}_n \}.$$

Сдвигом с шагом $t \in {\bf R}$ называется (см., например, [44, формулы (1.1), (1.19)]) оператор $M_t$, действующий из $L^2({\bf S}^{m-1})$ в $L^2({\bf S}^{m-1})$ по правилу

$$M_t f(x)=\frac{1}{\vert{\bf S}^{m-2}\vert}\int_{{\bf S}^{m-2}_{\pi/2}(x)}f(x\cos t+\xi\sin t)d\xi,$$ (9.2)

здесь $x\in{\bf S}^{m-1},$ и интеграл берется по сфере ${\bf S}^{m-2}_{\pi/2}(x)= \{\xi \in {\bf S}^{m-1}:\ x\cdot\xi=\cos \frac{\pi}{2}=0\},$ где $x\cdot\xi =x_1\xi_1+\ldots+x_m\xi_m$ - скалярное произведение векторов $x=(x_1, \ldots , x_m), \ \xi=(\xi_1,\ldots,\xi_m)$ из ${\bf R}^m.$ При $t \in (0,\pi)$ этот оператор можно представить в виде

$$M_t f(x)=\frac{1}{\vert{\bf S}^{m-2}\vert(\sin t)^{m-2}} \int_{{\bf S}^{m-2}_t(x)}f(\xi)d\xi,$$ (9.3)

где ${\bf S}^{m-2}_t(x)=\{\xi \in {\bf S}^{m-1}:\ x \cdot \xi=\cos t\}.$ Разностным оператором порядка $r>0$ с шагом $t \in {\bf R}$ называется оператор [9]

$$\Delta_t^r = (I-M_t)^{r/2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k {{r/2}\choose k} M_t^k,$$

где $I$ - тождественный оператор. Соответствующим модулем непрерывности порядка $r>0$ функции $f\in L_2({\bf S}^{m-1})$ является следующая функция переменного $\tau > 0$

$$\omega_r(f,\tau) =\sup \{ \Vert \Delta_t^r f\Vert:\ 0\le t\le \tau \}.$$

Обозначим через ${\cal K}_n(\tau,r)_{L^2({\bf S}^{m-1})},\ \tau>0, r>0,\ m=2,3,\ldots,$ точную константу ${\cal K}$ в неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве $L^2({\bf S}^{m-1})$

$$E_{n-1}(f) \le {\cal K} \omega_r(f,\tau),\quad f\in L^2({\bf S}^{m-1}).$$

То есть положим

$${\cal K}_n(\tau,r)_{L^2({\bf S}^{m-1})}=\sup \left\{ \frac{E... ... f\in L^2({\bf S}^{m-1}), f\not \equiv \mbox{const} \right\},$$ (9.4)

$n,m\in{\bf N},\ m\ge 2, \tau>0,\ r>0.$ Хорошо известно, что пространство $L^2({\bf S}^{m-1})$ разлагается в ортогональную прямую сумму

$$L^2({\bf S}^{m-1})=\sum_{k=0}^\infty \oplus H_k$$

конечномерных подпространств $H_k=H_{k,m}, \ \ \dim H_k=\displaystyle{\frac{2k+m-2}{m-2}}{{k+m-3}\choose k}$ сферических гармоник степени $k$ (см., например, [4]). Напомним, что сферической гармоникой степени $k$ называют сужение на сферу ${\bf S}^{m-1}$ однородного гармонического многочлена степени $k$

$$q(x) = \sum c_{\alpha_1,\ldots, \alpha_m} x_1^{\alpha_1}\cdot... ...lpha_l = k,\quad \alpha_l \in \mbox{\bf Z}^+,\quad \Delta q=0,$$

где $\Delta=\sum\limits_{l=1}^m\displaystyle{\frac{\partial^2} {\partial x_l^2}}$ есть оператор Лапласа. Оператор ортогонального проектирования $Y_k:\ L^2({\bf S}^{m-1}) \rightarrow H_k$ имеет вид

$$Y_k f(x) =\frac{\dim H_k}{\vert{\bf S}^{m-1}\vert} \int_{{\bf... ... f(\xi) d \xi, \quad \alpha=\frac{m-3}{2},\quad k\in{\bf Z}^+.$$

Иными словами, каждая функция $f\in L^2({\bf S}^{m-1})$ единственным образом разлагается в ряд Фурье по сферическим гармоникам, сходящийся к ней в $L^2({\bf S}^{m-1})$

$$f(x)=\sum_{k=0}^\infty Y_k f(x).$$ (9.5)

Действие оператора сдвига $M_t$ с шагом $t \in {\bf R}$ на функцию $f\in L^2({\bf S}^{m-1})$ выражается формулой

$$M_t f(x)= \sum_{k=0}^\infty R_k^{\alpha,\alpha}(\cos t)Y_k f(... ...\phi_k^{\alpha,\alpha}(t)Y_k f(x), \quad \alpha=\frac{m-3}{2}.$$

Отсюда с помощью равенства Парсеваля получаются следующие известные соотношения

$$E_{n-1}^2(f)= \sum_{k=n}^\infty \Vert Y_k f\Vert^2,$$

$$\Vert\Delta_t^r f\Vert^2= \sum_{k=1}^\infty \{1-\phi_k^{\alp... ...rt Y_k f\Vert^2,\quad \alpha=\frac{m-3}{2},\quad t\in {\bf R}.$$

Поэтому задача (9.4) сводится к задаче (3.3) при $\alpha=\beta=\displaystyle{\frac{m-3}{2}},$ то есть, с учетом равенства (3.4), имеем

$${\cal K}_n^2(\tau,r)_{L^2({\bf S}^{m-1})}= K_n^{\alpha,\alph... ...l K}_n^{\alpha,\alpha}(\tau,r)\}^2,\quad \alpha=\frac{m-3}{2},$$ (9.6)

для $n,m\in{\bf N},\ m\ge 2, \tau>0,\ r>0.$

Теперь с помощью первого утверждения следствия 4.1 мы можем сформулировать отмеченное выше дополнение к результату В.В.Арестова об оценке снизу константы Джексона-Стечкина на сфере. А именно, в пункте ${\rm (B)}$ теоремы 2.2 из работы [1] условие $\tau \in (0, \pi)$ можно ослабить, заменив его на условие $\tau>0.$ Тем самым упрощается формулировка упомянутой теоремы.

Теорема 9.1   Для каждого $n\in{\bf N}$ выполняются утверждения

(A)

при $m=2,3,\ldots,\ \ \alpha=\displaystyle{\frac{m-3}{2}}$ для каждой функции $f \in L^2({\bf S}^{m-1}),\ \ f \not \equiv \mbox{const},$ выполняется неравенство

$$E_{n-1} (f) <\max\{1,2^{(1-r)/2}\} \omega_r (f, 2x_n^{\alpha,\alpha}),\quad r>0;$$

(B)

при $m=3,4,\ldots,\ \ \tau>0$ существует последовательность функций $g_k,\ \ k\in{\bf N},$ из $L^2({\bf S}^{m-1}),$ такая, что

$$\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{E_{n-1}(g_k)}{\omega_r(g_k,\tau)} \ge 1,\quad r>0.$$

Замечание 9.1. В силу равенств (9.6) и определения (1.13) все пункты замечания 1.1 естественным образом переносятся и на теорему 9.1.

Перейдем к задаче о точном неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве $L^2({\bf P}^{m-1})$ комплексных функций, заданных на вещественном проективном пространстве ${\bf P}^{m-1}= {\bf P}^{m-1}({\bf R}),\ m=3,4,\ldots.$ Как хорошо известно (см. [29], [4]), пространство $L^2({\bf P}^{m-1})$ можно отождествить с подпространством всех четных функций $f$ из пространства $L^2({\bf S}^{m-1}).$ То есть можно считать, что

$$L^2({\bf P}^{m-1})=\{f\in L^2({\bf S}^{m-1}):\ \ f(x)=f(-x), x\in {\bf S}^{m-1}\}.$$

Поскольку для четной функции $f\in L^2({\bf S}^{m-1})$ разложение (9.4) в ряд Фурье содержит сферические гармоники лишь четной степени

$$f(x)=\sum_{k=0}^\infty Y_{2k}f(x),$$

то для функции $f\in L^2({\bf P}^{m-1})$ величиной ее наилучшего приближения порядка $n-1$ естественно назвать следующее число

$$E_{n-1}(f)=\min \left\{\Vert f-g\Vert :\ g\in\sum_{k=0}^{n-1} H_{2k}\right\}.$$

В качестве оператора сдвига с шагом $t \in {\bf R}$ возьмем сужение оператора $M_t,$ определенного формулой (9.2), на $L^2({\bf P}^{m-1})$. Поэтому понятие модуля непрерывности порядка $r>0$ функции $f$ из $L^2({\bf P}^{m-1})$ остается прежним. Задача о точной константе ${\cal K}={\cal K}_{n}(\tau,r)_{L^2({\bf P}^{m-1})}$ в неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве $L^2({\bf P}^{m-1})$

$$E_{n-1}(f) \le {\cal K} \omega_r(f,\tau),\quad f\in L^2({\bf P}^{m-1}),$$ (9.7)

совпадает с задачей

$${\cal K}_{n}(\tau,r)_{L^2({\bf P}^{m-1})}= \sup\left\{\frac{... ... f\in L^2({\bf P}^{m-1}),\ f\not \equiv \mbox{const} \right\}.$$ (9.8)

Эта задача по указанной выше схеме сводится к задаче о точной константе $K=\widetilde K_n^{\alpha,\alpha}(\tau,r), \alpha=\displaystyle{\frac{m-3}{2}}$ в неравенстве

$$\sum_{k=n}^{\infty}\rho_k \le K \max_{0\le t\le\tau} \sum_{k... ..._{k=1}^{\infty}\rho_k < \infty,\quad \rho_k\ge 0,\quad k\ge 1,$$

или, то же самое, (см. первое равенство в (1.2)) в неравенстве

$$\sum_{k=n}^{\infty}\rho_k \le K \max_{0\le t\le 2\tau} \sum_{... ..._{k=1}^{\infty}\rho_k < \infty,\quad \rho_k\ge 0,\quad k\ge 1.$$

Отсюда и (3.2) следует соотношение

$${\cal K}_{n}^2(\tau,r)_{L^2({\bf P}^{m-1})}= K_{n}^{\alpha,-1/2}(2\tau),\quad \alpha=\frac{m-3}{2},$$

при $n,m\in{\bf N},\ m\ge 3,\ \tau>0,\ r>0,$ которое в силу (3.4), (1.13) и следствия 2.2 влечет утверждение

Следствие 9.1   Пусть $n,m\in {\bf N},\ m\ge 3,\ r>0, \ \tau\ge\min\{\pi/2, x_n^{(m-3)/2,-1/2}\}.$ Тогда для любой функции $f\in L^2({\bf P}^{m-1})$ справедливо неравенство Джексона-Стечкина

$$E_{n-1}(f)\le \max\{1,2^{(1-r)/2}\} \omega_r(f,\tau),$$

причем оно является точным для произвольных фиксированных $n\in{\bf N}$ и $r\ge 1.$

Рассмотрим случай проективного пространства ${\bf P}^{m-1}({\bf C}),\ m\ge 3$ над полем ${\bf C}$ комплексных чисел. Пусть ${\bf S}^{m-1}({\bf C})=\{x\in{\bf C}^m: \ \vert x\vert=1\}$ есть единичная сфера пространства ${\bf C}^m$, здесь $\vert x\vert=\sqrt{x\cdot x}, \ x\cdot y=x_1\overline y_1+\ldots x_m\overline y_m$ - скалярное произведение векторов $x=(x_1,\ldots,x_m),\ y=(y_1,\ldots,y_m)$ из ${\bf C}^m.$ Так же, как и выше, используя известную (см. [43], [29], [4]) интерпретацию ${\bf P}^{m-1}({\bf C})$, в терминах классов эквивалентностей на единичной сфере ${\bf S}^{m-1}({\bf C})$, пространство $L^2({\bf P}^{m-1}({\bf C}))$ можно отождествить с подпространством функций $f\in L^2({\bf S}^{m-1}({\bf C})),$ которые являются "четными" в следующем смысле $f(x)=f(cx)$ при $x\in {\bf S}^{m-1}({\bf C})$ и $c\in {\bf S}^0({\bf C}).$ То есть можно считать, что

$$L^2({\bf P}^{m-1}({\bf C}))=\{f\in L^2({\bf S}^{m-1}({\bf C})): f(x)=f(cx),\ c\in {\bf C}, \ \vert c\vert=1 \}.$$

Пространство $L^2({\bf P}^{m-1}({\bf C}))$ разлагается в ортоганальную прямую сумму (см. [4])

$$L^2({\bf P}^{m-1}({\bf C})) =\sum_{k=0}^\infty \oplus V_k$$

конечномерных подпространств $V_k=V_{k,m}, \ \ \dim V_k={\displaystyle{{m+k-1}\choose k}^2-{{m+k-2}\choose k-1}^2}$ многочленов $q(x) = q(x_1,x_2,\ldots,x_m,\overline x_1,\overline x_2,\ldots,\overline x_m)$ однородных степени $k$ как относительно переменных $x_1,x_2,\ldots,x_m,$ так и относительно сопряженных переменных $\overline x_1,\overline x_2,\ldots,\overline x_m,$ и гармонических в том смысле, что

$$\sum\limits_{l=1}^m\frac{\partial^2 q} {\partial x_l\partial \overline x_l}=0.$$

Таким образом, каждая функция $f\in L^2({\bf P}^{m-1}({\bf C}))$ единственным образом разлагается в следующий ряд Фурье, сходящийся к ней в $L^2({\bf P}^{m-1}({\bf C}))$

$$f(x)=\sum_{k=0}^\infty P_k f(x),\quad P_k f\in V_k.$$

Поэтому величина ее наилучшего приближения

$$E_{n-1}(f)=\inf\left\{\Vert f-g\Vert: \ g\in\sum_{k=0}^{n-1} V_k\right\}$$

порядка $n-1,\ n\in{\bf N},$ удовлетворяет равенству

$$E_{n-1}^2(f)=\sum_{k=n}^\infty \Vert P_k f\Vert^2.$$

В работе В.И.Иванова и О.И.Смирнова [47, с.101] (см. также [48, с.100]) доказано, что оператор среднего значения (см. [49, гл.1, § 4]) (аналог оператора $M_t,$ см. (9.3)) для функций, заданных на компактных сильно однородных (или, что тоже самое, духточечно-однородных или дважды однородных) метрических пространствах, выражается через зональные сферические функции. В частности, учитывая явное выражение зональных сферических функций на ${\bf P}^{m-1}({\bf C})$ (см. [37], [29], [4]) через многочлены Якоби $R_k^{m-2,0},$ получаем, что указанный оператор среднего значения в пространстве $L^2({\bf P}^{m-1}({\bf C}))$ эквивалентен следующему оператору обобщенного сдвига

$${\cal U}_t f(x)=\sum_{k=0}^\infty R_k^{m-2,0}(\cos 2t) P_k f(x)\,, \quad t\in [0,\frac{\pi}{2}].$$

Далее, по аналогии с тем, как это уже делалось раньше, на основе обобщенного сдвига определяются разностный оператор порядка $r>0$ с шагом $t\in [0,\frac{\pi}{2}]$ и соответствующий модуль непрерывности функции $f\in L^2({\bf P}^{m-1}({\bf C})),$ который мы будем обозначать также через $\omega_r(f,t).$ Затем, с помощью теоремы 2.1, получаем

Следствие 9.2   Пусть $m=3,4,\ldots,\ n\ge \max\left\{2,\displaystyle{\frac{m-2}{2}}\right\},\ r\ge 0.$ Тогда для любой функции $f\in L^2({\bf P}^{m-1}({\bf C}))$ справедливо неравенство Джексона-Стечкина

$$E_{n-1}(f)\le \max\{1,2^{(1-r)/2}\} \omega_r(f,x_n^{m-2,0}),$$

причем оно является точным для любых фиксированных $n\ge \max\left\{2,\displaystyle{\frac{m-2}{2}}\right\}$ и $r\ge 1.$

Из утверждений, содержащихся в работах [47], [48], [37] следует, что наряду с указанными выше тремя важными приложениями частных случаев теоремы 2.1, относящихся к неравенствам Джексона-Стечкина в пространствах $L^2_{(m-3)/2,(m-3)/2}, \$ $L^2_{(m-3)/2,-1/2}, \$ $L^2_{m-2,0}, \ m=2,3,\ldots \$ имеются, по крайней мере, еще два. А именно, к задачам о константах Джексона-Стечкина в пространствах $L^2_{2m-1,1}, \ m=2,3,\ldots \$ и $\ L^2_{7,3} \$ сводятся соответственно аналогичные задачи в пространствах $L^2({\bf P}^{4m}({\bf H})), m=2,3,\ldots$ и $L^2({\bf P}^{16}({\bf Cay}))$. Здесь ${\bf P}^{4m}({\bf H})$ есть проективное пространство над телом кватернионов ${\bf H}=\{ x_0+x_1i+x_2j+x_3k : \ x_{\nu} \in {\bf R} \}, \ {\bf P}^{16}({\bf Cay})$ - проективная плоскость Кэли. Верхние индексы $4m$ и $16$ обозначают вещественную размерность соответствующих многообразий.